ЧИСЛЕННОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ  ПОПУЛЯЦИОННОЙ  ДИНАМИКИ  С  НЕЛОКАЛЬНЫМ  ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ  В  ДВУМЕРНОМ  СЛУЧАЕ

Арипов  Мирсаид  Мирсидикович

д-р  физ.-мат.  наук,  профессор  Национального  Университета  Узбекистана,  Ташкент

E-mail:  mirsaidaripov@mail.ru

Мухамедиева  Дильдора  Кабыловна

магистр  Национального  Университета  Узбекистана,  Ташкент

E-mail: 

NUMERICAL  SIMULATION   OF  POPULATION  DYNAMICS,  NONLOCAL  INTERACTIONS   IN  TWO  DIMENSIONS

Aripov  Mirsaid  Mirsidikovich

doctor  of  physical  and  mathematical  Sciences.,  phD  of  the  National  University  of  Uzbekistan,  Tashkent

Mukhamediyeva  Dildora  Kabilovna

master   of  the  National  University  of  Uzbekistan,  Tashkent

АННОТАЦИЯ

Моделирование  процессов  роста  диссипативных  структур  в  реакционно-диффузионных  (РД)  системах  вносит  вклад  в  развитие  теоретических  представлений  о  колониальной  организации  популяций  микроорганизмов.  Результаты,  полученные  при  исследовании  одномерной  нелокальной  модели,  создали  необходимый  задел  для  изучения  процессов  формирования  двумерных  популяционных  структур.  В  данной  работе  численными  методами  построены  решения  двумерного  РД-уравнения  с  квадратичной  нелокальной  нелинейностью  для  начальных  распределений  с  несколькими  центрами  локализации. 

ABSTRACT

Modeling  of  dissipative  structures  in  reaction-diffusion  (RD)  systems  contribute  to  the  development  of  theoretical  ideas  about  the  organization  of  the  colonial  populations  of  microorganisms.  The  results  obtained  in  the  study  of  one-dimensional  nonlocal  model  and  created  the  necessary  groundwork  for  the  study  of  the  formation  of  two-dimensional  population  structures.  In  this  paper,  numerical  methods  are  constructed  of  two-dimensional  solutions  RD-quadratic  equation  with  nonlocal  nonlinearity  for  initial  distributions  with  several  centers  of  localization.

Ключевые  слова:  популяционная  модель,  нелокальная  нелинейность,  реакционно-диффузионные  системы,  эффект  самоорганизации,  популяционные  волны,  закономерность,  динамика  роста.

Keywords :  population  model,  nonlocal  nonlinearity,  reaction-diffusion  system,  effect  of  self-organization,  population  wave,  consistent  pattern,  growth  dynamics.

Введение              

Анализы  показывают,  что  исследования  линейных  математических  моделей  физических,  биологических,  химических  и  других  процессов  являются  удобными,  так  как  для  лежащих  в  их  основе  линейных  дифференциальных  уравнений  в  частных  производных  разработаны  общие  методы  их  решения.  В  прикладных  же  задачах  реальные  физические  процессы  нелинейные,  и  для  их  адекватного  описания  следует  использовать  нелинейные  математические  модели. 

Интересно,  с  точки  зрения  приложений,  изучить  такие  классы  нелинейных  дифференциальных  уравнений,  в  которых  неизвестная  функция  и  производная  этой  функции  входят  степенным  образом.

Такие  типы  нелинейностей  часто  встречаются  в  задачах  биологической  популяции  [7].

Моделирование  процессов  роста  диссипативных  структур  в  реакционно-диффузионных  системах  вносит  вклад  в  развитие  теоретических  представлений  о  колониальной  организации  популяций  микроорганизмов  [6,  7].  В  базовой  реакционно-диффузионной  модели  Фишера-Колмогорова-Петровского-Пискунова  (ФКПП)  [3,  5]  учитываются  основные  механизмы  популяционной  динамики:  диффузия,  автокатализ  и  локальные  квадратичные  конкурентные  потери.  Как  показывают  многочисленные  теоретические  и  экспериментальные  исследования  (например,  [6,  7]),  на  формирование  популяционных  структур  существенно  влияют  дополнительные  факторы:  метаболиты,  лизис,  межклеточные  коммуникации  и  др.  Эти  факторы  изменяют  характер  взаимодействия  в  популяции,  создавая  эффект  «дальнодействия».  В  работе  [4]  показано,  что  при  специальном  выборе  ядра  интегрального  оператора  и  параметров  в  уравнении  реализуется  динамический  режим,  который  можно  рассматривать  как  возникновение  популяционной  структуры.  В  [2]  развит  формализм  квазиклассических  асимптотик  для  одномерного  уравнения  ФКПП  с  переменными  коэффициентами  и  нелокальной  нелинейностью,  а  в  [6]  это  уравнение  решалось  численными  методами. 

Постановка  задачи

Рассмотрим  скалярное  уравнение  реакции  с  диффузией  типа  Колмогорова-  Фишера  [6,  7]

,  (1) 

описывающий  процесс  диффузии-реакции  в  области  .

Здесь    и    —  коэффициенты  реакции-диффузии.  В  начальный  момент  времени:

.

Зададим  начальное  распределение  с  центром  локализации  в  точке    следующим  образом:

                  (2)

Здесь  параметр    характеризует  степень  локализации  функции  б  -амплитуда.  Начальное  распределение  с  точками  локализации    зададим  в  виде

.     (3)

Здесь  n  —  количество  центров  локализации  (локальных  максимумов)  функции  .

Решение  задачи

Решение  уравнения  (1)  строилось  численными  методами.  В    построим  равномерную  сетку    по    с  шагами    и  :

,

и  временную  сетку  ,  .

Задачу  (1)  на  сетке    аппроксимируем  по  неявной  схеме  переменных  направлений  (продольно-поперечная  схема). 

Численные  решения  уравнения  (1)  строились  на  отрезке  времени    при  следующих  значениях  параметров  уравнения:  ,  a  =  3,  ,  ,  .

Важная  особенность  динамики,  описываемой  уравнением  (1),  состоит  в  том,  что  существует  некоторое  характерное  время  τ,  названное  временем  релаксации,  за  которое  начальное  распределение    вида  (2)  преобразуется  в  аксиально-симметричное  распределение.  Начиная  с  момента  времени  τ  (в  представленных  ниже  примерах  τ  ≈  5),  вокруг  центрального  максимума  функции    образуется  аксиально-симметричное  (кольцеобразное)  распределение. 

Для  наглядности  на  рис.  1,2  приведены  структура  решения    в  момент  времени  t  =  5  и  t  =  35.

Рисунок  1.  Структура  решения      в  момент  времени  t  =  5

Рисунок  2.  Структура  решения    в  момент  времени  t  =  35

Заключение

Численное  моделирование  популяционной  динамики  на  основе  уравнения  (1)  показало,  что  эволюция  функции  плотности  u  может  проходить  по  различным  сценариям  в  зависимости  от  параметров  уравнения  и  начальных  условий.  Существуют  динамические  режимы  формирования  диссипативных  структур.  Для  инокуляции  с  одним  (2)  и  несколькими  (3)  центрами  возникают  расширяющиеся  кольцеобразные  популяционные  волны,  которые  в  случае  (3)  могут  взаимодействовать  между  собой  и  приводить  к  образованию  диссипативных  структур.  Эволюция  начального  распределения  с  одним  центром  характеризуется  временем  релаксации,  которое  соответствует  времени  насыщения  массы  центральной  колонии  бактерий.

Список  литературы: 

1. Арипов  М.  Методы  эталонных  уравнений  для  решения  нелинейных  краевых  задач.  Ташкент  Фан,  1988,  137  б.
2. Борисов  А.В.,  Трифонов  А.Ю.,  Шаповалов  А.В.  Численное  моделирование  популяционной  2D-динамики  с  нелокальным  взаимодействием  //  Компьютерные  исследования  и  моделирование.  —  2010.  —  Т.  2  —  №  1.  —  С.  33—40. 
3. Колмогоров  А.Н.,  Петровский  Н.Г.,  Пискунов  Н.С.  Исследование  уравнения  диффузии,  соединенной  с  возрастанием  вещества,  и  его  применение  к  одной  биологической  проблеме  //  Бюллетень  МГУ.  Сер.  А.  Математика  и  Механика.  —  1937.  —  Т.  1.  —  №  6.  —  С.  1—16. 
4. Fuentes  M.A.,  Kuperman  M.N.,  Kenkre  V.M.  Nonlocal  interaction  effects  on  pattern  formation  in  population  dynamics  //  Phys.  Rev.  Lett.  —  2003.  —  V.  91.  —  P.  158104-1—158104-4. 
5. Fisher  R.A.  The  wave  of  advance  of  advantageous  genes  //  Annual  Eugenics.  —  1937.  —  V.  7.  —  P.  255—369.
6. Matsushita  M.,  Hiramatsu  F.,  Kobayashi  N.,  Ozawa  T.,  Yamazaki  Y.,  Matsuyama  T.  Colony  formation  in  bacteria:  experiments  and  modeling  //  Biofilms.  —  2004.  —  V.  1.  —  P.  305—317. 
7. Murray  J.D.  Mathematical  Biology.  I.  An  Introduction  (Third  Edition)  N.  Y.,  Berlin,  Heidelberg:  Springer  Verlag,  2001.  —  551  p.