СТРУКТУРА ДВИЖЕНИЯ И ТЕПЛООБМЕН ГАЗА ПРИ ГЕТЕРОГЕННОМ ГОРЕНИИ ТВЕРДЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД

АННОТАЦИЯ

Предложен численный метод, основанный на конечно-элементном анализе уравнений механики сплошных гетерогенных сред, для описания теплофизических характеристик нестационарных движений вязкого газа через пористые среды с химическими изменениями и фазовыми переходами в твердой фазе.

Введение

Процессы фильтрационного горения газов широко распространены в повседневной жизни и химической технологии. Торфяной пожар, горение в угольной печи, курение сигарет могут моделироваться как горение твердых пористых сред.

Актуальность статьи обуславливается тем, что процесс гетерогенного горения пористых пород неразрывно связан с различными катастрофами как техногенного, так и природного характера. К ним можно отнести возгорания на взрывопожароопасных объектах, горение торфяников, а также свалок. Изучение структуры движения и теплообмена газа в при горении твердых пористых пород поможет понять, как именно происходят эти процессы, что поможет предотвратить пожары или помочь их тушению.

Численный анализ двухмерных течений газа в пористых средах с очагами гетерогенного горения при вынужденной фильтрации и свободной конвекции был проведен в работах [3], [8], где разработан численный метод, основанный на комбинации явных и неявных конечно-разностных схем. Согласно предложенному методу, уравнения энергии, сохранения импульса и концентрации окислителя превращаются в явные конечно-разностное уравнения, а уравнение неразрывности преобразуется в неявное конечно-разностное уравнение.

Дальнейшие исследования получили развитие в направлении моделирования движения газа через слой теплоаккумулирующего материала с фазовым переходом [4]. Были проанализированы исследования тлеющего горения в пенополиуретане в условиях свободной конвекции [9]-[11].

Отметим, что при изучении фильтрационной гидродинамики Дарси в условиях малости нестационарного слагаемого в уравнении движения, пренебрегая зависимостью вязкости от давления, уравнение неразрывности можно свести к уравнению Лейбензона для определения функции давления.

В работе предложен алгоритм расчета для программного средства FreeFem++[12], реализованный на основе конечномерного анализа, который позволяет исследовать процесс теплообмена через пористые среды с химическими превращениями и фазовыми переходами в твердой фазе.

Постановка задачи

В работе рассматривается неподвижный пористый объект, имеющий непроницаемые нетеплопроводные боковые стенки и открытый снизу и сверху. Холодный газ может втекать в пористый объект и вытекать из него через открытые границы. Твердое пористое вещество состоит из горючего компонента, инертного компонента и твердых продуктов реакции, при этом твердый горючий материал превращается в газовые и твердые продукты реакции в результате взаимодействия с газообразным окислителем.

При исследовании фильтрационного горения газа возможно использование объемно-усредненной модели [6], то есть используются эффективные (усредненные по объему) теплофизические характеристики пористого каркаса и газа, а межсредовое взаимодействие описывается коэффициентом теплообмена α.

Математическая модель строится на уравнениях баланса тепла в твердой и газовой фазах, переноса массы газовых компонентов, уравнениях непрерывности, диффузионной гидродинамики или фильтрации и состояния газа [5].

Для формирования источниковых членов уравнений баланса тепла и массы записываются уравнения химической кинетики рассматриваемых газовых компонентов [1], [6], формулируются граничные условия.

В работе предполагается заданной скорость распространения горения относительно пористой среды. Механизм распространения фильтрационного горения газа обусловлен дисперсионной теплопроводностью.

Математическая модель

Математическую модель теплопроводности вязкого газа при фильтрационном горении твердых пористых тел будем рассматривать в качестве движения двухкомпонентной сплошной среды, состоящей из твердой и газовой среды в рамках модели многоскоростного континуума и взаимопроникающего движения компонентов смеси [1], [6].

За основу системы дифференциальных уравнений моделирующих данный процесс взята математическая модель, предложенная в [3], [8].

Обезразмеренную систему уравнений для моделирования теплопереноса нестационарных течений газа в пористых средах с очагами гетерогенного горения запишем в следующем виде [3], [8]:

где  – температура твердой среды; – температура газа;  – плотность газа;  – массовая концентрация окислителя;  – скорость химической реакции;  – степень превращения твердого горючего;  – объемная концентрация газа;  – объемная концентрация газа в начальный момент времени; – объемная концентрация топлива в начальный момент времени; – объемная концентрация конденсированной фазы продукта реакции в конечный момент времени;энергия активации; – коэффициент диффузии газа; b – показатель степени в уравнении для коэффициента диффузии газа; – плотность топлива; – плотность продукта реакции.

Безразмерные постоянные, которые получены в работе [8], определяются следующим образом:

где  и  – характерные значения времени и скорости газа,  , , где  – давление, плотность и температура газа при нормальных условиях; .

Считаем, что вектор-скорости задан:

.

Поставим граничные условия. Обозначим через  границу области, будем считать, что  ,

Рисунок 1. Изображение граничных условий, где , и  – границы,  – твердая фаза, – область горения

На входе в пористый объект (граница ) известны температуры и давление газа,а также массовая концентрация окислителя. На выходе из объекта (граница ) известно давление. Также заданы условия теплообмена на входе и выходе из пористого объекта и на ограничивающих непроницаемых стенках (граница ):

где  – вектор внешней нормали к границе области  ,Bi - число Био.

Для определения значения  на границе используется уравнение состояния (4).

В начальный момент времени известна температура газа, давление и массовая концентрация окислителя:

Численное моделирование

Система дифференциальных уравнений (1)-(8), описывающая динамику теплопроводного газа в пористой среде, является нелинейной смешанной гиперболо-параболической системой уравнений. Кроме того, для замыкания системы используются уравнения в обыкновенных производных.

В общем случае данная задача не может быть решена аналитически. Для ее решения предлагается использовать численно-аналитический метод конечных элементов, реализуемых в программной среде FreeFem++.

При моделировании системы с непрерывным временем системой с дискретным временем в уравнениях энергии, концентрации окислителя и в уравнении неразрывности используется обратный метод Эйлера первого порядка [2], а уравнение концентрации преобразуется с помощью прямого метода Эйлера [2].

В данном случае тепловые характеристики среды зависят от температуры, в этом смысле все уравнения входящие в систему являются нелинейными, причем нелинейность носит немонотонный характер.

Мы будем исследовать линеаризованную модель, которая характеризуется тем, что решение на новом временном слое находится из решения линейной разностной задачи, коэффициенты при производных берутся с прошлого временного слоя, а для линеаризации нелинейного слагаемого, стоящего в правой части уравнения описывающего окисление реакции применяется модифицированный метод Ньютона [7]. Кроме того, уравнение неразрывности, а также уравнение концентрации заменяются более регулярными уравнениями при помощи добавления эллиптического слагаемого с параметром регуляризации.

Формулировка вариационной задачи

Для определения функции , удовлетворяющей уравнениям (4) сделаем замену переменной по формуле:

где  является решением обыкновенного дифференциального уравнения с условием Коши на границе:

Введем функциональные пространства. Обозначим через  пространства Соболева функций, суммируемых в степени 2 вместе с производными до порядка   включительно.

Будем искать функции

удовлетворяющие следующим интегральным соотношениям.

Задача для нахождения :

(9)

для каждой функции .

Задача для нахождения :

(10)

ля каждой функции .

Стоит отметить, что задачи для нахождения  и  решались совместно.

Задача для нахождения :

(11)

ля каждой функции .

Задача для нахождения C:

(12)

ля каждой функции .

Уравнения для вычисления степени превращения горючего и скорости химической реакции:

Система уравнений (9)-(13) может применяться при моделировании двухмерных нестационарных движений газа в пористой среде с очагами гетерогенного горения. Отметим, что двумерные движения газа при гетерогенном горении твердых пористых сред были численно исследованы [3], [8]. Преимуществом данного метода является то, что выбор неявных схем позволяет моделировать достаточно большое время горения при минимальных времменных затратах на вычисление программы [2], [7]. В дальнейшем планируется учесть воздействия скоростных полей на температурный режим в пористой среде с очагами гетерогенного горения.

Проверка сходимости. Численный эксперимент

Доказать аналитическую сходимость приближенного решения к точному решению не представляется возможным. Исследование сходимости приближенного решения было проведено как путем сравнения с имеющимися вычислительными данными, так и экспериментально с помощью сгущения сетки. Анализ сходимости полученного решения на двух рассчетных сетках, отличающихся в два раза по количеству узлов показал, что сходимость решения достигается при количестве рассчетных узлов около 13912 при h=0.037.

Рассчет производился при следующих данных:

Результаты вычислений

Следующие вычисления были выполнены при общем времени T= 60 минут, и шаге   Время вычислений составило 20 минут.

Рисунок 2. Результаты вычисления функции степени превращения твердого топлива в моменты времени (a) 3 минуты, (b) 15 минут и (c) 60 минут

Рисунок 3. Результаты вычисления температуры газа в моменты времени (a) 3 минуты, (b) 15 минут и (c) 60 минут

Рисунок 4. Результаты вычисления температуры твердой среды в моменты времени (a) 3 минуты, (b) 15 минут и (c) 60 минут

Рисунок 5. Результаты вычисления плотности газа в моменты времени 0,6 минут, (b) 15 минут и (c) 60 минут

Рисунок 6. Результаты вычисления массовой концентрации окислителя в моменты времени (a) 0,6 минут, (b) 15 минут и (c) 60 минут

Увеличение площади соприкосновения твердой фазы с газовой происходит из-за увеличения пористости. Масса твердой среды в пористом элементе уменьшается, а расход газа увеличивается, за счет этого общая скорость теплообмена увеличивается. 

На рисунке 5 видно, как в первое время происходит возрастание плотности газа, а затем его уменьшение. На начальном этапе времени газ отдает большую часть тепловой энергии пористой среде, что и приводит к возрастанию плотности.

На рисунке 6 видна динамика изменения массовой концентрации окислителя с течением времени – кислород вступает в реакцию с топливом по направлению горения и после прогорания участка горения снова заносится туда через открытую границу.

Следующие вычисления были проведены с общим временем T=1ч., T=3ч. и T=6ч.,  с шагом . Время вычислений составило 5,12 и 25 минут соответственно.

Рисунок 7. Результаты вычисления (а) степени превращения твердого топлива, (б) температуры газа, (с) массовой концентрации окислителя в трехмерном пространстве в момент времени 60 минут

Рисунок 8. Результаты вычисления (а) степени превращения твердого топлива, (б) температуры газа, (с) массовой концентрации окислителя в трехмерном пространстве в момент времени 180 минут

Рисунок 9. Результаты вычисления (а) степени превращения твердого топлива, (б) температуры газа, (с) массовой концентрации окислителя в трехмерном пространстве в момент времени 360 минут

По последним трем рисункам хорошо видна динамика изменения температуры газа – рост в области горения и за ее пределами по мере протекания процесса горения, после чего остывание уже выгоревшей части. Изменение массовой концентрации окислителя также хорошо показывает распространение процесса горения.

Заключение

Для описания двумерных нестационарных течений вязкого теплопроводного газа при фильтрационном горении твердых пористых сред предложен алгоритм численного решения дифференциальных уравнений методом конечных элементов.

Разработано программное средство, реализующее предложенный численный метод, и проведено его тестирование. Исследование проводилось для двух временных режимов:

1) движение газа при фильтрационном горении в твердых пористых средах в течение первого часа;

2) движение газа при фильтрационном горении в твердых пористых средах через один час, три часа и  шесть часов после возгорания очага.

Стоит также отметить, что программа работает корректно и при значительном увеличении шага по времени  при большом общем времени T, а также увеличении шага сетки h.

Перспективное применение предложенной численной модели и полученных результатов – создать общий решатель систем диффузии-реакции методом конечных элементов, используя среду FreeFem++.   

Список литературы:

1. Гремячкин В.М. Гетерогенное горение частиц твердых топлив // М.:Издательство МГТУ им. Н.Э.Баумана. – 2015. – 280 с.
2. Калиткин Н.Н., Корякин П.В. Численные методы в двух книгах. Методы математической физики // М.:Издательский центр «Академия». – 2013. – 304 с.
3. Левин В.А.,Луценко Н.А. Двумерные течения газа при гетерогенном горении твердых пористых пород // Доклады академии наук – 2018. – Т.476. № 1 С. 30-34.
4. Левин В.А., Луценко Н.А., Фецов С.С. Моделирование движенеия газа через слой гранулированного теплоаккумулирующего материала с фазовым переходом // Доклады академии наук – 2018. – T. 479.  № 4. C. 386–389.
5. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. // М:Дрофа – 2003. – 840 с.
6. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. // М.: Наука, – 1978. – 336 с.
7. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. // М.:Едиториал УРСС.  – 2003. – 784 с.
8. Lutsenko, N. A. Numerical model of two-dimensional heterogeneous combustion in porous media under natural convection or forced filtration // Combustion Theory and Modelling. – 2018. – V. 22. Issue 2. – P. 359-377.
9. J.L. Torero, A.C. Fernandez-Pello, and M. Kitano, Opposed forced flow smoldering of polyurethane foam // Combust. Sci. Tech. 91 – 1993. – P. 95–117.
10. J.L. Torero and A.C. Fernandez-Pello. Natural convection smolder of polyurethane foam,upward propagation // Fire Saf. J. 24 –1995.– P. 35–52.
11. T.J. Ohlemiller, J. Bellan, and F. Rogers, A model of smoldering combustion applied to flexible polyurethane foams // Combust. Flame 36 – 1979. – P. 197–215.
12. Официальный сайт программной среды FreeFem++.URL: https://freefem.org/