СФЕРИЧЕСКИЕ  И  ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ  МОРСКИЕ  ВОЛНЫ  И  ИХ  ВЛИЯНИЕ  НА  МОРСКИЕ  СООРУЖЕНИЯ

Асланов  Лятиф  Фирудин  оглы

канд.  техн.  наук,  доцент,  Азербайджанский  архитектурно-строительный  университет,  Азербайджан,  г.  Баку

E-mail: 

CIVIL  ENGINEERING,  ARCHITECTURE

Latif  Aslanov

candidate  of  Technical  Sciences,  Associate  Professor  of  Azerbaijan  Architecture  and  Construction  University  ,  Azerbaijani,  Baku

АННОТАЦИЯ

Рассмотрены  проблемы  возникновения  сферической  и  цилиндрической  морской  волны  и  влияние  их  на  морские  сооружения.

Решены  уравнения  сферической  волны.  Определены  направляющие  косинусы  сферы  и  координаты  любой  произвольной  точки  на  поверхности  сферы.  Составлены  квадратичные  дифференциальные  уравнения  перемещения  u  с  учетом  угла  поворота    во  времени  t  при  волновом  процессе  и  с  помощью  формулы  Остроградского  даны  методы  решения.

Составлены  и  решены  цилиндрические  уравнения  морской  волны.  Назначены  начальные  и  граничные  условия,  удовлетворяющие  сферическим  и  цилиндрическим  уравнениям  морской  волны.

ABSTRACT

The  problems  of  a  spherical  and  cylindrical  sea  waves  and  their  effect  on  marine  structures.

Solved  the  equation  of  a  spherical  wave.  Defined  the  scope  of  the  direction  cosines  and  the  coordinates  of  any  arbitrary  point  on  the  surface  of  the  sphere.  Composed  quadratic  differential  equations  u  move  with  the  steering  angle  θ  in  time  t  in  a  wave  process,  and  using  the  formula  given  Ostrogradskii  solution  methods.

Formulated  and  solved  the  equation  cylindrical  sea  wave.  Assigned  to  the  initial  and  boundary  conditions  that  satisfy  the  equations  of  spherical  and  cylindrical  sea  wave.

Ключевые  слова:   сферические  и  цилиндрические  волны;  радиус  сферы  и  цилиндра;  возмущающая  сила.

Keywords:   spherical  and  cylindrical  waves;  the  radius  of  the  sphere  and  cylinder;  the  disturbing  force.

Цель  работы.   Изучить  проблемы  возникновения  сферической  и  цилиндрической  морской  волны  и  их  влияние  на  свайные  фундаменты  морских  сооружений

Результаты  исследований.

Сферические  волны.   Волны  могут  иметь  сферические  и  цилиндрические  формы  при  возмущении.  Сначала  рассмотрим  сферические  волны.  Такую  волну  можно  описать  следующим  уравнением  [4]:

                   (1)

Решение  этого  волнового  уравнения  будем  искать  таким  образом,  чтобы  удовлетворяла  начальным  условиям:

                (2)

Предположим,  что    непрерывна  со  своими  производными  до  третьего  порядка,  а    —  до  второго  порядка  включительно  относятся  к  пространственным  задачам.

По  поверхности  сферы    радиуса    с  центром  в  точке    решение  уравнения  (1)  выразим  интегралом  следующего  вида:

             (3)

здесь    —  произвольная  функция.  Координаты  точек  сферы    могут  быть  выражены  по  формулам:

,

где    —  направляющие  косинусы  радиусов  сферы  .  Величины  направляющих  косинусов  радиусов  сферы  имеют  вид:

где  угол    меняется  от  0  до    и  угол    от  0  до  .  Когда  точка  обладающая  коор­ди­натой  (),  описывает  сферу  ,  точка  ()  описывает  сферу    радиусом,  равным  единице,  с  центром  в  начале  координат,  а  между  соответствующими  элементами  площади    обеих  сфер  имеется  соотношение  следующего  вида:

.

Тогда  интеграл  (3)  приводится  к  виду:

    (4)

Из  уравнений  (4)  видно,  что  функция    имеет  непрерывные  производ­ные  до  к-го  порядка,  если  функция  непрерывна  вместе  со  своими  производными  до  к-го  порядка.

Из  формулы  (4)  находим:

или,  возвращаясь  к  первоначальной  области  интегрирования  получим:

      (5)

Дифференцируя  теперь  выражение  (4)  по  ,  получаем:

+

  (6)

Чтобы  вычислить  ,  перепишем  (6)  в  виде:

.

и,  применив  формулу  Остроградского,  получим:

,

где    —  шар  радиусом    с  центром  в  точке  .

Принимая  обозначение

будем  иметь

.

Дифференцируя  это  выражение  по  ,  получим

.           (7)

Отсюда  видно,  что

                      (8)

Если  переходить  в  интеграл    сферическим  координатам  ()  с  центром  в  точке  ,  тогда  получим:

.

Дифференцируя  это  выражение  по  ,  получим

.

Сравнивая  равенства  (5),  (7)  и  (8),  мы  видим,  что  функция  ,  опре­дел­я­е­мая  формулой  (3),  удовлетворяет  волновое  уравнение  (1),  какова  бы  ни  была  функция  ,  имеющая  непрерывные  производные  до  второго  порядка.  Из  формул  (4)  и  (6)  следует,  что  функция    удовлетворяет  начальным  условиям 

  (9)

Если    удовлетворяет  волновое  уравнение  (1)  начальным  условиям  (9),  то  легко  увидеть,  что  функция

,

будет  также  решением  уравнения  (1),  удовлетворяющим  начальным  условиям

  (10)

Теперь,  если  взять  в  случае  начальных  условий  (9)  за    функцию  ,  а  в  случае  начальных  условий  (10)  —  функцию    и  сложить  построенные  таким  образом  решения,  получим  решение  уравнения  (1),  удовлетворяющее  начальным  условиям  (2).

Таким  образом,  решение  волнового  уравнения  (1),  удовлетворяющее  начальным  условиям  (2),  запишем  в  виде:

            (11)

Эта  формула  совпадает  с  формулой  Пуассона  по  решению  сферического  волнового  уравнения.

Чтобы  яснее  представить  распространения  сферических  волн  в  трехмерном  пространстве,  описываемом  формулой  (11),  необходимо  допускать,  что  начальная  возмущающая  сила  сосредоточена  в  некоторой  ограниченной  области    с  границей  ,  т.  е.  что  функции    равны  нулю  в  области  .

Допустим  точка    находится  в  области  .  Обозначим  через    соот­ветственно  наименьшее  и  наибольшее  расстояния  от    до  точек  поверхности    (рис.  1).

При  времени    сфера    находится  вне  ,  обе  функции    равны  нулю  на  сфере    и  из  формулы  (11)  имеем  ,  т.е.  начальные  возмущения  еще  не  успели  дойти  до  точки  .  В  момент  времени    сфера    коснется  поверхности    и  передний  фронт  волны  пройдет  через  точку    внутри  сферы  .  Начиная  с  момента  времени    до  момента  времени    ,  сфера    будет  пересекать  область    и  формула  (10)  даст  .  Наконец,  при    сфера    не  будет  иметь  общих  точек  с  поверхностью    (вся  область    будет  лежать  внутри  сферы  )  и  из  формулы  (11)  будем  иметь  ,  т.  е.  начальные  возмущения  уже  прошли  через  точку  .  Моменту  времени    соответствует  прохождение  заднего  фронта  волны  через  точку  .  Передний  фронт  волны  в  заданный  момент  времени    представляет  собой  поверхность,  отделяющую  точки,  которые  еще  не  начали  колебаться,  от  точек,  которые  уже  колеблются.  Из  этого  вытекает,  что  все  точки  этой  поверхности  имеют  кратчайшее  расстояние  от  ,  равное  .  Передний  фронт  волны  есть  огибающая  для  семейства  сферической  волны,  имеющей  центр  на  поверхности    и  радиус  .  Задний  фронт  волны  в  заданный  момент  времени    представляет  собой  поверхность,  отделяющую  точки,  которые  еще  не  колеблются,  от  точек,  в  которых  колебание  прекратилось.  Постоянная    является  скоростью  распространения  фронта  волны.

Рисунок  1.  Сферическая  волна,  возникающая  от  сосредоточенной  силы,  действующей  на  ограниченной  области    с  границей 

Таким  образом,  начальные  возмущающие  силы  действуют  в  локализованном  виде  в  пространстве,  вызывая  в  каждой  точке    пространства  действие,  локализованное  во  времени;  при  этом  имеет  место  распространение  волны  с  передним  и  задним  фронтами  волны.

Цилиндрические  волны.

От  возмущающих  сил  часто  на  поверхности  жидкости  в  море  возникают  цилиндрические  волны.  В  таких  волновых  явлениях  функции    зависят  только  от  ,  т.е.  сохраняют  постоянное  значение  на  всякой  прямой,  параллельной  оси  .  Если  передвигать  точку    параллельно  оси  ,  то  правая  часть  формулы  сферической  волны  (10)  не  будет  менять  своего  значения,  т.е.  функция    также  не  будет  зависеть  от    и  формула  (10)  даст  решение  уравнения:

  (12)

при  начальных  условиях

  (13)

Теперь  можем  рассматривать  решение  (11),  как  исключительно  на  плоскости  .  Для  этого  надо  интегрировать  формулу  (11),  которая  относится  к  сферическим  волнам,  преобразовать  этот  интеграл  по  кругам  на  плоскости  .  Возьмем  точку    на  плоскости  .  Точки  с  координатами  ,  определяемые  по  формулам:

.

при  ,  суть  переменных  точек  сферы    с  центром    и  радиусом  .  Части  этой  сферической  волны,  находящиеся  над  и  под  плоскостью  ,  проектируются  на  плоскость    в  виде  круга    с  центром    и  радиусом  .

Известно,  что 

где    –  направление  нормали  к  сферической  волне  ,  т.е.  радиуса  этой  сферы,  образующей  острый  угол  с  осью  .  Если  принимать  переменную  точку    на  поверхности  сферы,    –  ее  проекция  на  плоскость  ,  то

,

где:  ()  —  координаты  переменной  точки  круга  .

В  результате  преобразования  формулы  сферической  волны  (11)  ,  получим:

  (14)

Формула  (14)  даст  решение  цилиндрического  волнового  уравнения  (12)  удовлет­воряющее  начальным  условиям  (13).

Объяснением  возникновения  цилиндрической  волны  будет  следующее.  Допустим,  что  начальная  возмущающая  сила  ограничивается  некоторой  граничной  областью    на  плоскости    с  контуром  ,  т.  е.    и    равны  нулю  вне  .  Пусть  точка    лежит  вне  области  .  Для  моментов  времени  ,  где    —  наименьшее  расстояние  от    до  контура  ,  круг    не  имеет  общих  точек  с  областью,  функции    и    равны  нулю  во  всем  круге    и  формула  (14)  дает    —  до  точки    возмущение  еще  не  дошло.  В  момент  времени    в  точку    придет  передний  фронт  волны.  Для  значений  ,  где    —  наибольшее  расстояние  от    до  контура  ,  круг    будет  содержать  внутри  себя  всю  область    и  мы  получим.

  (15)

После  момента  времени    функция    не  обращается  в  нуль,  как  в  случае  трехмерного  сферического  пространства  волны.  Но  ввиду  присутствия  члена    в  знаменателе  можно  утверждать,  что    при  .  Таким  образом,  начальная  возмущающая  сила,  локализованная  на  плоскости,  не  локализовано  во  времени  создает  цилиндрическую  волну,  которая  имеет  передний  фронт  волны,  но  не  имеет  заднего  фронта.  В  трехмерном  пространстве  уравнению  (13)  соответствуют  цилиндрические  волны.

На  основании  вышеизложенного  можно  сделать  следующие  выводы:

1.  При  возмущении  моря  от  ветровой  и  другой  силы  могут  возникать  сферические  и  цилиндрические  волны,  которые  влияют  на  устойчивость  и  несущую  способность  свайных  фундаментов,  как  оснований  морских  сооружений.  Большой  интерес  представляют  составить  и  решить  волновые  уравнения  этих  явлений.

2.  Предложены  методы  составления  и  решения  дифференциальных  уравнений  сферической  и  цилиндрической  волны  с  помощью  тригонометрических  функций  и  функций  перемещения  точки,  принятые  на  поверхности  сферы  и  цилиндра  с  произвольным  радиусом  r  и  углом  поворота  .  Назначены  начальные  и  граничные  условия,  удовлетворяющие  уравнения  сферической  и  цилиндрической  волны.

Список  литературы:

1.Асланов  Л.Ф.  Комбиниран  реологически  модел  за  описване  на  линейно  еластично  напрегнато  състояние  на  шельфа  (на  болгарском  яз.).  Сб.  с  доклади  ІІ.  Шеста  Международна  научна  конференция  «Архитектура,  Строительство-съвременност»,  30  май  —  1  юни  2013  г.  гр.  Варна,  България,  —  с.  159—166.

2.Асланов  Л.Ф.  Структура  турбулентного  потока  волны  и  влияние  ее  на  конструкции  свайного  фундамента  морских  сооружений.  Вісник  НТУУ  «КПІ»,  серія  «Гірництво»,  вип..  23  К.:  2014.  —  с.  5—12.

3.Асланов  Л.Ф.  Расчет  понтона  и  всплытия  опорного  блока  при  различных  глубинах  моря  для  освоения  нефтегазовых  месторождений.  Международ­нaя  научно-практическая  конференция.  Геленджик,  Краснодарский  край,  2010  г.,  —  ст.  67—72

4.Кошляков  Н.С.,  Глинер  Э.Б.,  Смирнов  М.М.  Уравнения  в  частных  производных  математической  физики.  Изд.  «Высшая  школа»,  М.:  1970.  —  710  с.