ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ РАБОТЕ С НЕСИНУСОИДАЛЬНЫМ ПЕРИОДИЧЕСКИМ СИГНАЛОМ

АННОТАЦИЯ

Данная статья освещает практическое применение рядов Фурье при решении задач электротехники. Работа включает в себя основные теоретические аспекты. В целях демонстрации практического применения Рядов Фурье представлено несколько примеров.

Ключевые слова: ряд Фурье; тригонометрический ряд; периодические процессы.

Периодические процессы являются неотъемлемой частью нашей жизни. Большинство инженерных и естественнонаучных направлений, таких как: электротехника, радиотехника, электроника, теория и практика автоматического управления, а также теория упругости, - основаны на вышеуказанных процессах.

Безусловно, направлением, основанным на периодических явлениях, можно назвать электротехнику, процессы в которой описываются при помощи синусоидальных величин тока, напряжения и ЭДС. Но, как показывает практика, в реальных инженерных задачах часто приходится сталкиваться с периодическими несинусоидальными сигналами выше указанных величин. С данными явлениями приходится сталкиваться при питании цепи от выпрямителя, в напряжении на выходе которого, наряду с постоянной составляющей присутствует периодическая составляющая. Также, несмотря на особенности конструкции генераторов переменного тока, которые рассчитываются для сведения ЭДС в обмотках к синусоидальным, в них присутствуют ЭДС содержащие в некоторой мере высшие гармоники, что обусловлено рядом конструкционных особенностей. 

Функции тока, напряжения и ЭДС в реальных физических цепях всегда имеют конечное число разрывов первого рода за полный период и конечное число максимумов и минимумов, т.е. удовлетворяют условиям Дирихле. При работе с несинусоидальным периодическим сигналом, т.е. при проведении расчетов, помогает использование разложения периодической функции в тригонометрический ряд Фурье.

Говоря о несинусоидальном периодическом сигнале, мы подразумеваем сложное гармоническое колебание, представляющее собой результат наложения конечного числа простых гармоник, на основе которых и будут проводиться дальнейшие расчеты.

Тригонометрический ряд Фурье позволяет разложить периодическую функцию f(x) в ряд, состоящий из простых гармоник. Рассмотрим общий вид ряда для периодической функции с произвольным периодом , где l – произвольное целое положительное число, удовлетворяющее условиям Дирихле:

Формулы для нахождения коэффициентов:

; 

где:

Для сравнения запишем разложение функции ЭДС от времени в общем виде:

.

где: 

Инженерная практика электроэнергетики показывает, что при решении практических задач можно обойтись конечным числом гармоник.

Рассмотрим два примера, наглядно показывающих практическое применение рядов Фурье при расчете электрических цепей.

Пример №1:

Рассчитать ток   в цепи, изображенной на рисунке 1, с постоянными параметрами при действии несинусоидального периодического напряжения в цепи, являющегося функцией от времени:  , при ;, где - сопротивление резистивного элемента,  – индуктивность, ω – угловая частота. 

Рисунок 1.

Решение:

Для решения данной задачи воспользуемся методом суперпозиции, согласно которому реакция на сумму возмущений равна сумме реакций на каждое возмущение в отдельности. Таким образом, мы можем найти мгновенные токи как функции от времени, возникающие под воздействием каждой составляющей напряжения. При расчете синусоидальных функций токов целесообразно воспользоваться методом комплексных преобразований, позволяющим представить синусоидальную функцию в виде комплексного числа. Для наглядности рассмотрим преобразование  – й гармоники напряжения , приложенной к зажимам цепи:

где  – амплитудное значение  – й гармоники напряжения,  – порядок гармоники,   – начальная фаза  – й гармоники напряжения, а  – принятое в электротехнике обозначение мнимой единицы.

Также для решения данной задачи будет использован закон Ома, согласно которому ток, протекающий на участке электрической цепи, есть величина, прямо пропорциональная напряжению на данном участке и обратно пропорциональная его сопротивлению:

Вышеописанная формула имеет смысл при протекании постоянного тока в цепи, но для расчета токов, вызванных воздействием синусоидальных напряжений, введем понятие эквивалентного комплексного сопротивления , определяемого по формуле:

где   – соответственно эквивалентные активное и реактивное сопротивления в цепи, находящейся под воздействием  – й гармоники напряжения.

Для соединения, описанного в данном примере, эквивалентное комплексное сопротивление примет следующий вид:

1. Вычислим постоянную составляющую тока по закону Ома. Так как при воздействии постоянного тока цепь состоит только из резистивных элементов, выражение примет вид:

где  – соответственно постоянные составляющие напряжения и тока, а  – сопротивление резистивного элемента.

2. Для расчета основной гармоники тока воспользуемся методом комплексных преобразований

3. Аналогично рассчитаем высшую гармонику тока 2-го порядка:

4. Приведем соответствующие полученным комплексным значениям синусоидальные функции:

5. Запишем суммарную функцию тока от времени:

Ответ:

Пример №2:

Рассчитать значения активной и реактивной мощностей пассивного двухполюсника (рисунок 2), при действии в нем периодических несинусоидальных напряжения и тока:

Рисунок 2.

Решение:

Формулы для нахождения активной и реактивной мощностей в цепи синусоидального тока отличаются от формул, используемых в цепях периодического несинусоидального тока. Для нахождения выше обозначенных величин мы используем амплитудные значения гармоник тока и напряжения. Запишем формулы для нахождения активной и реактивной мощностей в общем виде, обозначаемых соответственно :

где  – наивысший порядок гармоники, присутствующей в разложении;  – соответственно постоянные составляющие напряжения и тока;  – соответственно действующие значения напряжения и тока   – й гармоники, а  – разность  фаз между и напряжением током, определяемая выражением:

где  – начальные фазы напряжения и тока  – й гармоники.

1. Запишем выражение для расчета активной мощности в цепи переменного несинусоидального тока:

2. Запишем выражение для расчета реактивной мощности в цепи переменного несинусоидального тока:

Ответ:

Из вышеизложенного можно сделать вывод о том, что применение теории рядов Фурье значительно упрощает проведение расчетов в электротехнике. Использование данного метода имеет широкое применение, не ограниченное примерами, приведенными в статье. Применение данного метода является наглядным примером того, как многогранность математического аппарата используется в инженерном деле.

Список литературы:

1. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. — 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2003.— 463 с.: ил.
2. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. - 4-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2006.- 608 с.: ил. - (Высшее образование).
3. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения. Теоремы. Формулы / Г. Корн, Т. Корн; [Пер. И. Г. Арамановича (ред. пер.) и др.]. – 2-е. изд., стер. - М.: Наука, 1973. - 831 с.: ил.