ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ С ЦЕЛЬЮ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОВЕДЕНИЯ РАСЧЕТОВ В ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

АННОТАЦИЯ

Данная статья освещает практическое применение теории комплексных чисел при решении практических задач электротехники. Представлен теоретический материал, необходимый для выполнения расчетов в рамках данного метода. В работу включен ряд примеров, наглядно показывающих прикладное применение понятий о комплексных числах.

Ключевые слова: комплексные числа; векторные диаграммы; периодические процессы.

В инженерной и естественнонаучной практике не редко приходится сталкиваться с периодическими процессами, т.е. с процессами, повторяющимися через какой-то промежуток времени. Они встречаются в электротехнике, электронике, радиоэлектронике, теории упругости и т.д.

Большинство вычислений в электротехнике связано с расчетом цепей переменного тока, процессы в которых описываются при помощи синусоидальных величин тока, напряжения и ЭДС. Но, как показывает практика, расчеты с использованием синусоидальных функций оказываются слишком громоздкими, что в свою очередь является следствием того, что напряжение, ток и ЭДС при заданной частоте , определены двумя величинами: амплитудой и начальной фазой.

Использование комплексных чисел, для изображения синусоидальных функций времени, значительно упрощает процесс вычислений.

Комплексные числа не являются числами в привычном понимании данного термина, они образуют особую группу математических объектов.  

Каждому комплексному числу в соответствие может быть поставлена единственная пара действительных чисел  и наоборот, каждой паре действительных чисел может быть сопоставлено единственное комплексное число: .

Любое комплексное число может быть записано в виде суммы   действительного числа  и чисто мнимого числа , где  – мнимая единица, число, удовлетворяющее условию: , (при записи комплексных чисел в электротехнике, принято изображать мнимую единицу буквой  ввиду того, что  используется для обозначения мгновенного тока).

Таким образом:

.

Данная форма записи комплексного числа называется алгебраической.

Число  называется действительной частью комплексного числа  и обозначается  от английского “real”, а  – мнимой частью комплексного числа  и обозначается  от английского “imaginary”.

Два комплексных числа  называются равными, тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е.:  По аналогии: , при

Если два комплексных числа имеют равные действительные части, но противоположные мнимые, то такие комплексные числа называются сопряженными. Также:

Комплексное число  может быть изображено на комплексной плоскости точкой или радиус-вектором.

Из ранее изложенного следует, что каждому комплексному числу  может быть поставлена в соответствие единственная пара действительных чисел , . При помощи данной пары чисел комплексное число  может быть изображено на комплексной плоскости в виде точки или радиус- вектора. Оси  и  (в прямоугольной декартовой система координат) действительная и мнимая оси. По оси абсцисс и ординат соответственно откладываются действительная  и мнимая  части комплексного числа , см рисунок 1.

Рисунок 1.

Использовав формулы перехода от прямоугольной системы координат к полярной, получим соответствующие полярные координаты комплексного числа:

называются модулем и аргументом комплексного числа  .

Подставив в алгебраическую форму записи комплексного числа   выражения действительной и мнимой частей, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа  :

 – величина, определяемая с точностью до слагаемого , где  – произвольное число. Главное значение аргумента  – величина, определяемая неравенствами  и удовлетворяющая условию .

Применив к тригонометрической форме записи комплексного числа , формулу Эйлера:

получим показательную форму записи комплексного числа :

.

Рассмотрим сложение, умножение, деление и вычитание комплексных чисел в тех формах, в каких они производятся при расчетах в электротехнике.

В алгебраической форме:

В показательной форме:

Рационально производить возведение комплексного числа в степень и извлечение из него корня в показательной форме.

Возведение комплексного числа в степень по формуле Муавра:

где  целое число.

Извлечение корня  – й степени:

где натуральное число;   ;  – арифметический корень из положительного числа .

Как было сказано ранее, расчет электрических цепей (ЭЦ) в установившимся режиме связан с произведением ряда действий над синусоидальными величинами, что придает вычислениям громоздкость, связанную с тем, что функции ЭДС, напряжения и тока при заданной угловой частоте  определяются двумя величинами: амплитудой и начальной фазой. Запишем функцию синусоидального переменного тока от времени:

где  - амплитудное значение тока;  – начальная фаза тока.

Значительно оптимизировать проведение расчетов позволяет изображение синусоидальной функции от времени комплексным числом , в показательной форме представления, оно содержит модуль  и аргумент :

Для перехода от действительной синусоидальной функции к ее изображению в комплексной форме, модуль комплексной величины возьмем равным амплитуде синусоидальной функции, а аргумент комплексного числа возьмем равным аргументу синусоидальной функции, т.е.:

где  – комплексная амплитуда тока,  – оператор вращения.

Практика показывает, что запись оператора вращения, при расчете цепей в установившемся синусоидальном режиме, в комплексной форме не является необходимой.

Часто при расчетах различных величин, нам необходимы не только мгновенные значения тока, напряжения и ЭДС, но и их действующие значения. Для примера, запишем выражение для определения действующего значения тока:

В свою очередь, запись комплексного действующего значение тока будет иметь вид:

Аналогично определяются действующие значения напряжения и ЭДС.

В виду того, что действующие синусоидальные токи, напряжения и ЭДС в  раз меньше их амплитудных значений, при дальнейших расчетах, мы будем пользоваться действующими комплексными значениями.

Величина определяемая, как разность начальной фазы напряжения  и начальной фазы тока , называется разностью или сдвигом фаз и обозначается :

Для лучшего понимания нижеизложенного материала, запишем связь между током и напряжением на основных пассивных элементах ЭЦ:

На резистивном элементе:  где активное сопротивление, величина действительная. °.

На индуктивном элементе: где  индуктивность и индуктивное сопротивление. Индуктивное сопротивление, также обозначается , таким образом: . °.

На емкостном элементе: , где С и  – емкость и емкостное сопротивление. Емкостное сопротивление, также обозначается , таким образом: . °.

Величина, определяемая разницей индуктивного и емкостного сопротивления, называется реактивным сопротивлением и обозначается , таким образом, по определению:  Запишем индуктивное и емкостное сопротивления в комплексной форме:

Одной из важнейших величин, участвующих при расчетах в электротехнике, является комплексное сопротивление ЭЦ. Величина , равная отношению комплексного действующего значения напряжения , приложенного к зажимам цепи, к комплексному действующему значению тока протекающего через нее, называется комплексным сопротивлением ЭЦ:

где  – полное сопротивление цепи, а  и  – соответственно эквивалентные активное и реактивное сопротивления цепи.

Изображение комплексных величин в электротехнике, широко используется для построения векторных и векторно-топографических диаграмм. Рассмотрим изображение комплексных величин тока и напряжения, приложенных к зажимам некоторой ЭЦ:

Рисунок 2.

Рассмотрим два примера, наглядно показывающие практическое применение теории комплексных чисел при расчете электрических цепей.

Пример №1:

Рассчитать ток  протекающий в цепи, изображенной на рисунке 3, при;  Гн;  Ом. Если известно, что к зажимам цепи приложено напряжение = .                                                                                      

Рисунок 3.

Решение:

Цепь, изображенная на рисунке 3, представляет собой цепь последовательного соединения. Запишем формулу для нахождения комплексного сопротивления ЭЦ  с последовательным соединением элементов в общем виде:

где  последовательно соединенные сопротивления. Для нашего случая, запись примет вид:

Запишем функцию напряжения  в комплексной форме:

=

Для нахождения искомого тока, воспользуемся законом Ома, согласно которому, ток, протекающий на участке электрической цепи, есть величина прямо пропорциональная напряжению на данном участке и обратно пропорциональна его сопротивлению, запишем вышеописанное в комплексной форме:

подставим значения комплексного напряжения и сопротивления в вышеуказанную формулу и рассчитаем комплексное значение тока, протекающего в ЭЦ:

Произведем обратный переход, от комплексной величины к синусоидальной функции тока:

Ответ:

Пример №2:

Рассчитать падения напряжения на пассивных элементах ЭЦ, напряжение приложенное к клеммам ЭЦ изображенной на рисунке 4, при  Если известно, что по ЭЦ протекает ток  Построить векторную диаграмму напряжений.

Рисунок 4.

Решение:

Цепь, представленная на рисунке 4, является цепью последовательного соединения. Аналогично предыдущему примеру, рассчитаем эквивалентное комплексное сопротивление ЭЦ, :

Запишем функцию тока в комплексной форме:

=98.99

Рассчитаем комплексное действующее значение напряжения, приложенного к зажимам ЭЦ по закону Ома в комплексной форме, запишем его в синусоидальной форме, по средствам обратного перехода:

Рассчитаем комплексные действующие значения падений напряжения на пассивных элементах по закону Ома в комплексной форме, запишем их в синусоидальной форме:

Для построения векторной диаграммы, запишем уравнение напряжений по второму Закону Кирхгофа, согласно которому сумма падений напряжений в контуре, равна сумме ЭДС, входящих в этот контур, таким образом:

Изобразим входное действующее значение комплексного напряжения на комплексной плоскости в виде геометрической суммы векторов, учитывая их ориентацию в пространстве, см. рисунок 5:

Рисунок 5.

Ответ:

Список литературы:

1. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. - 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. -  СПб.: Питер, 2003.— 463 с.: ил.
2. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д. Т. Письменный. - 4-е изд. - М.: Айрис-пресс, 2006.- 608 с.: ил. - (Высшее образование).
3. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения. Теоремы. Формулы / Г. Корн, Т. Корн; [Пер. И. Г. Арамановича (ред. пер.) и др.]. – 2-е. изд., стер. - М.: Наука, 1973. - 831 с.: ил.