ОЦЕНКА  ЧАСТОТЫ  ПЕРИОДИЧЕСКОГО  ТРЕНДА  В  ИЗМЕРИТЕЛЬНОМ  СИГНАЛЕ

Левенец  Алексей  Викторович

канд.  техн.  наук,  доцент  кафедры  автоматики  и  системотехники  Тихоокеанского  государственного  университета,  г.  Хабаровск

E-mail: 

ESTIMATING  OF  FREQUENCY  OF  THE  PERIODIC  TREND  IN  THE  MEASUREMENT  SIGNAL

Levenets  Alexey  Viktorovich

Candidate  of  Science,  assistant  professor  of  faculty  of  automatics  and  system  engineering  of  Pacific  National  University,  Khabarovsk

АННОТАЦИЯ

В  статье  предлагается  способ  оценки  частоты  периодического  тренда  в  измерительном  сигнале.  Способ  основан  на  вычислении  квазиспектра  сигнала  по  числам  пересечения  сигналом  нулевого  уровня.  Приведены  результаты  исследования  предложенного  способа  на  моделях  измерительных  сигналов  с  периодическими  трендами  разных  типов.  Показано,  что  предложенный  способ  позволяет  оценивать  частоту  периодического  тренда  с  малой  погрешностью.

ABSTRACT

In  article  the  way  of  a  estimating  of  frequency  of  a  periodic  trend  in  a  measurement  signal  is  offered.  The  way  is  based  on  calculation  of  quasispectrum  by  zero-crossing  number.  Results  of  research  of  the  proposed  method  on  models  of  measuring  signals  with  periodic  trends  of  different  types  are  submitted.  It  is  shown,  that  the  proposed  method  allows  estimating  frequency  of  a  periodic  trend  with  a  small  error.

Ключевые  слова:  тренд;  измерительный  сигнал;  пересечение  нуля;  квазиспектр.

Keywords:  trend;  measurement  signal;  zero-crossing;  quasispectrum.

Обнаружение  тренда  в  измерительных  данных  является  одной  из  важных  процедур  обработки  измерительных  данных.  Такая  процедура,  в  частности,  позволяет  снижать  объемы  данных,  передаваемых  по  линиям  связи  информационно-измерительных  систем.  Процедуры  выявления  трендов,  описываемых  линейными  уравнениями  хорошо  известны,  однако  выделение  других  типов  тренда  является  более  сложной,  по  крайней  мере,  в  вычислительном  отношении  задачей.

Для  определения  параметров  гармонического  тренда  обычно  используют  один  из  методов  спектрального  оценивания,  например,  быстрое  преобразование  Фурье,  вычисление  периодограмм  и  др.  Здесь  следует  отметить  большие  вычислительные  затраты,  свойственные  таким  методам,  что  особенно  касается  периодограммного  метода  оценки  спектра.  Очевидно,  что  вычислительные  затраты  можно  существенно  снизить,  если  иметь  априорную  информацию  о  частоте  гармонического  тренда.  Здесь  следует  обратить  внимание  на  метод  анализа  сигнала  по  числам  пересечения  нулевого  уровня.  Очевидно,  что  не  зашумленный  гармонический  сигнал  с  частотой  f  за  единицу  времени  пересечет  нулевой  уровень  2f  раз.  Естественно,  наличие  шумов  будет  существенно  искажать  эту  величину,  поэтому  судить  о  спектральном  составе  сигнала  по  одному  такому  числу  в  общем  случае  некорректно.

Возможность  применения  свойств  чисел  пересечения  сигналом  нулевого  уровня  (нулей  сигнала)  для  спектрального  анализа  показал  Б.  Кедем.  Так,  в  его  работах  было  доказано,  что  если  в  анализируемом  процессе  преобладает  какая-либо  полоса  частот,  то  число  пересечений  нуля  будет  принимать  значения,  соответствующие  этой  полосе,  а  при  наличии  в  исследуемом  сигнале  доминирующей  составляющей  с  частотой  f_д,  число  пересечений  нуля  будет  стремиться  к  числу,  соответствующему  этой  частоте  [1].  Таким  образом,  применяя  к  исследуемому  сигналу  ряд  линейных  фильтров,  с  различными  частотами  среза,  и  определяя  после  каждой  фильтрации  путём  подсчитывания  НС  частоту  доминирующей  составляющей,  можно  определить  наличие  в  анализируемом  сигнале  периодичности  с  некоторой  частотой. 

В  качестве  фильтров  было  предложено  использовать  простые  повторно-разностные  (ПР)  и  повторно-суммирующие  (ПС)  фильтры.  Реализация  первого  порядка  таких  фильтров  сводится  к  последовательному  вычитанию  (сложению)  соседних  отсчетов  исходной  последовательности  данных,  причем  применение  такой  операции  к  уже  отфильтрованной  последовательности  является  реализацией  фильтра  второго  порядка  и  т.  д.  Следует  отметить,  что  ПР  фильтр  является  высокочастотным,  а  ПС  фильтр  —  низкочастотным.  Отличительной  особенностью  описанных  фильтров  является  простота  реализации  и,  как  следствие,  низкая  требовательность  к  вычислительным  затратам

Так  как  нули  сигнала  связаны  со  спектральной  функцией  анализируемого  сигнала,  в  [2]  было  предложено  использовать  этот  факт  для  грубого  спектрального  анализа  сигнала.  Для  этого  к  исходному  сигналу  последовательно  применялись  ПР  и  ПС  фильтры  в  различных  сочетаниях  (максимальный  порядок  фильтров  при  этом  ограничивается)  и  производился  подсчет  чисел  пересечения  нулевого  уровня  (ЧПН)  для  каждого  сочетания  таких  фильтров.  Совокупность  ЧПН,  полученную  после  применения  к  сигналу  ряда  простейших  фильтров  можно  рассматривать  как  некоторое  подобие  спектральной  функции,  которое  в  [2]  предложено  называть  «квазиспектр». 

Очевидно,  что  с  помощью  квазиспектра  можно  оценивать  частоту  периодического  тренда  в  анализируемом  сигнале,  причем  с  достаточно  низкими  вычислительными  затратами.  Суть  предлагаемого  способа  заключается  в  следующем.  Для  исходной  выборки  рассчитывается  квазиспектр,  причем  для  любого  сочетания  фильтров  величина  ЧПН  подсчитывается  по  N  отсчетам.  Таким  образом,  квазиспектр  будет  состоять  из  N  составляющих,  причем  некоторой  относительной  частоте  f  будет  соответствовать  квазиспектральная  составляющая  Q_i,  индекс  которой  определяется  как  i  =  2fN.  Величина  квазиспектральной  составляющей  (КСС)  представляет  собой  частоту  появления  соответствующей  величины  НС,  поэтому  по  ней  можно  судить  о  присутствии  в  исходной  выборке  периодичности  с  соответствующей  частотой.  Для  определения  частоты  гармонического  тренда  находится  максимальное  значение  КСС  в  полученном  квазиспектре  и  вычисляется  частота,  соответствующая  этой  КСС. 

Оценка  эффективности  предлагаемого  способа  оценки  частоты  периодического  тренда  производилась  по  относительной  погрешности  определения  частоты.  Исследования  проводились  на  модели  измерительного  сигнала  в  виде  аддитивной  смеси  периодического  сигнала  с  заданной  частотой  и  шума  с  нормальным  и  равномерным  распределением.  Полученные  результаты  показали,  что  в  целом  результаты  оценки  частоты  периодического  тренда  для  различных  типов  шумов  имеют  близкие  параметры,  хотя  для  равномерного  шума  можно  отметить  несколько  более  низкие  погрешности  оценки  частот.  Исходя  из  полученных  результатов,  в  данной  статье  предлагаются  для  рассмотрения  только  результаты,  полученные  для  случая  зашумления  нормальным  шумом.

В  качестве  периодического  тренда  рассматривались  синусоида,  меандр,  пилообразный  и  треугольный  сигналы.  Как  показали  исследования,  объем  выборки  N  практически  не  сказывается  на  величине  относительной  погрешности,  поэтому  далее  в  работе  приведены  результаты  для  N  =  512.  При  определении  квазиспектра  использовались  ПР  и  ПС  фильтры  не  выше  девятого  порядка,  а  результаты  усреднялись  по  десяти  реализациям.

На  рис.  1  приведены  зависимости  относительной  погрешности  определения  частоты  δ_f  для  различных  типов  периодического  тренда  и  различных  значений  отношения  сигнал/шум  (ОСШ),  условно  вычисляемого  как  отношение  квадрата  амплитуды  тренда  к  дисперсии  шума. 

а)

б)

в)

г)

Рисунок  1.  Относительная  погрешность  определения  частоты  для  разных  типов  периодического  тренда:  а)  синусоидальный,  б)  меандр,  в)  пилообразный,  г)  треугольный

Полученные  результаты  показывают,  что  предлагаемый  способ  оценки  частоты  при  значениях  ОСШ  более  трех  обеспечивает  погрешность  не  выше  0,5  %  практически  во  всем  диапазоне  относительных  частот  (примерно,  0,05…0,45)  для  всех  типов  тренда.  Исключение  здесь  составляет  тренд  типа  «меандр»,  для  которого  при  повышении  ОСШ  характерно  появление  нерегулярных  резких  всплесков  погрешностей  на  краях  относительного  частотного  диапазона.  Этот  факт  можно  связать  со  сложным  спектром  такого  рода  сигналов  и  слабой  чувствительностью  квазиспектра  на  краях  относительного  частотного  диапазона  [3].  При  этом,  в  случае  единичного  ОСШ  частотный  диапазон,  в  котором  погрешность  определения  частоты  тренда  не  превышает  2  %,  для  такого  типа  тренда  имеет  наибольшее  значение  и  составляет  примерно  0,15…0,35,  в  то  время  как  для  трендов  других  типов  этот  диапазон  существенно  ниже.

Таким  образом,  можно  отметить  существенное  снижение  частотного  диапазона,  в  котором  погрешность  не  превышает  приемлемого  уровня  при  снижении  ОСШ.  Так,  уже  при  ОСШ,  равном  0,5  средняя  погрешность  в  диапазоне  0,2…0,3  составляет  для  синусоидального  тренда  примерно  5  %,  для  меандра  —  7,5  %,  для  пилообразного  тренда  —  12  %,  а  для  пилообразного  —  11  %.  Наилучшие  результаты,  проявляемые  методом  при  определении  синусоидального  тренда  можно  объяснить  более  простым  характером  спектра  этого  сигнала,  в  силу  чего  и  вид  квазиспектра  имеет  меньше  ложных  максимумов,  которые  и  играют  решающую  роль  при  определении  частоты  тренда.

Для  повышения  эффективности  определения  частоты  было  предложено  искать  не  общий  максимум  по  всем  значениям  квазиспектра,  а  локальные  максимумы,  лежащие  в  окрестностях  частоты  тренда.  Очевидно,  что  для  этого  требуется  априорное  знание  о  значении  частоты  тренда.  Приведенные  результаты  были  получены  при  поиске  локальных  максимумов  в  области  относительных  частот  ±5  %  от  истинного  значения  частоты  тренда.  Результаты  такого  способа  оценки  частоты  приведены  на  рис.  2.

а)

б)

в)

г)

Рисунок  2.  Относительная  погрешность  определения  частоты  для  разных  типов  периодического  тренда  при  поиске  локальных  максимумов:  а)  синусоидальный,  б)  меандр,  в)  пилообразный,  г)  треугольный

Полученные  результаты  свидетельствуют  о  существенном  снижении  величины  относительной  погрешности  в  области  как  низких,  так  и  высоких  относительных  частот.  Так,  при  ОСШ  равном  трем  частотный  диапазон,  в  котором  погрешность  определения  частоты  предлагаемым  способом  не  превышает  1  %,  для  синусоидального  тренда  составляет  примерно  0,03…0,5,  для  пилообразного  тренда  —  0,08…4,9,  для  пилообразного  тренда  —  0,05…0,46.  Лучший  результат  показывает  тренд  типа  «меандр»,  для  которого  погрешность  составляет  величину  менее  0,5  %  практически  во  всем  относительном  частотном  диапазоне.  При  снижении  ОСШ  погрешность  существенно  возрастает,  причем  следует  отметить,  что  максимум  погрешности  приходится  на  низкочастотную  область  относительного  спектра.  Это  можно  объяснить  свойствами  квазиспектра,  который  для  любого  типа  сигнала  часто  дает  ложную  составляющую,  соответствующую  относительной  частоте  0,25,  причем  эффект  особенно  сильно  проявляется  при  анализе  низкочастотных  сигналов.

Таким  образом,  предложенный  способ  оценки  частоты  гармонического  тренда  позволяет  оценивать  частоту  тренда  с  относительной  погрешностью  не  более  1  %  практически  во  всем  частотном  диапазоне  при  величине  ОСШ  не  менее  трех.  Следует  также  отметить  низкие  вычислительные  затраты,  свойственные  для  предложенного  способа,  позволяющие  реализовывать  его  на  микроконтроллерной  технике

Список  литературы:

1.Кедем  Б.  Спектральный  анализ  и  различение  сигналов  по  пересечениям  нуля  //  ТИИЭР.  т.  74.  —  1986.  —  №  11.  С.  6—24.

2.Левенец  А.В.,  Чернявский  Е.А.,  Чье  Ен  Ун.  Оценки  спектра  сигнала  методом  выделения  скрытых  периодичностей  по  пересечениям  нуля  //  Измерительная  техника.  —  1996.  —  №  9.  С.  13—16.

3.Левенец  А.В.,  Чье  Ен  Ун,  Иванов  В.Э.  Первичная  обработка  данных.  Оценка  спектра,  сжатие,  распознавание.  Saarbrücken:  LAP  LAMBERT  Academic  Publishing,  2012.  —  160  c.