МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ

OPTIMAL CONTROL MODIFIED ALGORYTHM IN GENERALIZED FUNCTIONS CLASS

Gendjali Mirzoyrv

candidate of Seience, assistant professor of Sumqait State University,

Azerbaydjan, Sumqait

Malaxat Salmanbova

assistant of Sumqait State University,

Azerbaydjan, Sumqait

АННОТАЦИЯ

В статье предлагается модифицированный алгоритм для решения линейной задачи оптимального управления объекта, описанный в классе обобщенных функций.

Решение задачи оптимального управления процессами рассматри­ваемого типа осуществляется обычно редукцией исходной задачи опти­мального управления в классе обобщенных функций к стандартной за­даче оптимального управления.

Характерным при этом является то что, во-первых, в качестве варьируемых переменных выступают как интенсивности, так и моменты приложения управляющих воздействии, что делает невозможной непосред­ственное применение прямых алгоритмов, а во-вторых, при вышеназван­ной структуре матрицы коэффициентов, когда содержится большое ко­личество нулевых элементов, появляется альтернатива улучшения каче­ства решения – минимизация ресурсов компютера. Разработанный алгоритм запрограммирован на языке C_++. Сходимость алгоритма установлена эксперимен­тально.

Решение задачи оптимального управления процессами рассматри­ваемого типа осуществляется когда матрица коэффициентов однородной части исходной системы линейных дифференциальных уравнений содержит большое количество нулевых элементов.

ABSTRACT

In article the modified algorithm for the solution of the linear problem of optimum control of object described in a class of the generalized functions is offered.

At the same time the fact that, first, as the varied variables appear both intensity, and the moments of the application of managing directors influence that makes impossible direct application of direct algorithms is characteristic, and secondly, in case of vyshenazvankny structure of a matrix of coefficients when the big koklichestvo of zero elements contains, the alternative of improving of a kachekstvo of the decision – minimization of resources of the computer appears. The developed algorithm is programmed in language C ++. Convergence of algorithm is set eksperimenktalno.

The solution of the task of optimum control of processes of the considered type is carried out when the matrix of coefficients of uniform part of the initial system of the linear differential equations contains a large number of zero elements.

Ключевые слова: улучшенноерешение; сходимость; системы снабжения; оптимальное управление; последовательность фазовых траекторий; точка разрыва.

Keywords: improved decision; convergence; supply systems; optimal control; the sequence of phase trajectories;the break point.

При моделировании экономических объектов часто появляются си­туации, в которых динамика управляемых экономических процессов аде­кватно отражается фазовыми траекториями с конечным числом разры­вов. Такого рода объекты обычно описываются дифференциальными урав­нениями с управляющими функциями из класса, в который входят также обобщенные функции, в частности, импульсные функции Дирака.

В качестве примера можно показать процесс управления производ­ственными запасами в системах снабжения с непрерывным потреблением при дискретных поставках. Так, как правило, в системах снабжения продолжительность времени приемки материалов на склады, а следова­тельно, и продолжительность времени изменения уровня запасов, во мно­го раз меньше времени характерных изменении уровня запасов в скла­дах, что делает возможным считать что изменения уровня запасов в мо­менты поставки мгновенными, т. е. с математической точки зрения, в за­дачах оказывается, что времена, в течение которых управляющие воздей­ствия приложены к объекту управления, значительно меньше характер­ных времен динамических процессов, и, так как изменения фазовой тра­ектории близки к разрывам, эти управляющие воздействия будутиметь вид импульсных функций.

Решение задачи оптимального управления процессами рассматри­ваемого типа осуществляется обычно редукцией исходной задачи опти­мального управления в классе обобщенных функций к стандартной за­даче оптимального управления, в которой поведение управляемого объ­екта описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями с измеримыми управлениями и последующее решение которой позво­ляет получить минимизирующую последовательность допустимых управ­лений в исходной задаче [1, с. 125; 2, с. 152]. Однако порожденная этой последовательно­стью последовательность фазовых траекторий сходится к некоторой не­прерывной справа и имеющей предел слева функции, которая, вообще говоря, не удовлетворяет дифференциальное уравнение управляемого объекта, а описывается уравнением более общего вида. Отсутствие ком­пактности в множестве допустимых траекторий приводит к необходимо­сти расширения этого множества путем введения импульсных скользя­щих режимов так, чтобы и они оказывались бы включенными в исходное множество допустимых. Последнее связано с существенным усложнением решения поставленной задачи, и в целом ряде практических случа­ев более целесообразно оказывается использование прямых методов реше­ния задачи оптимального управления, т. е. редукция исходной задачи к задаче линейного или нелинейного программирования с последующим применением соответствующих алгоритмов.

Решение задачи оптимального управления процессами рассматри­ваемого типа осуществляется обычно редукцией исходной задачи опти­мального управления в классе обобщенных функций к стандартной за­даче оптимального управления [4, c. 45; 5, с. 30; 6, с. 132]. Для случая, когда матрица коэффициентов однородной части исходной системы линейныхдифференциальных уравнений содержит большое количество нулевых элементов.

Характерным при этом является то.что, во-первых, в качестве варь­ируемых переменных выступают как интенсивности, так и моменты при­ложения управляющих воздействии, что делает невозможной непосред­ственное применение прямых алгоритмов, а во-вторых, при вышеназван­ной структуре матрицы коэффициентов, когда содержится большое ко­личество нулевых элементов, появляется альтернатива улучшения каче­ства решения – минимизация ресурсов компютера и т. д.

Постановка задачи: Управляемая динамика описывается диффе­ренциальным уравнением следующей формы:

                              (1)

                                                                               (2)

где:  – мерный вектор состояния управляемого объекта, f(t)-n, мерный вектор возмущающих воздействий,  – стандартная d-функция, сосредоточенная в точке t_i. Вектор-функция, линейная от своих аргументов, характеризует изменение состояния системы под воздействием импульсного управления где , если система была в состоянии .

Матрица коэффициентов А размерностью (п х п) не нарушая общности, предположим, с двух диагональной структурой:

Здесь - коэффициенты, характеризующие степень взаимосвязи i-йпеременной с -й. При этом первая ком­понента является основной, остальные – ее производными (в качестве примера опять-таки можно показать процесс управления производст­венными запасами продукции продовольственного, химического и т. д. характера, когда запасы от хранения терпят качественные изме­нения, т. е. запас i-го хранимого материала с интенсивностью a_i пре­вращается в (i+ 1)-й вид).

На систему наложены следующие ограничения функционирования:

                                                (3)

                                                    (4)

Вектор-функцииj, i= 1, 2, непрерывные и линейные по совокуп­ности своих аргументов, показывают в какие моменты планового периода T и в каких пределах возможны приложения управляющих воздействий.

Сформулируем задачу оптимального управления.

Управление называется допустимым, если:

·     времена t_i, сосредоточенные на отрезке , удовлет­воряют

                                                 (5)

·     управления  удовлетворяют ограничению

                                                                       (6)

где: , М -суммарное значение управлений в плановом периоде T,

·     соответствующее решение системы (1), (2) удовлетворяет усло­виям (3), (4) и

                                                     (7)

Задачей оптимального управления является максимизация функ­ционала

                                                  (8)

в множестве допустимых управлений.

Как легко заметить из (1),  где KС [ – класс кусочно-непрерывных функций в [t₀, t₁],т.e. в конечном количестве моментов времени t_i, i=1, 2,..., удовлетворяющих условию (5), фазовый вектор x(t) испытывает раз­рыв величины dх(t_i-) = j(x(t_i-), u_i,t_i), а для любогоt из полу­интервала [t₁, t_i+1) удовлетворяет неоднородной линейной системе

х = Ах (t) - f (t)                                                    (9)

Решение системы (9) выражается как

                            (10)

где:

Так как переменными управлениями являются скачки всех компонентов вектора х = (х₁, х₂,……, х_n), то они образуют вектор управления,действующий в заранее не известные моменты времени t_i, i=1,2,..., s(t₁). Ниже приводится описание модифицированного итерационногопроцесса, позволяющего установить оптимальное значение.

1.  Фиксируем времена приложения управляющих воздействий.

(здесь и далее верхние индексы будут указывать номера итераций). Естественно, в точке  удовлетворяется

2.  Составляем задачу линейного программирования. С учетом специфики поставленной задачи редукция производится по следующей схеме: обозначим через x=q(t,x⁰) решение уравнения (9) при х (t₀) = х⁰ и t =[t_0­,), которое в соответствии с (10) можно выра­зить в виде

.

Тогда в первой точке разрыва t =  решение x(t) определится как

Аналогично в последующих полуинтервалах [t_i, t_i+1), i=2,3,..., решение уравнения (9) с начальным условием x() предстанет как , а в точке разрыва  , условию (5), – как

Последнее выражение позволяет все изменения фазового вектора x(t) в фиксированных точках разрыва  выразить зависимость толь­ко от текущих и предыдущих управлений. Так, при фиксированных  и х⁰

Соответственно в последующих точка разрыва

где: S_i – линейные вектор-функции по совокупности аргументов .

Решение (1) в виде (10) на полуинтервалах, с исполь­зованием полученных значений , позволяет осуществить редук­цию исходной задачи оптимального управления в стандартную задачу линейного программирования [3, с. 80; 5, с. 30].

В общем виде последнее выразится как

                                                (11)

                                                             (12)

                                                                   (13)

где:

знак (*)указывает на происхождение векторов , а также матрицы А от исходной задачи оптимального управления упрощения записи указываться не будет.

3.  Решаем задачу линейного программирования [5, с. 30]. Для этого в рас­сматриваемом случае из симплекс-таблицы исключаются столбцы для записиномер вектора, вводимого в базис для нахождения, на базе которой определяется направляющая строка, а также столбец, содержащий коэффициенты при базисных переменных .

Как известно, в стандартную симплекс-таблицу вводятся коэффи­циен­ты базисных переменных, составляющие единичную подматрицу размерностью (m x m).В данной модификациикоэффициенты базисных переменных помещаются в один столбец.

Решение задачи (11–13) осуществляется последующей моди­фицированной схемой:

a)  По стандартной схеме в 1-й итерации вычисляются опенки рек­торов й столбец исходно матрицы А, т. е. элементы (m+ 1)-й строки симплекс-таблицы, по соотношению

где: – значение критерия при начальных базисных векторах,  отражает значения – вектора ограничений, С₀ исключается при вычислении приравниванием к нулю. Для базисных переменных необходимость вычисления вектора оценок по этой рекуррентной формуле отпадает, так как для них

В последующихите­рациях для внебазисных переменных, рассчитываете, как и другие элементы симплекс-таблицы, по рекуррентной формуле (14), определяемой ниже.

b)  Из условия определяется вектор, вводимый вбазис, где s – номер симплекс-итерации, к – номер вектора, вводимого в базис .

в.Создается множество , элементами которого является соот­ветствующие номера ненулевых элементов вектора:

Вычисляется для всех , , и из условия , определяется векторвыводимый из базиса, где: . Затем соответствующий -й строке единичный вектор записывается в рабочий столбец. При этом если в соответст­вующей позиции столбца, содержащего коэффициенты дополнительных перемен­ных, стоит нуль, то из симплекс-таблицы исключается векторвыводимый из базиса, где определяет направляющую строку. При этом если,дляне удовлетворяется условие, то это свидетельствует о неразрешимости задачи. В этом случае вычисли­тельный процесс прекращается.

c)   Создается множество  определяемое, как   и по формуле , , вычисляются элементы направляющей строки. Далее по рекуррентной формуле

                      (14)

вычисляются остальные элементы симплекс-таблицы (включая – стро­ку и рабочий столбец).

d)  Проверяется условие, обеспечивающее оптимальность решения; ; если хотя бы для одной  условие не удовлетворяется, то вычислительный процесс по предыдущим пунктам повторяется.

Процесс в данном блоке заканчивается установлением значений  для фиксированных  и некоторые решения . На второй итерации проводится новый процесс оптимизации, варьированием решения вначале относительно пере­менных, при фиксированных , что позволяет установить новый набор значений (где ) в силу выше принятых условий; затем относительно переменных  при фиксированных  что позволяет повторяя операции первой итерации получить новое улучшенное решение по принятому критерию . Продолжая процесс на каждой последующей итерации удается полу­чать новое улучшенное решение  [5].

Итерационный процесс заканчивается при выполнении условий

где: и заданные числа.

Результат последней итерациипринимается за оптимальное решение.

Список литературы:

1. Гаджиев А.Г.К задаче оптимального углубления многосвязными объектами вклассе обобщенных функций. В кн.: «Управление много­связными системами» (тезисы докладов Всесоюзного совещания). – М.: 1984 г. С. 125–128.

2. Миллер Б.М. Задача нелинейного импульсного управления объектами, описы­ваемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями. – Автоматика и телемеха­ника. 1978. № I. С. 192.

3. Мирзоев Г.А. Исследование чувствительности решения подзадач и изменение объективно обусловленных оценок условий линейной модели при двухуровневом планировании. // Изв-АН Азерб. ССР Сер.Экономика. 1983. № 1. С. 80–84.

4. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. – М.: Наука, 1988. – 187 с.

5. Рзаев Т.Г., Мирзоев Г.А. Одна модификация первого алгоритма метода последовательного улучшения плана линейного программирования. В сб.: Отраслевой фонд алгоритмов и программ. Калинин, 1979. Вып. 6. С. 30.

6. Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. Учебное пособие / – М.: МИФИ, 2007, С. 332.