СВОБОДНЫЙ ИЗГИБ ТРУБЫ МОМЕНТОМ

A FREE PIPE BENDING BY MOMENT

Sergey Vdovin

doctor of Engineering Sciences, Professor at the Department “Technological processes, machines and equipment” OSU named after I.S. Turgenev,

Russia, Orel

Alexey Zaitsev

assistant at the Department “Technological processes, machines and equipment” OSU named after I.S. Turgenev,

Russia, Orel

Konstantin Lunin

post-graduate student, OSU named after I.S. Turgenev,

Russia, Orel

АННОТАЦИЯ

Предлагается расчет овальности сечений, приобретаемой трубой в процессе пластического изгиба и не ограниченной инструментом. Методика расчета, основанная на условиях статического равновесия, апробирована сравнением с вариационным решением аналогичной задачи и результатами экспериментов.

ABSTRACT

The calculation of cross-sections’ roundness gained by the pipe in the process of plastic bending and not limited by a tool is proposed. The method of calculation based on the conditions of a static equilibrium was tested by comparison with the variational solution to a similar problem and the experimental results.

Ключевые слова: равновесие элемента трубы, задание функций перемещений, подбор значений неизвестных, программа MathCAD.

Keywords: equilibrium of the pipe element, task functions of the displacements, a selection of unknown values, the program MathCAD.

Схема свободного изгиба трубы применяется для получения слабоизогнутых участков трубопровода инструментом, практически не ограничивающим формоизменение сечений. Отрицательное приращение их высоты ΔН и положительное – ширины ΔВ может превышать допустимые пределы, что является достаточным поводом для частого возобновления теоретической проработки данного аспекта применительно к трубогибочному производству [5] или прокладке трубопроводов по морскому дну [4; 3].

Известна [1; 2] вариационная оценка овальности средней линии сечения (окружности радиуса r в исходном состоянии) трубы, изогнутой моментом. Получена формула варьируемого параметра

                                                 (1)

функции  радиального перемещения точек средней линии при ограничении числа членов ряда одним. Она содержит обобщенный аргумент λ = R₀t/r² (R₀ – радиус оси трубы, t – толщина стенки) и константу n функции напряжения текучести (в дальнейшем n = 0,15). Заметим, что подобное аналитическое решение вариационной задачи при двух и более членах вышеупомянутого ряда не представляется возможным.

Невысокое качество аппроксимации перемещения u_r оказалось непреодолимым недостатком вышеизложенного подхода. Оно обнаруживается проверкой условия:

,                                                                        (2)

вытекающего из статического равновесия элемента трубы, образованного квадрантами поперечных сечений, отстоящих одно от другого на угол dφ, рисунок 1.

Рисунок 1. Изгиб трубы парами сил и сечение вырезанного из нее элемента

Компоненты соотношения (2) вводим в вычислительную программу определенными интегралами. Сжимающая (отрицательная) сила Р₀ создает момент, направленный относительно точки 1 против часовой стрелки. Направления других моментов, создаваемых напряжениями σ_α: М₀, М₁ и М₂ (в общем обозначении М_k) на рисунке соответствуют положительным значениям интегралов:

.                    (3)

В действительности М₁ отрицателен и направлен по часовой стрелке; направление и знак М₂ зависят от угла α₂. Не показанный на схеме момент М₀₁ определяется общим выражением:

                                             (4)

с подстановкой α_i = 0 и α_j = π/2. Его создают проекции напряжений σ_φ на плоскость, совпадающую с биссектрисой угла dφ, см. рисунок 1. Они же уравновешивают равнодействующую окружных напряжений Р₀, поэтому ее значение должно совпадать по абсолютной величине с результатом интегрирования согласно выражению:

.                                                  (5)

Приведенные формулы вводили в программу MathCAD, как и функции напряжений σ_α(ρ, α) и σ_φ(ρ, α), выраженные через деформации, ε_α и ε_φ, содержащие параметр с₁ функции u_r согласно источнику [2].

Если подбирать значения с₁, удовлетворяющие условию (2), то оказывается, что они на порядок менье подсчитанных по формуле (1). Причина заключается, по-видимому, в грубой аппроксимации перемещения u_r, которая мало сказывается на вариационном решении, но вносит существенный дисбаланс в соотношение моментов внутренних сил. Предположение подтвердилось после включения в аппроксимирующую функцию второго члена вышеуказанного ряда: .

Для определения двух неизвестных с_i и с₂ разделяем элемент, показанный на рисунке 1, на две части по углу α₂. Из равновесия частей вытекают соотношения моментов относительно точек 1 и 0:

; .            (6)

Момент М₂ выражаем согласно (3) при α_i = α₂, для моментов М₂₁ и М₀₂ имеется общая формула (4) с соответствующими значениями α_i и α_j. Отрицательная сила Р₂ приложена в точке 2, показанной на рисунке 1. Она параллельна силе Р₀ и определяется по аналогии с ней формулой (5) с нижним пределом интегрирования α_i = α₂.

Выполнение трех условий (2, 6) достигается подбором угла α₂ и параметров функции u_r: положительного с₁ и отрицательного с₂. В процессе подбора оказалось, что левые части условий одновременно приближаются к единице при α₂ = 0,2π; это значение оказалось подходящим для различных радиусов гибки. Погрешность приближения менее 1 % достигается за 5 … 10 итераций, в среде MathCAD они занимают несколько минут. Найденные значения ΔH и ΔВ близки к фактическим, отношение (-ΔН)/ΔВ = (с₁ – с₂)/(с₁ + с₂) больше единицы, что также соответствует действительности.

Полученные результаты представлены графиком на рисунке 2, где также приведены зависимости овальности сечений Θ = (ΔВ – ΔН)/d от обобщенного аргумента λ формулы (1), заимствованные из публикации [2]: данные расчета (пунктир) и эксперимента (кружки).

Рисунок 2. Овальность сечений изогнутой трубы с исходными диаметром d = 57 мм и толщиной стенки t = 3,5 мм, материал – низкоуглеродистая сталь

Согласно экспериментальным данным при λ > 4, т. е. при относительно больших радиусах гибки R₀/r и толщинах стенки трубы t/r овальность сечений определяется из условий статики (2, 6) вполне достоверно. Необходимо отметить, что при этом игнорируется равновесие сил, а именно: равнодействующие напряжений σ_α при углах α, равных 0, π/2 и α₂ должны равняться соответственно Р₀, нулю и Р₂. Добавление этих требований к условиям (2, 6) усложняет подбор значений неизвестных (число которых соответственно увеличивали) и незначительно отражается на конечном результате – рассчитанном уменьшении высоты сечений. На основании изложенного можно сделать некоторые обобщения.

Перемещения свободного формоизменения поддаются определению из неполной системы условий равновесия некоторого элемента деформируемого тела, обоснованный выбор которого, как и наиболее значимых условий, безусловно, важен.

Список литературы:

1. Алексеев Ю.Н. Овальность труб в процессе гибки. В кн.: Вопросы пластического течения металлов / Ю.Н. Алексеев. – Харьков: Изд-во Харьковского ун-та. – 1958. – С. 154–164.

2. Билобран Б.С. Сплющивание тонкостенных труб при холодном пластическом изгибе / Б.С. Билобран // Кузнечно-штамповочное производство. – 1968. – № 7. – С. 20–23.

3. Corona E. and Kyriakides S. (1988), On the Collapse of Inelastic Tubes under Combined Bending and Pressure / E. Corona and S. Kyriakides // International Journal Solids Structures, 1988, Vol. 24 № 5. Р. 505–535.

4. Dyau J.Y. On the Response of Elastic-Plastic Tubes Under Combined Bending and Tension / J.Y. Dyau and S. Kyriakides // Offshore Mechanical and Arctic Ingineering, February 1992, Volume 114, Issue 1, Р. 50–62.

5. Pan K. On the Plastic Deformation of a Tube During Bending / K. Pan, K.A. Stelson // Journal of Engineering for Industry. – November, 1995. – Vol. 117, Issue 4. P. 494–500.