МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБТЕКАНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА ДВУМЕРНЫМ ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ

Введение

В связи с развитием возможностей вычислительной техники и появлением мощных математических пакетов программ появилась возможность быстрого построения и апробирования различной сложности математических моделей по течению водных потоков. Во многих практических задачах не требуется высокой точности получаемых результатов и вполне достаточно получить ориентировочные значения параметров потока с точностью, не превышающей 10%, а иногда 20%. При этом наибольший интерес представляют собой наиболее простые модели, дающие удовлетворительные по степени адекватности результаты для практики. На сегодняшний день не существует такой компьютерной программы или технологии которая может не только упростить расчет текущей жидкости, но полностью решить данную задачу, что значительно облегчит работу по поиску решения.

Известно, что построение математической модели какого-либо физического процесса начинается с выбора системы уравнений, описывающего сам процесс. Часто математически формально система уравнений исследуемого процесса по внешнему виду сводится к уже известной системе, решения новой исследуемой задачи.

Графическое представление двумерных потоков позволит обеспечить более глубокими знаниями студентов в области механики жидкости и газа и тем самым создаст базу для усвоения профилирующих дисциплин специальности. Для создания графического представления двумерных потоков будет использована программа Gnuplot [1]. Gnuplot – это программа для создания двух- и трёхмерных графиков. Gnuplot имеет собственную систему команд, может работать интерактивно (в режиме командной строки) и выполнять скрипты, читаемые из файлов. Также используется в качестве системы вывода изображений в различных математических пакетах.

Математическая модель

Для начала стоит отметить что идеальной жидкости не существует, однако допущения, связанные с ее введением в гидромеханику, значительно упрощают решение уравнения движения жидкости. Теория движения идеальной жидкости во многих случаях дает вполне удовлетворительную картину реальной жидкости. Часто при обтеканий тех или иных тел пользуются последовательными приближениями, рассматривая вначале обтекание данного тела идеальной жидкостью, а затем вносят поправки на влияние вязкости.

Рассмотрим потенциальное движение жидкости  [2], [3], [4]. Потенциальное течение жидкости – это движение при котором . Наиболее простым является плоское установившееся безвихревое движение идеальной жидкости. При плоском движении все частицы жидкости получают перемещения, параллельные некоторой плоскости. Заметим, что во всех параллельных плоскостях движение тождественно, поэтому будем рассматривать лишь движение в плоскости xOy.

При потенциальном движении вектор скорости выражается равенством

где  - скалярная функция,  Потенциал скорости для плоского движения имеет вид:

Функция φ(x,y)  называется потенциальной функцией. Уравнение неразрывности имеет вид

.

Из последнего уравнения следует, что существует функция ψ(x,y) тождественно удовлетворяющая уравнению неразрывности и связанная с проекциями вектора скорости  равенствами

Эти равенства получаются в результате подстановки  в уравнение неразрывности. Функция ψ(x,y) имеет простой гидродинамический смысл. А именно, если взять дифференциальное уравнение линий тока

Отсюда получаем   иначе это выражение можно представить в виде:  Таким образом, функция  сохраняет свое постоянное значение вдоль линий тока:  Функция  называется функцией тока. Связь между φ(x,y) и ψ(x,y)  выражается соотношением

Данное условие является условием Коши – Римана. Известно, что если φ и ψ удовлетворяют условию Коши – Римана, то комплексная функция имеет вид:

и является аналитической функцией комплексного переменного. Функция  называется комплексным потенциалом, или характеристической функцией течения. Так как комплексная функция  аналитична, то

Отсюда . Величина  называется сопряженной скоростью. Плоскость  называется плоскостью годографа.

Совокупность  называется семейством изопотенциальных линий. Совокупность  называется семейством линий тока. Покажем, что изопотенциальные линии и линии тока в любой точке плоскости течения взаимно ортогональны. Для этого достаточно показать, что векторы – градиенты функций  – взаимно перпендикулярны:

Если вместо функции  рассмотреть функцию  , то в новом движении потенциал скорости поменяется местами с функцией тока, а изопотенциальные линии – с линиями тока. Отсюда следует, что функция тока  всегда играет сопряженную роль с функцией  – потенциалом скоростей. Каждая из этих функций может быть как функцией тока, так и потенциалом скоростей двух сопряженных между собой безвихревых плоских движениях идеальной жидкости. Вычислим значение контурного интеграла:

Исходя из данного контурного интеграла делаем вывод, что:

Где  – циркуляция скорости по замкнутому контуру;  – объемный расход через замкнутый контур. Таким образом:

Комплексному потенциалу определенного вида соответствует движение жидкости, и наоборот, каждое движение может быть представлено некоторым комплексным потенциалом.

Далее будем исследовать два вида движения потока идеальной жидкости: бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра; циркуляционное обтекание круглого цилиндра.

Динамика идеальной жидкости при обтеканий симметричных тел

Рассмотрим комплексный потенциал  вида [4]:

где   - скорость набегающего потока,  – радиус бесконечного цилиндра,  – циркуляция набегающего потока.

Пусть . В этом случае движение называется бесциркуляционным обтеканием круглого цилиндра.

Расписав данный комплексный потенциал, получим выражение следующего вида:

Определим эквипотенциальную линию и функцию тока:

Уравнение линии тока будет иметь вид

Приравнивая  к нулю, получим уравнение нулевой линии тока, которое разбивается на два уравнения:

Первое уравнение – ось абсцисс, второе – окружность радиуса  с центром в начале координат.

Для определения поля скоростей и давления представим функцию  в цилиндрических координатах. Так как:

то

Проекции скорости будут иметь вид:

Рисунок 1. Дорожка Кармана на векторе скорости

На поверхности цилиндра, тогда

То есть скорость на поверхности цилиндра изменяется по синусоиде и достигает своего максимального значения, когда .

Точки, в которых скорость равна нулю, называются критическими. Для них . Точка  называется передней критической,  – задняя критическая. На диаграмме вектора скорости рисунок 1, можно увидеть, что около поверхности цилиндра образовались потоки напоминающие пузыри. Это так называемая дорожка Кармана – явление при котором происходит отрыв вихрей с двух сторон тела поочередно. После срыва вихри образуют две цепочки позади тела, направление вращения вихрей в одной цепочке противоположно направлению вращения в другой.

Циркуляционное обтекание круглого цилиндра можно получить наложением вихря с циркуляцией Г на бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра (1).

При данном обтекании потенциальная функция, функция тока будут иметь вид:

 Зная функцию  определим, компоненты вектора скорости:

Случай  соответствует направлению циркуляционного движения против часовой стрелки. В зависимости от величины циркуляции возможны различные виды обтекания.

Рисунок 2. Вектор скорости при

Рисунок 3. Вектор скорости

Рисунок 4. Вектор скорости при

Из рисунков 2,3,4 видно, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра складываются, а над цилиндром вычитаются. При этом под цилиндром скорости больше, а над цилиндром меньше даже при малой циркуляций.

При циркуляционном течении по часовой стрелке  картина обтекания изменится на перевернутую вокруг оси  на .

Рисунок 5. Вектор скорости при циркуляции направленной по часовой стрелке

Из рис.5 видно, что в слоях жидкости под цилиндром скорости бесциркуляционного обтекания цилиндра и чисто циркуляционного потока вокруг цилиндра вычитаются, а над цилиндром складываются.

Распределение давления на поверхности круглого цилиндра при циркуляционном и бесциркуляционном обтекании

Из уравнения Бернулли, написанного для нулевой линии тока, можно найти распределение давления на поверхности круглого цилиндра. Если обозначим давление в любой точке на поверхности цилиндра через , то уравнение Бернулли для нулевой линии тока примет вид [4]:

откуда

В практике наибольший интерес представляет не абсолютное значение величины давления, а безразмерный коэффициент давления который выражен формулой:

Изучим распределение коэффициента давления по контуру цилиндра при различных способах обтекания круглого цилиндра.

1. Рассмотрим бесциркуляционное обтекание круглого цилиндра, случай .

Из (2) получим

На поверхности круглого цилиндра безразмерное давление определяется формулой:

Полученное распределение давления по контуру окружности, как это прямо следует из симметрии обтекания по отношению к осям , результирующей силы не дает.

Рисунок 6. Распределение давления на поверхности круглого цилиндра. Демонстрация парадокса Даламбера

При расчете всех векторов давления и построении их на графике можно наблюдать парадокс Даламбера – явление возникающее при стационарном обтекании твёрдого тела безграничным поступательным прямолинейным потоком невязкой жидкости, при котором  сила сопротивления равна нулю. Следует отметить, что данный парадокс можно наблюдать лишь в идеальной жидкости, поскольку в неидеальной жидкости всегда присутствует фактор нарушающий условия постановки парадокса Даламбера.

2. Найдем распределение давления на поверхности круглого цилиндра с заданной циркуляцией по формуле (3). Для этого вычислим отношение квадрата вектора скорости к квадрату набегающего потока:

На поверхности круглого цилиндра безразмерные давления циркуляционного обтекания симметричного тела определяется формулой:

Для нахождения величин давления и демонстрации распределения коэффициента давления на поверхности цилиндра при циркуляционном обтекании заметим, что линии тока симметричны во всех случаях по оси  и несимметричны относительно оси . Следовательно при циркуляционном обтекании цилиндра проекция главного вектора сил давления на ось  равна нулю, а проекция на ось  не равна нулю и может быть вычислена по формуле:

Величина давления  может быть найдена из уравнения Бернулли для нулевой линии тока определяется формулой:

Подставив величину давления под знак интеграла, получим:

Функция тока в обычном представлении может существовать только для осесимметричных видов трехмерного безвихревого движения, т.е.:

Но поскольку

То выходит, что главный вектор сил давления при циркуляционном обтекании направлен перпендикулярно скорости на бесконечности и равен:

Рисунок 7. Распределение коэффициента давления на поверхности цилиндра при

Рисунок 8. Распределение коэффициента давления на поверхности цилиндра при .

Рисунок 9. Распределение коэффициента давления на поверхности цилиндра при .

Из рисунков 7, 8, 9 видно, что в случае , под цилиндром, там где скорость больше набегающего потока, давление становится меньше, и наоборот, над цилиндром, где скорость меньше набегающего потока давление растет пропорционально величине   

Обтекание эллипса и пластины

Вначале стоит отметить, что обтекание эллипса и пластины относятся к простым конформным преобразованиям внешности круга, а в данном случае являются преобразованиями внешности круга во вспомогательной плоскости на внешность замкнутого профиля в плоскости течения.

Комплексный потенциал  обтекания любого из эллипсов со скоростью  образующей с осью  угол  и циркуляцией  можно записать в виде [2]:

Данный комплексный потенциал получился в следствий преобразований с помощью формулы Жуковского – Чаплыгина которая имеет вид:

где   В случае обтекания на оси , т.е.  найдем квадратное уравнение относительно .

Решив данное уравнение получим два корня

Из двух корней выбираем  поскольку в случае выбора корня  , мы бы имели:

Но при  получаем  т.е. внешность эллипса переходит во внутренность круга.

Тогда используем второй корень, и комплексный потенциал будет иметь вид:

Далее найдем функцию тока и эквипотенциальные линии. Для этого введем обозначения следующего вида:

Для того чтобы раскрыть смысл преобразования проведем следующую замену переменных:

следовательно

Теперь функция  примет вид:

Данное уравнения имеет два решения:

Рассмотрим случай :

Учитывая, что  , найдем

Здесь мы обозначили

Таким образом, комплексный потенциал скорости движения имеет вид:

Аналогично получим комплексный потенциал  в случае второго корня :

Пластина строится с помощью тех же уравнений за исключением того, что :

Для определения вектора скорости вычислим годограф скорости

Проведем вычисления для первого корня

Обозначим через

Тогда

Запишем компоненты вектора скорости:

В случае корня  компоненты вектора скорости имеют вид:

Рисунок 10. Вектор скорости. Обтекание эллипса набегающим потоком со скоростью i.

Рисунок 11. Вектор скорости. Обтекание пластины набегающим потоком со скоростью i.

Вывод

Благодаря пакету Gnuplot были смоделированы двумерные потоки идеальной жидкости. Опираясь на данные модели можно не только создать математическую модель, но и графически представить процесс протекания жидкости, что значительно упростит понимание этой области в механики жидкости и газа.

Список литературы:

1. URL: http://www.gnuplot.info/
2. А.А Гусев. Механика жидкости и газа– Москва: московский государственный строительный университет, 2018г. – 232 с.
3. А.А Ильюшин. Механика сплошной среды. Москва, изд-во МГУ, 1990 г. – 248 с.
4. Г.Г. Лойцянский. Механика жидкости и газа, - Москва: изд-во Дрофа, 2013 г. – 840 с.