ЗАДАЧА  УСТОЙЧИВОСТИ  РАМЫ  В  РАМКАХ  ТЕОРИИ  СТАЦИОНАРНЫХ  СЛУЧАЙНЫХ  ПРОЦЕССОВ

Шляхов  Станислав  Михайлович

д-р  физ.-мат.  наук,  профессор  Саратовского  государственного  технического  университета,  РФ,  г.  Саратов

Кривулина  Эльвира  Федоровна

канд.  техн.  наук,  доцент  Саратовского  государственного  технического  университета,  РФ,  г.  Саратов

Е-mail: 

PROBLEM  TO  STABILITY  OF  THE  FRAME  IN  THE  THEORY  OF  THE  STATIONARY  CASUAL  PROCESSES

Shlyakhov  Stanislav

dr.  Sc.,  Professor,  Yuri  Gagarin  State  Technical  University  of  Saratov,  Russia,  Saratov

Krivulina  Elvira

candidate  of  the  technical  sciences,  Assistant  professor,  Yuri  Gagarin  State  Technical  University  of  Saratov,  Russia,  Saratov

АННОТАЦИЯ

Целью  работы  является  получение  размеров  поперечного  сечения  рамы,  работающей  на  устойчивость,  находящейся  под  воздействием  нагрузки,  представляющей  стационарный  случайный  процесс.  В  работе  использован  энергетический  метод.  Получено  значение  размеров  круглого  поперечного  сечения  вероятностным  методом.  Предлагаемая  методика  позволяет  спроектировать  раму  при  случайном  ее  нагружении  при  заданной  надежности  и  сроке  эксплуатации.

ABSTRACT

The  Purpose  of  the  work  is  a  reception  of  the  sizes  of  the  cross-section  of  the  frame,  working  at  stability,  residing  under  influence  of  the  load,  presenting  stationary  casual  process.  Energy  method  is  used  In  the  article.  It  Is  Received  importance  of  the  sizes  of  the  round  cross-section  by  probabilistic  method.  Proposed  methods  allows  to  design  frame  under  casual  its  load  under  given  to  reliability  and  period  to  usages.

Ключевые   слова:  вероятность;  устойчивость;  рама

Keywords:   probability;  stability;  frame

Пусть    —  обобщенная  нагрузка,  являющая  собой  случайный  нормальный  стационарный  процесс.  В  этом  случае  мерой  надежности  является  вероятность  того,  что  ни  разу  за  срок  службы  Т  действующая  нагрузка    не  превысит  критической,  т.  е.  надежность  по  устойчивости  будет  равна  [1,  с.  58]

Решая  уравнение  (1)  при  условии  ,  находим  ,  а  через  него  размеры  сечения,  обеспечивающие  заданную  надежность.  Для  нормального  стационарного  процесса    выражение  (1)  примет  вид

Зададим  корреляционную  функцию  в  виде

На  основании  (3)  выражение  (2)  примет  вид

Отсюда  для    имеем

где  .

Далее,  решая  задачу  устойчивости,  находят  ,  где    —  искомый  размер  сечения,  из  которого  и  определяют    по  значению  ,  взятому  по  (5).

Рисунок  1.

Рассмотрим  пример  расчета.  Рама  составлена  из  двух  одинаковых  стальных  стержней  круглого  профиля  поперечного  сечения  и  нагружена  усилием  Р  (рис.  1).

Нагрузка  представляет  собой  случайный  стационарный  нормальный  процесс.  Корреляционная  функция  имеет  вид  .

Исходные  данные:    м,    кН,    кН,  ,  ,    МПа.  Срок  службы  рамы    лет    с.

Следует  найти  размеры  поперечного  сечения  стержней,  обеспечивающие  надежность  по  устойчивости  .

Решение:

1.  Определяем  параметр  :  .

.

2.  Находим  критическую  нагрузку  :  .

  кН.

3.  Для  связи  критического  усилия  с  геометрией  рамы  решаем  задачу  устойчивости  рамы,  предполагая  деформации  упругими.

Используем  энергетический  баланс  ,  где    —  работа  критической  силы,    —  потенциальная  энергия  деформации  системы.

Из  энергетического  баланса  получаем 

.                                   (6)

Здесь    —  смещение  точки  приложения  силы    вниз.

Для  определения  потенциальной  энергии  деформации  полагаем  форму  изогнутой  оси  подобной  от  действия  поперечной  нагрузки    (рис.  2.).  Изгибающий  момент  в  произвольном  сечении  рамы  выразится  формулой  .

Рисунок  2.

Подсчитаем  потенциальную  энергию  деформации  рамы

Осадку  (смещение)    находим  по  условию

где    —  угол  поворота  сечения  стержня  (  —  функция  прогиба).  Для  поиска  угла  поворота  в  произвольном  сечении    приложим  в  нем  единичный  момент  и  перемножим  полученные  эпюры  ,    по  Верещагину  (рис.  3):

или  для  угла  поворота 

                          (9)

Рисунок  3.

Подставляя  (9)  в  (8)  и  интегрируя,  получаем

На  основании  (7),  (10)  из  формулы  (6)  получаем  .  Итак:

Определим    из  условия  (11)  для 

м⁴    см⁴.

4.     Подбираем  круглый  профиль  поперечного  сечения  из  :

  м  мм.

5.  Для  проверки  полученного  решения  найдем  предварительно  коэффициент  приведения  длины    по  Эйлеру.

Заменим  раму  условной  стойкой  с  равным  для  нее  значением  критической  силы  ,  т.  е.  :  .

Отсюда  находим  .

6.     Проверяем  гибкость  эквивалентной  стойки.  Минимальный  радиус  инерции  круглого  сечения  равен    мм.

Гибкость  стойки  .

Получили,  что  .  Это  означает,  что  найденное  решение  подчиняется  решению  Эйлера.  Заметим,  что  в  случае  гибкости    решение  по  Эйлеру  не  справедливо  и  следует  искать  решение  задачи  устойчивости  при  наличии  неупругих  деформаций.

Список  литературы:

1.Арасланов  А.  М.  Расчет  элементов  конструкций  заданной  надежности  при  случайных  воздействиях.  М.:  Машиностроение,  1987,  —  128  с.

©  Э.Ф.  Кривулина,  2014.

©  С.М.  Шляхов,  2014.