ПОСТРОЕНИЕ  ИНДЕКСА  ПРОИЗВОЛЬНОГО  ПРОЦЕССА

Босов  Аркадий  Аркадиевич

д-р  техн.  наук,  профессор  кафедры  «Прикладная  математика»,  Днепропетровский  национальный  университет  железнодорожного  транспорта  имени  академика  В.  Лазаряна,  Украина,  г.  Днепропетровск

E -mail:  AABosov@i.ua

Лоза  Петр  Алексеевич

канд.  техн.  наук,  доцент  кафедры  «Электроподвижной  состав  железных  дорог»,  Днепропетровский  национальный  университет  железнодорожного  транспорта  имени  академика  В.  Лазаряна,  Украина,  г.  Днепропетровск

E-mail: 

CREATION  OF  AN  INDEX  OF  ARBITRARY  PROCESS

Arkady  Bosov

doctor  of  Engineering,  professor  of  department  «Applied  mathematics»,  Dnipropetrovsk  national  university  of  railway  transport  named  after  academician  V.  Lazaryan,  Ukraine,   Dnepropetrovsk

Peter  Loza

candidate  of  Science,  associated  professor  of  department  «Electric  rolling  stock  of  the  railroads»,  Dnipropetrovsk  national  university  of  railway  transport  named  after  academician  V.  Lazaryan ,  Ukraine,  Dnepropetrovsk

АННОТАЦИЯ

В  предлагаемой  работе  осуществляется  объединение  двух  методов:  метода  главных  компонент  и  метода  анализа  иерархий.

Предложен  алгоритм  построения  индекса  по  наблюдаемым  показателям.

При  построении  индекса  произвольного  процесса  удалось  избавиться  от  субъективизма  экспертов  используя  метод  анализа  иерархий.

Если  процесс  является  управляемым,  то  получаем  возможность  оценки,  как  принимавшихся  решений,  так  и  определения  рациональных  решений  в  определенном  смысле  на  исследуемый  процесс.

ABSTRACT

In  offered  work  is  carried  out  join  of  two  methods:  method  of  the  principal  components  and  method  of  the  analysis  of  hierarchies.

The  algorithm  of  creation  of  an  index  of  observed  indexes  is  offered.

At  creation  of  an  index  of  the  arbitrary  process,  succeeded  to  get  rid  of  subjectivity  of  experts,  using  a  method  of  the  analysis  of  hierarchies.

If  process  is  operated,  we  have  an  assessment  opportunity,  both  made  decisions,  and  definition  of  rational  decisions  in  a  sense  of  studied  process.

Ключевые  слова:   метод  главных  компонент;  анализ  иерархий;  индекс  процесса.

Keywords:   method  of  the  principal  components;  analysis  of  hierarchies;  process  index.

Многие  процессы  или  явления,  протекающие  во  времени,  характеризуются  несколькими  показателями,  и  тогда  возникает  задача,  с  помощью  линейных  преобразований,  определить  такие  показатели,  которые  между  собой  не  коррелировали,  но  незначительное  их  число  с  достаточной  степенью  точности  описывало  бы  исходный  процесс.

Пусть  в  любой  момент  времени  некоторый  процесс  характеризуется  набором  показателей  . 

Тогда  возникает  задача  введения  некоторого  индекса,  который  бы  с  определенной  степенью  точности  отражал  бы  поведение  процесса  во  времени.

Если  в  моменты  времени    фиксировались  значения  показателей,  то  располагаем  матрицей  значений  показателей.  Данная  матрица  имеет    строк  и    столбцов,  а    будет  представлять  собой  значение  показателя  в  момент  времени  .

Процедура  построения  индекса  будет  состоять  из  двух  этапов.

На  первом  этапе  с  помощью  линейных  преобразований  переменных    определяются  новые  показатели    такие,  что  они  между  собой  не  коррелируют  [5].

Другими  словами,  основными  являются  соотношения

                 (1)

или  в  матричной  форме

                                    (2)

Как  показано  в  работе  [1]  первоначально  приходим  к  переменным  ,  которые  удовлетворяют  равенствам

,

где:    —  ортогональная  матрица.

Если    первый  столбец  матрицы  ,  то  его  выбираем  так,  чтобы  дисперсия    была  бы  максимальной.  После  чего  выбираем  второй  столбец  ,  так  чтобы  дисперсия    была  бы  максимальной,  и  выполнялось  условие  некоррелированности    с  . 

Аналогично  процедура  продляется  далее,  и  если  мы  работаем  с  ,  то  накладывается  условие  некоррелированности    с  .

Если    дисперсия  ,  а    ковариационная  матрица  ,  то  учитывая

получим

.

Поскольку    некоррелированная,  то  имеет  место

,

а  это  означает,  что  матрица

является  диагональной  с  элементами  .

Более  того  имеет  место

,

тогда  нормируя    получаем  -тую  главную  компоненту  .

Соотношение  (2)  теперь  можно  записать  в  виде

,

т.  е.  матрица    будет  следующей

.

Если  вместо  ковариационной  матрицы    использовать  корреляционную,  то  тогда  имеет  место

.

Выбирая  первые    главных  компонент,  получим,  что  они  описывают  следующую  долю  разброса  исходных  показателей

,

тогда  вместо    вводя    главных  компонент  с  заданной  точностью  описываем  изучаемый  процесс. 

На  втором  этапе  производим  линейную  свертку    главных  компонент  по  методу  анализа  иерархий  [4].

Существенным  элементом  данного  метода  является  построение  матрицы  попарных  сравнений  ,  элементы  которой  должны  обладать  свойствами:

1)  все 

2)  все 

3)  все    (свойство  совместности);

4)  максимальное  собственное  значение  матрицы    должно  быть  равно  .

В  работе  [2]  показано,  что  если  задана  первая  строка  матрицы    т.  е.  то  положив    все  четыре  свойства  матрицы    будут  выполнены,  а  компоненты  собственного  вектора  с  максимальным  собственным  значением  вычисляются  по  формуле

.

Если    главные  компоненты,  определяемые  по  методу  главных  компонент,  а    дисперсии  разброса  описываемые  главными  компонентами,  то  положив  первую  строку  матрицы    по  формуле

получаем  возможность  вычисления  ,  и  после  нормировки  индекс  процесса  будет  равным

.                             (3)

Таким  образом,  комбинируя  метод  главных  компонент  и  метод  анализа  иерархий,  получаем  индекс  процесса  (3)  как  некоторую  функцию  исходных  показателей.

В  качестве  примера  рассмотрим  индекс  социальных  последствий  работы  железной  дороги.  Показатели  их  значения  за  период  с  2001  по  2012  годы  представлены  в  Таблице  1.

Таблица  1.

Справка  о  выделении  средств  железной  дорогой  на  социальные  нужды  (тыс.  грн.)