ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОЧЕРЕДЬЮ C N ПРИОРИТЕТАМИ ПРИ ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИИ ПАМЯТИ ПОСЛЕ ПЕРЕПОЛНЕНИЯ

Аксенова Елена Алексеевна

канд. физ.-мат. наук, Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН,

Петрозаводский государственный университет, г. Петрозаводск

E-mail:

OPTIMAL CONTROL QUEUE WITH N PRIORITIES IN THE CASE OF MEMORY REDISTRIBUTION AFTER THE OVERFLOW

Aksenova Elena Alekseevna

Ph.D., Institute of Applied Mathematical Research

of the Karelian Research Centre of the Russian Academy of Sciences,

Petrozavodsk State University, Petrozavodsk

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ (проект 12-01-00253-а).

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается очередь с N приоритетами, расположенная в памяти размера m единиц. Приоритетная очередь представлена в виде N FIFO-очередей. В таком способе реализации все поступающие элементы с одинаковым приоритетом помещаются в одну FIFO-очередь, поэтому память не тратится на хранение приоритетов. В данной работе решается задача оптимального перераспределения памяти между FIFO‑очередями после переполнения одной из очередей. В качестве критерия оптимальности рассматривается максимальное среднее время до следующего перераспределения памяти. 

ABSTRACT

This paper considers the queue with n priorities, located in the memory size of m units. Priority queue represented as n FIFO-queues. In such method all incoming elements with the same priority are placed in the same FIFO-queue, so it do not need memory for storage of element's priorities. In this paper the problem of optimal reallocation of memory between the FIFO queues after the overflow of one of the queues is solved. The optimality criterion is considered the maximum average time until the next reallocation.

Ключевые слова: структуры данных; приоритетная очередь; FIFO-очередь; случайные блуждания; цепи Маркова.

Keywords: data structure; priority queue; FIFO-queue; random walks; Markov chains.

 Введение

Во многих приложениях используется структура данных, в которой основными операциями являются вставка элемента и удаление элемента с наибольшим приоритетом. Такую структуру данных называют приоритетной очередью [3, 5, 6]. В работе рассматривается представление N-приоритетной очереди в виде N FIFO-очередей. Преимуществом данного способа представления является то, что не требуется хранить в памяти приоритеты, приоритет определяется номером FIFO-очереди. При реализации такого способа возникает проблема оптимального разбиения памяти между N FIFO-очередями. В [1, 7] предложены математические модели для такого способа представления приоритетной очереди, а также для представления приоритетной очереди в виде массива. В [2] предложена математическая модель для двухприоритетной очереди в случае перераспределения памяти. В данной работе предлагается математическая модель и алгоритм оптимального управления N - приоритетной очередью в случае перераспределения памяти после переполнения одной из FIFO-очередей.

 Математическая модель

Рассмотрим очередь c N приоритетами, расположенную в памяти размера m единиц. Такую приоритетную очередь представим в виде N FIFO-очередей. Первой FIFO-очереди присвоен приоритет 1, второй – приоритет 2, и т. д. , N-й - приоритет N. Наивысший приоритет N. Известны вероятностные характеристики приоритетной очереди:

·     p_i – вероятность включения элемента с приоритетом i, i=1,…, N;

·     q – вероятность исключения элемента из очереди;

·     r – вероятность операции, не изменяющей длину очереди;

где p₁+p₂+…+ p_N+q+r=1. При исключении элемента из пустой очереди работа не завершается. В очереди могут храниться элементы длины L. Предположим, что m кратно L. Тогда максимальное количество элементов в очереди обозначим n = m/L.

Рассматривается последовательный способ организации приоритетной очереди. В последовательном способе N-приоритетная очередь представлена в виде N последовательных FIFO-очередей. Пусть k_i - количество элементов, выделенных i-й FIFO-очереди, 0 ≤ k_i ≤ n, i=1,…, N, k₁+k₂+…+k_N = n (Рис. 1). Необходимо определить, как перераспределить свободную память между FIFO-очередями после переполнения одной из очередей, чтобы среднее время до следующего перераспределения памяти было максимально.       

Рис. 1. Последовательное представление

Обозначим текущие длины FIFO-очередей x_i, i=1,…, N. В качестве математической модели процесса работы с N-приоритетной очередью рассмотрим случайное блуждание в n-мерном пространстве 0≤ x_i< k_i+1, i = 1,…, N, x_i=k_i+1 − поглощающие гиперплоскости. Блуждание начинается в точке x_i = 0, i = 1,…,N. Предполагаем, что в начале работы с приоритетной очередью память делится оптимально, в качестве критерия оптимальности рассмотрено максимальное среднее время до переполнения. То есть значения k_i, i = 1,…, N, выбраны оптимально и среднее время блуждания до попадания на поглощающие границы максимально.

Переполнению j-й очереди соответствуют точки на гиперплоскости x_j= k_j+1. При переполнении одной из FIFO-очередей происходит перераспределение свободной памяти между FIFO-очередями и работа продолжается. При попытке включения элемента в заполненную j-ю FIFO‑очередь, когда x_j = k_j, x_i ≤ k_i, i≠j, i,j= 1,…, N, требуется определить новую область блуждания 0≤ x_i< k_i^*+1, i = 1,…, N, где k_i^*>k_i, если i=j. То есть необходимо найти такие значения k_i^*, i = 1,…, N, чтобы среднее время до следующего переполнения одной из FIFO-очередей было максимальным.

 Решение задачи

Случайное блуждание по целочисленной решетке будем рассматривать как конечную однородную поглощающую цепь Маркова с матрицей вероятностей переходов P. Для решения задачи требуется матрица Q вероятностей переходов из невозвратных состояний в невозвратные (Q - подматрица матрицы P). Вводится нумерация состояний Марковской цепи, это позволяет определить структуру матрицы Q для любого размера памяти m, длины элемента L, и любых значений k_i, i = 1,…, N. Среднее время вычисляется с помощью фундаментальной матрицы N=(E-Q)^-1 [4], где N_ij – это среднее количество единиц времени, которое процесс находился в состоянии j, если начальным было i.

Вычисление критерия оптимальности в данной задаче является очень ресурсоемким за счет обращения матрицы (E-Q) большого размера.

 Алгоритм

1.  Ввод вероятностных характеристик приоритетной очереди, размера памяти m, длины элемента L; n=m/L;

2.  Для всех возможных значений k_i, 0 k_i≤n, i = 1,…, N, k₁+k₂+…+k_N=n генерируем матрицу Q, вычисляем матрицу N, суммируем элементы матрицы N в строке, соответствующей состоянию x_i=0, i=1,…, N;

3.  Выбираем такой набор k_i, 0≤k_i≤n, i=1,…, N, k₁+k₂+…+k_N=n, которому соответствует максимальная сумма элементов в строке соответствующей матрицы N;

4.  Для каждого состояния, в котором j-я FIFO-очередь заполнила выделенную память, т. е. x_j=k_j, x_i≤k_i, i≠j, i,j=1,…, N, перебираем все возможные значения x_i≤k_i^*≤n, k₁^*+k₂^*+…+k_N^*=n, где k_i^*>k_i, если i=j. Для каждого набора k_i^*, i=1,…, N, генерируем новую матрицу Q, вычисляем матрицу N, суммируем элементы матрицы N в строке, соответствующей рассматриваемому состоянию (x_i=k_i, i=1,…, N);

5.  Выбираем такой набор k_i^*, 0≤k_i^*≤n, i=1,…, N, которому соответствует максимальная сумма элементов в строке соответствующей матрицы N. Для каждого состояния, соответствующего тому, что одна из FIFO-очередей заполнила выделенную память, получаем оптимальные значения k_i^*, i=1,…, N,.

Шаги 4—5 можно повторять до полного исчерпания свободной памяти (если перед каждым новым перераспределением текущие значения k_i^* обозначить k_i,_, i=1,…, N,).

Список литературы:

1.Аксенова Е.А., Соколов А.В. Анализ некоторых методов реализации приоритетной очереди // Стохастическая оптимизация в информатике. – 2008. Вып.4. – С. 61—71.

2.Аксенова Е.А., Соколов А.В. Анализ методов управления двухприоритетной очередью // Труды международной научной конференции «Моделирование и анализ информационных систем» (6—7 февраля 2012 г. ЯРГУ). – Ярославль, 2012. – С. 76—78.

3.Боллапрагада В., Мэрфи К., Уайт Р. Структура операционной системы Cisco IOS. – М.: Вильямс, 2002. – 208 с.

4.Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. – М.: Наука, 1970. – 272 с.

5.Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. – М.: Вильямс, 2001. – 720 с.

6.Седжвик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. – К.: Диасофт, 2001. – 688 с.

7.Соколов А.В., Драц А.В. Оптимальное управление приоритетной очередью в памяти одного уровня // Труды Карельского научного центра Российской академии наук. – 2011. № 5. – С. 103—110.