ВАРИАЦИОННЫЙ  МЕТОД  ПОДАВЛЕНИЯ  ШУМА  НА  ИЗОБРАЖЕНИЯХ

Данг  Нгок  Хоанг  Тхань

аспирант  Тульского  государственного  университет,  РФ,  г.  Тула

Email :  myhoangthanh@yahoo.com

Фан  Зуй  Тунг

магистрант  Тульского  государственного  университет,  РФ,  г.  Тула

Email: 

A  VARIATIONAL  METHOD  TO  REMOVE  NOISE  ON  IMAGE

Dang  Ngoc  Hoang  Thanh

postgraduate  student  of  Tula  State  University,  Russia,  Tula

Phan  Duy  Tung

graduate  student  of  Tula  State  University,  Russia,  Tula

АННОТАЦИЯ

В  работе  предложен  метод  для  подавления  шума  на  изображениях  на  основе  вариационного  подхода.  Согласно  предлагаемому  методу  построен  алгоритм  для  подавления  шума  на  изображениях. 

ABSTRACT

In  this  paper  we  introduce  the  method  to  remove  noise  on  digital  image.  This  method  based  on  variational  approach.  In  the  result,  we  built  the  denoising  algorithm. 

Ключевые  слова:  подавление  шума;  цифровое  изображение;  полная  вариация;  уравнение  Эйлера-Лагранжа. 

Keywords:  denoising;  digital  image;  total  variation;  equation  Euler-Lagrange. 

Задача  подавления  шума  является  важной  и  имеет  большое  применение  в  технике  и  других  сферах.  Подавление  шума  поможет  повышению  качества  изображений  и  качества  алгоритмов  обработки  изображений,  например,  алгоритмов  распознания.

Большинство  изображений  содержит  гауссовский  шум.  Поэтому  построено  много  алгоритмов  для  подавления  гауссовского  шума.  В  этой  статье  мы  предлагаем  метод  на  основе  вариационного  подхода.  Рудин  (Rudin)  [3]  является  первым  ученным,  предлагающим  использовать  полную  вариацию  [2]  для  решения  задач  обработки  изображения.

В  пространстве    задана  ограниченная  область    и  набор  .  Пусть    являются  гладкими  функциями  двух  переменных.  Задача  подавления  шума  может  представить  в  виде: 

где:    —  функция  оригинального  изображения, 

  —  функция  зашумлённого  изображения, 

  —  функция  шума.

Пусть  шум  на  изображении  не  изменяется  и 

Идеей  подавления  шума  на  изображении  является  минимизация  следующего  функционала  энергией  функции  :

где  штрафная  функция  [1].

Задача  (2)  с  условием  (1)  можно  представить  в  виде  задачи  оптимизации  без  условий:

где:    ненулевой  параметр.

Для  подбора  штрафной  функции  нужны  современные  математические  инструменты,  и  это  также  имеет  свои  сложности.  Существует  несколько  заданных  штрафных  функций,  например,  квадратичная,  Шабониера  (Chabonier)  и  т.  д.  В  этой  статье  мы  выберем  квадратичную  штрафную  функцию.  Квадратичная  штрафная  функция  имеет  вид:

Поэтому  (3)  станет:

Мы  можем  считать,  что  норма  в  (3)  является  нормой  в  пространстве  .  Это  значит,  что  .  Поэтому  (3)  переписывается  в  виде:

Алгоритм  решения

Для  решения  задачи  (4)  мы  используем  уравнение  Эйлера-Лагранжа.  Уравнение  Эйлера-Лагранжа  задачи  (4)  имеет  вид:

или

Мы  используем  метод  градиент  спуска  с  шагом  времени    для  решения  (5).  Выражение  для  нахождения    в  шаге    имеет  вид:

где 

  —  число  точек  изображения  по  горизонтали,    —  число  точек  изображения  по  вертикали.

При  начальных  условиях:

Алгоритм  подавления  шума

Шаг  0.   Заданы    и  значение  .

Шаг  k.  

·     Вычислить    по  формуле  (6). 

·     Проверить  . 

·     Если  условие  выполнено,  стоп.  При  обратном  случае,  перейти  на  шаг  .

Экспериментальные  результаты 

В  эксперименте  мы  используем  изображение  cameraman.tif  и  добавляем  гауссовский  шум  со  среднеквадратичным  отклонением  .

Рисунок  1.  Подавление  шума  на  изображении  cameraman:  а)  Исходное  изображение,  б)  Зашумлённое  изображение  PSNR=28,  в)  Подавление  шума  PSNR=32, 

Заключение

В  этой  работе  предлагается  метод  подавления  гауссовского  шума.  Предлагаемый  метод  построен  на  основе  вариационного  подхода.  Результат  подавления  шума  зависит  от  параметра    и  свойств  каждого  изображения.

Список  литературы:

1.Жилинискас  А.,  Шатлянис  В.  Поиск  оптимума:  компьютер  расширяет  возможности.  М.:  Наука,  1989.  —  79  с.

2.Chan  T.F.,  Shen  J.  Image  processing  and  analysis:  Variational,  PDE,  Wavelet,  and  stochastic  methods.  SIAM,  2005.  —  400  p. 

3.Rudin  L.I.,  Osher  S.,  Fatemi  E.  Nonlinear  total  variation  based  noise  removal  algorithms//Physica  D.  —  1992.  —  Vol.  60.  —  P.  259—268.