Основные методы анализа волноводных структур

Андросик Андрей Борисовия

к.т.н., доцент, Государственный открытый Универсииет, г. Москва

Воробьев Сергей Андреевич

к.т.н., доцент, Государственный открытый Универсииет, г. Москва

Мировицкая Светлана Дмитриевна

к.т.н., доцент, Государственный открытый Универсииет, г. Москва

E-mail: vorsa_57@mail.ru

В задачах вычислительной фотоники широко используются различные подходы к решениям уравнений Максвелла посредством электромагнитных симуляторов или вычислителей поля. Моделирование поля можно применить для проведения реалистичного эквивалентного моделирования электромагнитных структур [1, с. 26]. На рис.1 приведены основные типы и особенности методов анализа, которые используются для решения задач интегральной фотоники.

Аналитические методы (рис.2) – решения волноводных задач в закрытой форме с точки зрения аналитических функций. Выражения могут быть найдены только для нескольких специальных конфигураций (например, в прямоугольных, эллиптических или сферических волноводах и резонаторах) [2, с. 38]. Несмотря на их ограниченную практическую применимость, аналитические решения чрезвычайно полезны с целью утверждения численных методов, поскольку они обеспечивают безошибочные справочные решения.

Полуаналитические методы (рис.3) были развиты до появления мощных компьютеров. Они используют обширную аналитическую обработку задач поля. Это приводит к сложному интегралу, бесконечному ряду, вариационной формуле, асимптотическому приближению, то есть, к выражению, требующему количественного решения заключительной вычислительной обработки. Предварительная аналитическая обработка часто приводит к довольно быстрым и эффективным компьютерным алгоритмам, но получающиеся программы обязательно специализированы, поскольку первоначально в формулировку были включены определенные типы граничных и материальных условий.

Рисунок 1. Основные типы методов анализа

Рисунок 2. Аналитические методы

Рисунок 3. Полуаналитические методы

Необходимо отметить, что аналитические и полуаналитические методы анализа можно рассматривать в общем виде. Это связано с тем, что чисто аналитические методы используются для решения только узкого круга простейших задач. Полуаналитические методы основаны на определенной аппроксимации структуры в процессе рассмотрения с последующим получением аналитического решения упрощенных задач. Полуаналитические методы широко используются при моделировании оптоэлектронных волноводов, таких как углубленные и ребристые волноводы, конусы и направленные ответвители [3, с. 58]. Число полуаналитических методов быстро увеличивается, появляются новые методы и усовершенствуются уже существующие. Примеры полуаналитических методов расчета волноводных структур приведены на рис.4.

Рисунок 4. Основные виды полуаналитических методов решения задач интегральной фотоники

Метод трех слоев плоского волновода. Один из наиболее простых полуаналитических методов (рис.5). Полагается, что структура волновода однородна вдоль осей у и z. Тангенциальные составляющие поля связаны на границе между средами, поэтому возможно использовать волновые уравнения Гельмгольца для описания однородных сред.

Метод Маркатилли. Этот метод является одним из первых полуаналитических методов для анализа углубленных волноводов и разветвителей. (рис.6).

Метод был разработан для направляющих структур больших размеров, для которых разность показателей преломления между сердцевиной и оболочкой материала небольшая, менее 5%. С учетом этого, поле предполагается существующим только в области сердцевины волновода и в четырех соседних областях оболочки, которые распространяются в ширину и глубину волновода до бесконечности. Во всех других областях считается, что поле пренебрежимо мало и принимается равным нулю. Кроме того, предполагается синусоидальное изменение поля в области сердцевины и экспоненциальное в четырех областях оболочки эквивалентной структуры, что используется для разделения общего поля на поля от двух волноводных пластин - вертикальной и горизонтальной. Два трансцендентных уравнения для каждого волновода решаются совместно для получения константы осевого распространения.

Рисунок 6. Метод Маркатилли

Метод Маркатилли не обеспечивает хороших результатов для волноводов, работающих вблизи области отсечки.

Метод Кумара. Метод Кумара является усовершенствованием метода Маркатилли, учитывающим конечное поле в угловых зонах (рис.7).

Рисунок 7. Метод Кумара

Метод эффективного показателя преломления. Метод Маркатилли был в дальнейшем развит и преобразован в метод эффективного показателя преломления, вскоре ставшим одним из самых популярных методов анализа оптических волноводов. В этом методе эффективный показатель преломления структуры получается путем решения двух трансцендентных уравнений для волноводных пластин (рис.8).

Простота и быстрота метода привлекли исследователей к разработке различных модификаций (рис.9), которые позволили повысить точность метода эффективного показателя. Было развито много различных вариантов метода, таких как метод эффективного показателя, базирующийся на линейной комбинации решений, с коррекцией возмущения или вариационный метод эффективного показателя, разработанный специально для анализа ребристых волноводов.

Рисунок 8. Метод эффективного показателя преломления

Метод возмущений. Метод возмущений (рис.10) позволяет обеспечить лучшую аппроксимацию профиля показателя преломления, чем методы эффективного показателя. В процессе моделирования волноводной структуры вычисляется возмущение показателя преломления, а также возмущение распределения электромагнитного поля.

Рисунок 9. Модификации метода эффективного показателя преломления

Рисунок 10. Метод возмущений

Метод спектрального показателя преломления. Возрастающее использование ребристых волноводов в качестве базового носителя сигнала, также как их использование в устройствах связи, деления, фокусировки, соединения, фильтрации, усиления, модуляции и генерации дают толчок для разработки методик повышения точности полуаналитических методов расчета. Одним из достижений является метод спектрального показателя преломления, предложенный для анализа ребристых волноводов с воздушной оболочкой (рис.11). Переход оптического поля из полупроводника в воздух моделируется с использованием сдвига Гуса-Хансена, объединенного с нулевым граничным условием. Исследуемая открытая структура заменяется несколько большей, частично закрытой, которую легко анализировать; решения для такой структуры близко аппроксимируют аналогичные для реальной структуры.

Метод спектрального анализа решает скалярное волновое уравнение как для самого гребня, так и для области ниже него. При нахождении решения для поляризационного случая, вводятся основные компоненты поля, для которых эффективные ширины, соответствующие вариационным граничным условиям, удовлетворяются адекватно. Волновое уравнение решается непосредственно для гребня и выражается в раздельной форме. В области ниже гребня для снижения мерности проблемы используется Фурье-преобразование; поле выражается в спектральной области с использованием Фурье-преобразования. Поля в основании гребня полностью согласуются, но допускается неоднородность градиента поля, которая минимизируется, что приводит к трансцендентному уравнению для β, имеющему эффективное решение.

Развитием метода спектрального показателя преломления стал дискретный метод спектрального показателя, который использует ряды Фурье в действительной области для поля ниже гребня  и является очень экономичным по затратам компьютерного времени, хотя ограничивает поля в горизонтальном направлении. Метод был также развит на случай соединения ребристых волноводов, многослойных в ребре и под ним, на случаи с потерями и усилением, а также при вытекающих модах.

Методы, использующие Фурье-преобразование. Техника Фурье преобразования является специальной группой полуаналитических методов, использующих преобразование Фурье в процессе решения уравнений Максвелла. Наиболее интересны вариационный метод, использующий обобщенное Фурье преобразование и метод оператора Фурье.

Эти методы используются  для решения обобщенной планарной многослойной структуры с любым распределением показателя преломления.  Оба метода разделяют многослойную структуру на три раздельных вертикальных области как  в методе трех слоев.

Рисунок 11. Метод спектрального показателя преломления

Список литературы:

1.            Андросик А.Б., Воробьев С.А., Мировицкая С.Д. Основы волноводной фотоники.- М.: МГОУ, 2009. 246 с.

2.            Андросик А.Б., Воробьев С.А., Мировицкая С.Д. Математические основы волноводной фотоники.- М.: МГОУ, 2010. 224 с.

3.            Андросик А.Б., Воробьев С.А., Мировицкая С.Д. Математические основы волноводной фотоники.- М.: МГОУ, 2011. 370 с.