ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ МЕТОДА ЛИНЕАРИЗАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ

Панюков Алексей Геннадьевич

магистр, аспирант кафедры «Системы Передачи Информации» Омского Государственного Университета Путей Сообщения, г. Омск

e-mail: 

EVALUATION OF COEFFICIENTS FOR METHOD OF LINEARIZATION OF THE TRANSMITTING CHARACTERISTIC OF THE ANALOG-TO-DIGITAL CONVERTER

Alexey Panyukov

Master, post-graduate of «Information Transmitting Systems» chair of

Omsk State Transport University, Omsk

Аннотация

В данной работе рассматривается вычисление коэффициентов разложения степенного ряда гармонических функций. Постановка задачи связана с реализацией метода линеаризации передаточной характеристики аналого-цифровых преобразователей, основанного на спектральном анализе.

Abstract

In this paper is considered calculation of expansion coefficients of power series of harmonic functions. Statement of the problem connected with the implementation of the linearization method of a linearization of the transmitting characteristic of the analog-to-digital converters.

Ключевые слова: аналого-цифровой преобразователь; АЦП; дискретизация; интегральная нелинейность; дифференциальная нелинейность; спектральный анализ линеаризация; передаточная характеристика; рекуррентные соотношения.

Keywords: analog-to-digital converter; ADC; digitization; integral nonlinearity; differential nonlinearity; linearization; transmitting characteristic; recurrence relations; spectral analysis.

Идеальный аналого-цифровой преобразователь (АЦП) имеет линейную характеристику преобразования [4]. Реальные АЦП обладают нелинейной характеристикой, описываемой такими парамет­рами, как дифференциальная и интегральная нелинейности [1, 4]. В данной работе предлагается метод линеаризации характеристики преобразования, базирующийся на оценке спектрального состава сигнала после аналого-цифрового преобразования. Существующие методы специфичны для конкретных типов АЦП [1, 3], тогда как описываемая методика может быть применена для любых типов устройств такого рода.

Введем передаточную характеристику аналого-цифрового преобразователя, как зависимость, определяемую исходя из следующего соотношения:

,                                                      (1)

где:  — значение исходного аналогового сигнала в моменты времени ;

 — функция, описывающая характеристику преобразования АЦП;

 — значение -го отсчета дискретизированного сигнала.

Введем нелинейность АЦП путем представления  как серию последовательных преобразований входного сигнала:

                          (2)

Соотношение (2) можно поясняется на рис. 1. На первом этапе входной сигнал  преобразуется в последовательность отсчетов  с помощью идеального АЦП, имеющего характеристику преобразования . На втором этапе последовательность  поступает на вход нелинейной части АЦП с характеристикой . В итоге получаем последовательность искаженных выборок .

Рисунок 1. Графическое представление аналого-цифрового преобразования

Далее будем рассматривать только нелинейную составляющую передаточной характеристики .

Исходя из типичных значений интегральной нелинейности для реальных аналого-цифровых преобразователей, можно сделать вывод, что она обычно не превышает величины в единицы процентов. Соответственно, мы можем разложить данную характеристику в ряд Фурье в окрестности текущего значения выборки сигнала :

                                               (3)

Обратим внимание, что в определении нелинейной части передаточной характеристики мы ограничиваемся первыми  членами разложения Фурье. Число  может зависеть от типа и характеристик АЦП, и является темой для дальнейших исследований.

Метод линеаризации заключается в определении коэффициентов при  исходя из спектрального состава последовательности . В качестве тестового сигнала удобно использовать синусоидальный сигнал. Спектр такого сигнала отличен от нуля только в одной точке, соответствующей частоте синусоиды. При вводе нелинейности спектр сигнала видоизменяется — появляются высшие гармоники. Рассмотрим тестовый сигнал, описываемый соотношением (4):

                                                       (4)

При прохождении данного сигнала через идеальный аналого-цифровой преобразователь отклик можно представить в виде:

                                                      (5)

где:  — характеризует влияние шума квантования.

Если аппроксимировать нелинейность передаточной характе­ристики АЦП соотношением (3), то на выходе преобразователя мы получим последовательность выборок, описываемую соотношением

.                                (6)

Для упрощения примем, что исходный сигнал нормирован на единицу, то есть в (4) . Также пренебрежем искажениями, вызванными шумом квантования идеального аналого-цифрового преобразователя. В таком случае, в (6) можно положить все .

Далее рассмотрим представление степенного ряда вида

                                            (7)

в виде суммы следующего вида:

       (8)

Задача — получить зависимость коэффициентов  в (8) от  в (7).

Можно показать, что функция синус в четной степени выражается через сумму константы и косинусов, отвечающих четным гармоникам:

                 (9)

Синус в нечетной степени выражается через сумму синусов, отвечающих нечетным гармоникам.

       (10)

(10) можно выразить через коэффициенты (9):

       (11)

Приравнивая коэффициенты в (10) и (11), получим, что:

                      (12)

Аналогично можно получить соотношения для перехода от нечетной степени синуса к четной:

                (13)

Таким образом, получили рекуррентные соотношения, позволяющие выразить синус в степени n+1 через коэффициенты соотношения для синуса в степени n.

Заметим, что соотношение (7) может быть представлено в виде:

           (14)

Таким образом, зная выражение для

                                  (15)

и соотношения (12) и (13) мы можем выразить ряд по степеням функции через сумму гармонических составляющих. Причем для любого порядка n.

Используя соотношения (7), (12) и (13), можно найти разложение степенного ряда гармонических функций любого порядка, то есть искомую зависимость коэффициентов.

Исходя из полученных соотношений, можно сделать вывод, что отклик неидеального аналого-цифрового преобразователя на синусоидальный сигнал представляет собой сумму постоянной составляющей и гармоник, кратных несущей частоте исходного радиоимпульса.

Выполним преобразование Фурье соотношения (8). Обозначим через  — дискретное преобразование Фурье отклика, а через — дискретное преобразование Фурье -ой гармоники отклика:

.                                         (16)

Если нормировать значение спектра  на единицу, то можно заметить следующую простую закономерность:

.                                    (17)

Исходя из полученных соотношений, можно построить последовательность шагов для реализации описываемой методики:

1.         на вход аналого-цифрового преобразователя подается тестовый синусоидальный сигнал;

2.         определяется спектральный состав полученного отклика;

3.         спектр отклика нормируется на единицу;

4.         вычисляются значения спектра отклика для нулевой частоты и первых  гармоник;

5.         используя соотношения (12) и (13), вычисляются коэффициенты разложения для выражения (3);

6.      полученные коэффициенты  используются для вычис­ления значений входного сигнала в рабочем режиме.

Таким образом, в данной работе приведен метод линеаризации характеристики преобразования аналого-цифровых преобразователей для любых порядков (3).

Список литературы:

1.Бондарь М.С. Повышение Точности Процесса Аналого-Цифрового Преобразования. Материалы IV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научный потенциал студенчества в XXI веке» Том первый. Естественные и технические науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2010. — 582 с.

2.Грицутенко С.С., Панюков А.Г. Метод линеаризации характеристики преобразования АЦП. Известия Транссиба. — 2012. — № 3. — С. 78—83.

3.Melkonian L. Improving A/D Converter Performance Using Dither. USA: National Semiconductor, 1992. — 32 c.

4.Widrow B., Kollár I. Quantization Noise, Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications. — Cambridge: Cambridge University Press, 2008. — 752 c.