АППРОКСИМАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ОЦЕНОК РЕСУРСА

 Подвойский Александр Олегович

ассистент кафедры «Техническая механикаи детали машин» СГТУ им. Гагарина Ю. А., г. Саратов

E-mail: apodvoyskiy08@gmail.com

Боровских Валентин Ефимович

д-р техн. наук, профессор кафедры «Техническая механикаи детали машин» СГТУ им. Гагарина Ю. А., г. Саратов

Теория прогнозирования оценок усталостной долговечности сложных механических систем насчитывает десятки различных моделей, методов и подходов, однако задача прогнозирования ресурса технических объектов (к которым относят несущие системы транспортных машин, силовые элементы двигателей и т. д.), функционирующих в условиях эксплуатационного нагружения, по-прежнему остается одной из не решенных задач прикладной механики. Следуя работе [1], заметим, что развитие аппроксимативных моделей прогнозирования, адаптированных к инженерным расчетам, является актуальным направлением динамики и прочности механических систем.

В работе [2] была предложена феноменологическая модель исчерпания прочностных характеристик объекта, основанная на гипотезе об исчерпании предела выносливости материала  и кинетическом уравнении континуальной механики повреждаемости сплошных сред

где - текущая скалярная мера усталостных повреждений; - текущее значение предела выносливости материала, МПа; - эффективная частота процесса, Гц; - коэффициент в корреляционной зависимости между пределом выносливости и пределом прочности по Эйхингеру; - коэффициент порога чувствительности; - коэффициент пропорциональности; , , - материальные параметры модели, - число ступеней на траектории деградационного процесса; - максимальное значение процесса нагружения  на отрезке ; - точки пересечения реализации процесса нагружения  с текущим пределом выносливости .

Как показал сравнительный анализ прогностических оценок ресурса найденных по модели (1) и по модели Полякова-Болотина [3], для различных комбинаций параметров автокорреляционной функции и кривой выносливости Велера наибольшее отклонение для модели (1) не превосходит 13 %; однако использование прогностической модели (1) в форме рекуррентного соотношения встречает некоторые сложности вычислительного характера, по этой причине представляется разумным разработать более простую и удобную для расчета модель.

Используя упрощенную методику идентификации материальных параметров (и полагая , ), перепишем модель (1) для приращения ординаты деградационного процесса  [  ] в виде

где - абсцисса точки перегиба кривой усталости; - показатель угла наклона левой ветви кривой усталости.

Выразив  в соотношении (2) через интеграл Дирихле , получим выражение для средней площади  стационарного гауссовского процесса

где - дисперсия процесса; - дисперсия первой производной процесса; - круговая частота процесса по нулям, .

Подставив (3) в (2), получим . Теперь определим число циклов до разрушения .

И, наконец, выразив  через среднеквадратическое отклонение  и разделив последнее соотношение на эффективную частоту процесса , получим формулу для расчета усталостной долговечности

Модель (4) содержит ряд упрощений и потому нуждается в коррекции: как показал статистический анализ результатов вероятностного моделирования, в первой итерации соотношение (4) можно переписать в виде

где - условное обозначение соответственно узкополосного и широкополосного процесса.

Теперь рассмотрим альтернативные модели и проведем сравнительный анализ оценок усталостной долговечности .

В работе D. Benasciuttiи R. Tovo[4] рассматривается ряд моделей для расчета оценок ресурса (в моделях реализован метод потоков дождя «RFC»):

• модель Narrow-bandapproximation: при нагружении широкополосными процессами оценка ресурса оказывается консервативной

где  - гамма-функция.

• модель T. Dirlik[5]: не имеет теоретической основы и в силу особенностей математической оболочки модели делает невозможным переход к негауссовским процессам [4]

где - частота процесса по экстремумам; - спектральная плотность процесса;  - параметры оптимальной подгонки.

• модель W. Zhaoи M. J. Baker [6]: как показывают исследования [4], оценка Zhao-Bakerне может быть применена к процессам с параметром широкополосности

где  - весовой коэффициент, ( );  - параметры закона Вейбулла.

В работе [3] Б. Н. Поляков предлагает расчетно-экспериментальный подход к построению оценки усталостной долговечности (сформированный на основе корректного применения математических методов теории случайных величин и теории выбросов), учитывающий особенности статистических характеристик случайной кривой усталости и нагруженности в форме автокорреляционной функции, что позволяет отказаться от различных методов схематизации

где  - число сочетаний; - математическое ожидание процесса; - функция Пирсона.

На рис.1 изображены кривые усталости по моделям (1), (5)—(9) для

случая нагружения стационарными гауссовскими стохастическими процессами с автокорреляционной функцией (АКФ) экспоненциально-косинусного типа .

Рис. 1. Кривые усталости a) узкополосный процесс, b) широкополосный процесс

Параметры АКФ и кривой усталости для моногармонического нагружения:

• рис.1, а) ; ; ; ; ;
• рис.1, b) ; ; ; ;  .

Таким образом, как это видно из рис.1 расчетные оценки ресурса найденные с помощью аппроксимативной модели (5), с достаточной для инженерной практики точностью близки к оценкам, вычисленным по хорошо известным апробированным моделям.

Модель (5), также как и рассмотренные модели корректно учитывает влияние прочностных характеристик объекта и спектрального состава стохастического процесса нагружения, однако в отличие от моделей (7)—(9) удобнее в использовании и не требует сложных вычислений.

Необходимо подчеркнуть, что аппроксимативная модель (5) представляет собой лишь одно из приближений общей модели (1) для случая нагружения стационарными гауссовскими процессами, и только указывает на то обстоятельство, что общая рекуррентная модель (1) в частном случае (стационарные процессы) дает оценки, согласующиеся с оценками, найденными с использованием общепринятых моделей.

Вообще же модель (1) позволяет оперировать достаточно широким классом стохастических процессов нагружения, включающим нестационарные, негауссовские и другие процессы.

Список литературы:

1. Багмутов В. П. Прогнозирование надежности и долговечности углеродистых сталей при статистическом моделировании случайного внешнего нагружения / В. П. Багмутов, А. Н. Савкин// Известия Волгоградского государственного технического университета. - 2007. - № 1(27). - Вып. 1. - С. 12—17.
2. Подвойский А. О. Прогнозирование оценки ресурса технического объекта по критерию текущего значения предела выносливости /А. О. Подвойский, В. Е. Боровских // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2011. - № 1(52). - Вып. 1. - С. 84—88.
3. Поляков Б. Н. Методика оценки срока службы деталей с использованием теорий случайных величин и случайных процессов и ее применение / Б. Н. Поляков // Вестник машиностроения. - 2007. - № 2. - С. 28—34.
4. Benasciutti D. Comparison of spectral methods for fatigue analysis of broad-band Gaussian random processes / D. Benasciutti, R. Tovo // Probabilistic Engineering Mechanics. - 2006. - № 21. - P. 287—299.
5. Dirlik T. Application of computers in fatigue analysis: Thesis (Ph.D.); University of Warwick, Dept. of Engineering (UK). - Warwick, 1985 – 241 p.
6. Zhao W. On the probability density function of rainflow stress range for stationary Gaussian processes / W. Zhao, M. J. Baker // International Journal of Fatigue. - 1992. - № 14(2). - P. 121—135.