ПРОБЛЕМЫ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С СОЛНЕЧНЫМ ПАРУСОМ

PROBLEMS OF STABILITY MOTION SPACECRAFT WITH SOLAR SAIL

Vladimir Korolev

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor,

Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Elena Polyakhova

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Assistant Professor,

Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

Рассматриваются математические модели динамики космических аппаратов с солнечным парусом для управления поступательным орбитальным движением и вращением всей конструкции при условии устойчивости ориентации паруса относительно потока солнечных лучей. При исследованиях учтено поведение решений в окрестности положений возможного равновесия или стационарных состояний движения, изменение устойчивости в зависимости от постановленных задач и преобразования уравнений, которые описывают процессы с учетом возмущений. Чтобы управлять движением, можно менять свойства, размеры или расположение паруса для реализации орбитального движения или перехода на заданную конечную орбиту.

ABSTRACT

The mathematical models of the dynamics of translational and rotational motion of the spacecraft construction and control of a solar sail, properties of solutions and conditions for the stability of the sail orientation relative to the flow of sunlight. In the study takes into account the behavior of solutions in the vicinity of equilibrium or stationary conditions, changes in the conditions of stability, depending on the task and the transformation equations which describe the process of taking into account the perturbations. To control the transfer, you can change the size or orientation of the sail to go to the desired orbit.

Ключевые слова: космическая динамика, световое давление, солнечный парус, управление.

Keywords: spaceflight dynamics, radiation pressure, solar sail, control.

Введение в историю появления солнечного паруса

Полеты космических аппаратов с использованием энергии светового давления уже не фантастка, а реальность ближайшего будущего [1; 9; 12; 13]. Такие космические парусники могут использоваться для полетов к большим и малым планетам, для встречи с астероидами или кометами, для формирования особых орбит движения в окрестности Солнца или Земли [2; 6; 15–17]. Новые технологии должны принести зримые плоды в создании космических двигателей на основе прямого использования неограниченного источника энергии солнечного излучения. Предлагают фантастический проект полета к ближайшей звезде при поддержке энергии лазера, который наполнит паруса и поможет разогнать до огромной скорости, сравнимой со скоростью света.

Принцип движения в космосе под солнечным парусом базируется на эффекте светового давления, о котором догадывался еще Кеплер при наблюдении за движением комет [9]. Эффект давления потока света на все тела экспериментально обнаружил и измерил П.Н. Лебедев в 1899 г. Первым предложил использовать энергию солнечного давления российский писатель-фантаст Б. Красногорский в 1913 г. в своем романе «По волнам эфира».

Идею использовать этот эффект для реальных космических полётов выдвинул ученый и изобретатель Ф.А. Цандер в 1924 г. Он предложил конструкции солнечных парусов и разрабатывал основы теории движения таких космических аппаратов. В середине ХХ века к солнечным парусам вновь вернулись фантасты (например в рассказе А. Кларка «Солнечный ветер»), а затем инженеры и ученые.

За прошедшие годы появились многочисленные варианты моделей движения и новые возможные формы солнечных парусов. Технология крупногабаритных конструкций отражателей солнечного света только зарождается. Первые практические разработки солнечного парусника были начаты в семидесятые годы ХХ века. Особенное оживление внесла намечавшаяся на 1986 г. перспектива полета космического аппарата под солнечным парусом для встречи с кометой Галлея. Первая попытка реализации проекта и развертывание солнечного паруса в космосе была выполнена в 1993 г. На грузовом корабле «Прогресс М-15» было успешно развернуто 20-метровое зеркало в процессе космического эксперимента «Знамя-2».

Пусть парус представляет собой плоское зеркало, которое обладает идеальными отражательными свойствами. Установим его перпендикулярно потоку солнечных лучей, тогда сила F светового давления окажется направленной вдоль распространения излучения e. Если реальный парус расположен под углом к потоку, то вектор силы будет направлен почти по нормали к плоскости паруса с хорошим коэффициентом отражения. Величина светового давления на зеркало при этом окажется почти вдвое больше, чем на черный парус равной площади, который полностью поглощает излучение.

Световое давление формирует фотогравитационное поле [9], которое действует на парус при движении в межпланетном пространстве. Но поток солнечного излучения создает локально однородное силовое поле давления на поверхность паруса космического аппарата (КА). Если поверхность имеет симметрию и точка приложения равнодействующей совпадает с центром масс всей конструкции, то любое начальное положение относительно потока света будет положением безразличного равновесия или покоя. Действие других сил, даже малых по величине, может создавать возмущающий момент, который вызывает вращение относительно центра масс. Потребуется использовать дополнительное управление, которое будет демпфировать или компенсировать возмущения и удерживать нужное положение паруса относительно светового потока. Специальные конструкции паруса помогут решать задачи управления и устойчивости КА. Направление вектора тяги и моменты относительно основного корпуса можно менять, если величина или свойства поверхности солнечного паруса и расположение элементов относительно аппарата может изменяться с помощью дополнительных устройств. Это позволит выбирать оптимальное управление в процессе маневрирования [6; 9–11].

Уравнения движения

Изменения декартовых координат центра масс КА в абсолютной системе отсчета с учетом основных действующих сил гравитации центрального поля и светового давления при движении в пространственном случае можно описывать уравнениями второго порядка

                              (1)

Здесь использованы обозначения: x – декартовы координаты, r – модуль радиус-вектора, m – гравитационный параметр, U – силовая функция учитываемых возмущений, P_i – вклад непотенциальных сил и управления, включая проекции сил светового давления или реактивных двигателей на активных участках движения, при разложении на оси орбитальной системы координат. Уравнения (1) можно также переписать в виде системы шести уравнений первого порядка в нормальной форме

                            (2)

где:  – проекции вектора ускорения, вызванного действием совокупности возмущающих и управляющих сил.

Вклад светового давления определяется углом отклонения вектора нормали n от направления светового потока e. Если повернем плоский зеркальный парус под углом  к лучам, то импульс, передаваемый солнечному парусу, будет направлен почти перпендикулярно светоотражающей поверхности. Часть импульса, направленную параллельно парусу, фотоны сохранят у себя, так что парусу достанется меньше, чем при полном раскрытии к лучам. Величина светового давления уменьшается, а направление будет почти совпадать с нормалью к парусу, отложенной с теневой его стороны. Поворачивая парус, мы получаем возможность управлять направлением вектора тяги. Однако за это приходится платить величиной силы. Если нормаль плоского паруса перпендикулярна потоку лучей, то парус вообще не даст никакой тяги. Проекции вектора на радиальное и трансверсальное направления будут влиять на изменение параметров орбиты движения. Проекция на нормаль к плоскости орбиты позволит изменять ее наклон относительно первоначального положения. Ускорение, которое сообщает поток лучей, определяют отношение площади паруса к массе конструкции и свойства поверхности.

Раскрытие паруса на круговой гелиоцентрической орбите приведет к тому, что световое давление частично скомпенсирует притяжение Солнца. Это дает основание использовать математическую модель фотогравитационного силового поля [2; 10; 14].

Уравнения движения КА в центральном гравитационном поле с учетом возмущений может быть представлена в различном виде при выборе системы отсчета: прямоугольные декартовы, сферические или цилиндрические координаты, а также кеплеровы элементы . Здесь перечислены: большая полуось , эксцентриситет эллипса , наклон плоскости орбиты , долгота восходящего узла , долгота перицентра  и средняя аномалия  в начальный момент времени .

Движение в центральном гравитационном поле имеет решение, которое при отсутствии возмущающих сил определяется начальными значениями радиус-вектора, вектора скорости и гравитационным параметром центрального тела. Они определяют постоянные кеплеровы элементы, и позволяют вычислять декартовы координаты  и скорости  для невозмущенного движения в произвольный заданный момент времени [4; 6; 11]. Время движения между двумя точками орбиты можно определить из уравнения Кеплера.

Движение при учете возмущений можно представить оскулирующими элементами , которые будут функциями времени . Можно использовать дифференциальные уравнения Эйлера, где правые части уравнений определяются текущими значениями элементов и проекциями возмущающих ускорений на оси орбитальной системы координат:

                      (3)

Третье и четвертое уравнение в системе (3) показывают, что положение орбиты сохраняется при отсутствии проекции сил на нормаль к плоскости.

Управление движением

Если космический аппарат со сложенным солнечным парусом уже доставлен на орбиту движения вокруг Земли или Солнца, то раскрытие паруса обеспечит КА двигателем малой тяги, обеспечивающим практически неограниченный запас энергии. Однако у паруса есть существенный недостаток: в отличие от реактивных двигателей, мы не можем использовать его тягу в любом направлении с одинаковой эффективностью. Необходимо ориентировать парус специальным образом, чтобы добиться желаемого изменения параметров орбиты в космическом пространстве.

Повернув парус под углом так, чтобы фотоны отскакивали назад относительно направления орбитального движения спутника, мы получим небольшую силу, постепенно ускоряющую КА, то есть сможем двигаться по раскручивающейся спирали. При развороте паруса в другую сторону получим торможение и уменьшение расстояния до Солнца.

Чтобы изменить наклон плоскости орбиты КА с помощью паруса, необходимо направить отражаемый солнечный поток перпендикулярно начальной плоскости. Еще более интересные маневры можно выполнять с помощью солнечного паруса в околоземном пространстве, так как направление распространения светового излучения в этом случае не совпадает с направлением на центр притяжения. Алгоритмы управления  многочисленны и определяются параметрами начальной и конечной орбит или назначением маневра.

Сложности реализации проекта

Отметим основные проблемы разработки и реализации полетов космического аппарата с солнечным парусом:

·     создание легкого и отражающего полимерного материала для парусов,

·     упаковка паруса в контейнер для доставки в космос в компактном виде,

·     ограничения на полную массу корабля с парусом для вывода в космос,

·     развертывание паруса большой площади в рабочее положение,

·     формирование конструкции поддержки элементов паруса,

·     обеспечение требуемой начальной ориентации элементов паруса,

·     управление движением и устойчивость заданного положения в полете.

Только при условии разрешения всех проблем можно говорить о реальности космического полета и маневрирования. При этом необходимо обеспечить достаточно сложное управление самим парусом, изменяя нужным образом его размеры, форму или положение относительно основного корпуса. Можно использовать элементы паруса, которые могут изменять коэффициент отражения поверхности по заданной программе. Удачной была признана конструкция разрезного паруса наподобие вертолетного винта, каждая лопасть которого раскатывается из контейнера радиально и может поворачиваться относительно оси крепления на заданный угол.

Благодаря многочисленным разработкам сейчас можно выбирать из огромного разнообразия моделей парусов [1; 12]. Это пленочные паруса (круглые, квадратные, веерные), паруса-парашюты, надувные баллоны, паруса типа вертолетного винта, лепестковые паруса, паруса сотовой конструкции на базе отдельных зеркальных модулей, системы пленочных передаточных зеркал и другие. Эффективность обычных парусов всегда связана с углом их ориентации к лучам. В системе зеркал можно устанавливать такой ход лучей, чтобы направления падающего и отраженного световых потоков мало зависели друг от друга, создавая возможность для заданного направления силы тяги. Это потребует дополнительного расхода топлива микродвигателей.

Самой удобной представляется конструкция паруса, которая обеспечивает контроль за установкой нужной ориентации и управление. В этом плане одним из первых перспективных вариантов солнечного паруса была предложена двухстворчатая конструкция [12–14]. Построив и разместив на орбите такие зеркала определенных пропорций, мы получим саморегулирующуюся по ориентации на Солнце конструкцию. Более сложные варианты и модели позволяют управлять орбитальным и вращательным движением КА с солнечным парусом. Создание полноценного космического парусника, использующего давление солнечного света для практических целей, остается делом будущего. Для этого потребуются сложные конструкторские решения и новые космические технологии.

Силы и моменты

Результирующие силы  давления светового потока пропорциональны площади  поверхности элементов паруса с параметром , который определяется коэффициентом отражения, и обратно пропорциональны квадрату расстояния до Солнца. Они зависят от направления вектора нормали к поверхности элемента относительно радиального направления:

                         (4)

Устойчивость обеспечивают моменты сил давления относительно центра масс, которые меняют величину при изменении параметров или малых отклонениях от нужного направления:

                                                     (5)

Главный вектор сил и сумма моментов всех сил, действующих на парус

                   (6)

Они определяют движение центра масс КА и вращение относительно оси орбитальной системы координат, которая сопровождает его движение по орбите в центральном поле. Главный вектор момента сил давления, действующих на все элементы, может отличаться от нуля, если элементы имеют разные площади или углы относительного расположения. Это дает возможность поворота в обратном направлении в случае изменения ориентации. Расположение элементов можно менять с помощью электродвигателей, если поддерживать их работоспособность на основе батареи или солнечных панелей.

Представляют интерес особые уникальные свойства именно парусной тяги. К ним в первую очередь следует отнести возможность функционирования в околосолнечных областях, где парус одновременно может играть роль не только высокоэффективной энергетической установки, но и надежного термостойкого экрана, защищающего от перегрева приборный отсек. Такая конструкция окажется незаменимой для проведения исследования околосолнечного пространства и наблюдения за солнечными пятнами с близкого расстояния, в том числе за пятнами на полюсах Солнца относительно плоскости эклиптики. Имеется также возможность создания гелиосинхронной орбиты ниже обычной гравитационной. Раскрытие паруса изменит силу притяжения и радиус круговой орбиты. При этом КА как бы зависает над солнечным пятном по аналогии с полетом геостационарного спутника. Возрастание динамической эффективности солнечного паруса при приближении к Солнцу позволяет считать его перспективным на таком маршруте.

Для околоземных космических маневров возможности разнообразны. Например, на геостационарной орбите плотность размещения космических аппаратов уже приближается к критической, но солнечный парус сможет оказать неоценимую услугу, чтобы КА не мешали друг другу работать.

Использование солнечного паруса для вывода на геосинхронную стационарную широтную орбиту и поддержки дальнейшего функционирования позволяет разгрузить основную. Плоскость такой орбиты параллельна плоскости экватора, но находится на ненулевой широте. На таких широтных орбитах можно формировать комплексы для размещения спутниковых систем.

Особой задачей становится управление КА с использованием солнечного паруса в качестве двигательных установок малой тяги. Теория оптимального управления приводит к сложным постановкам задачи для решения полученных уравнений математических моделей.

Величину радиальной проекции сил светового давления на плоские элементы паруса можно определять соотношением

                                                   (7)

Это позволяет определять возможное управление. Кроме сил гравитационного взаимодействия и светового давления можно учитывать влияние силы сопротивления атмосферы при движении в окрестности Земли, тягу двигателей на активных участках траектории или другие возмущения.

Наличие даже малых возмущений периодического или случайного характера может изменить характер решений таких систем. Поведение и свойства решений динамических систем, моделирующих управляемые процессы, определяются прежде всего выбранными управляющими воздействиями [1–3; 6; 9; 10–14; 16–18]. При этом анализируется условия полученной устойчивости [5; 8; 17–19] и методы исследования нелинейных непрерывных или дискретных систем, которые могут определять качество движений: абсолютная или асимптотическая устойчивость, по первому приближению или в целом.

Устойчивость орбитального движения

Система называется устойчивой, если при выведении ее внешними воздействиями из состояния равновесия или покоя она в него возвращается после прекращения воздействий при условии, что механическая система не испытывает катастрофических деформаций. Если после прекращения внешнего воздействия система не возвращается к состоянию равновесия, то она является неустойчивой. Устойчивое положение равновесия становится асимптотически устойчивым при добавлении диссипативных сил.

При определении движения произвольной механической системы часто требуется оценить устойчивость и управляемость состояний движения. Поведение динамической системы называется устойчивым по Ляпунову, если малые отклонения в начальных данных фазовых переменных от опорного, выбранного для исследования, решения системы уравнений приводят к малым уклонениям в дальнейшем. Если отклонение со временем стремится к нулю, то опорное решение называют асимптотически устойчивым.

Под неустойчивостью понимают способность систем при действии весьма малых возмущений получать большие перемещения или менять характер движения. В том числе возможно безразличное положение равновесия, которое не является устойчивым, если начальное значение скорости отличается от нуля. Рассматривается также орбитальная устойчивость траекторий или устойчивость по части переменных [5; 8; 18; 19]. В этом случае оказывается, что фазовая траектория или её проекция на соответствующее подпространство остается в достаточной близости от опорной траектории, хотя изображающие точки могут сколь угодно разбегаться, удаляясь друг от друга со временем. Периодическое решение системы не бывает асимптотически устойчивым. Но если у квазипериодического решения такой системы модули всех мультипликаторов, кроме одного, меньше единицы, то траектория этого решения по теореме Андронова–Витта [18] асимптотически орбитально устойчива. Устойчивостью по отношению к части переменных для дифференциальных уравнений занимался В.В. Румянцев, который напечатал статью по аналогу теорем второго метода Ляпунова для задач устойчивости по части переменных. Если уравнения динамики записаны в каноническом виде и для них существует n первых интегралов, то по теореме Арнольда [5] все фазовые траектории лежат на n –мерном торе, а движение системы является условно периодическим. Это множество называют равновесным или стационарным режимом движения системы.

Устойчивость ориентации при движении в окрестности Земли

В поле действия геопотенциала без учета возмущающих сил существуют устойчивые положения равновесия для тела при сохранении ориентации главной оси эллипсоида инерции по направлению к центру притяжения.

Для возможных колебаний спутника в плоскости при сохранении ориентации главной оси ортогонально плоскости орбиты закон изменения кинетического момента с учетом действия только гравитационного поля Земли [3; 7; 11; 19] приводит к уравнению

                                   (8)

Обозначим  и новую переменную . Тогда приходим к обычным уравнениям колебаний математического маятника. Если ограничиваться первым приближением, то уравнение колебаний КА при возмущениях или отклонениях от положения равновесия приводятся к виду

                                                  (9)

которое на следующем шаге приближений превращается в уравнение гармонических колебаний или гармонического осциллятора. Период линейного приближения не зависит от начальных условий. Получаем орбитальную устойчивость движения или устойчивость по части переменных. Для гашения малых колебаний в окрестности положения равновесия можно использовать демпфирующее действие дополнительных гироскопических устройств или двигателей.

Учет действия светового давления на парус КА приводит к появлению других условий устойчивости, которые можно использовать для управления движением. Если поверхность паруса представляет собой плоскость, то существует центр приведения. Суммарное действие сил можно заменить одной равнодействующей, приложенной в таком центре. В случае, когда центр масс тела КА находится на линии действия результирующей, момент сил относительно центра масс равен нулю и тело остается в покое. Действие возмущений можно компенсировать, изменяя размеры или отражательные свойства элементов паруса КА, а также их взаимное расположение. Это создает дополнительные моменты сил, которые можно использовать как управления.

                                        (10)

Если рассматривается движение в окрестности Земли, то направления основных сил не совпадают. В первом приближении можно полагать, что световой поток определяет почти постоянную силу, которая проходит по прямой через два главных тела системы Солнце-Земля-КА в рамках ограниченной круговой задачи трех тел, а затем учитывать поправки для управления ориентацией при изменениях углового положения или формы паруса.

Таким образом, в уравнения движения будет входить постоянное возмущение, которое легко учитывать. Особый интерес представляет случай размещения КА в окрестности точек либрации Эйлера-Лагранжа [15], где малые силы действующих возмущений будут определять характер движения и устойчивость.

Теория оптимального управления приводит к сложным постановкам задачи для решения дополнительно полученных уравнений математических моделей, которые могут использовать принцип максимума Понтрягина или уравнение Беллмана [11; 17] для различных случаев и задач. Существуют аналитические и численные методы исследования и анализа основных свойств уравнений, которые позволяют получать точные или приближенные решения всей совокупности необходимых условий экстремума функционала качества и построения оптимальных траекторий.

Список литературы:

1. Егоров В.А. Помазанов М.В. Солнечный парус: принципы конструкции. Управление и перелеты к астероидам. – М.: Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, 1997, 087.

2. Карпасюк И.В., Шмыров А.С. Управление космическим аппаратом с солнечным парусом на низкоширотной околокруговой орбите // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1999. Вып. 4, № 22. – С. 89–93.

3. Королев В.С. Об управлении движением механической системы при переменном распределении массы тел // Известия РАЕН, серия МММИУ, 2000, т. 4. – С. 108–117.

4. Королев В.С. Определение движения навигационных спутников с учетом возмущений // Вестник С-Петерб. ун-та. Серия 10. 2004. Вып. 3-4. С. 39–46.

5. Королев В.С. Устойчивость решений динамических систем по части переменных // Естественные и математические науки в современном мире. 2014, № 19. – С. 14–22.

6. Королев В.С. Задачи оптимального маневрирования космических аппаратов для инспектирования или обслуживания системы тел // Исследования Наукограда, 2015. № 2 (12). – С. 18–23.

7. Королев В.С., Кравчук Р.Ю. Управление вращательным движением космического аппарата при переменном распределении массы // Научно-технический Вестник ИТМО. 2011. Вып. 3. – С. 62–67.

8. Королев В.С., Потоцкая И.Ю. Условия устойчивости состояний движения // Инновации в науке. 2015. № 51-1. – С. 29–43.

9. Королев В.С., Поляхова Е.Н. Задачи управления космическим аппаратом с солнечным парусом // Технические науки – от теории к практике. 2016. № 55. – С. 18–31.

10. Королев В.С., Поляхова Е.Н. Управление солнечным парусом космического корабля // Материалы XIII Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» / Ред. В.Н. Тхай. – М: ИПУ РАН. 2016. – С. 294–297.

11. Новоселов В.С., Королев В.С. Аналитическая механика управляемой системы. – СПб.: изд. СПбГУ, 2005. – 298 с.

12. Поляхова Е.Н. Космический полет с солнечным парусом: проблемы и перспективы. – М.: Наука, 1986. – 304 с.

13. Поляхова Е.Н., Коблик В.В. Солнечный парус – фантастика или реальность космоплавания? – М.: ЛЕНАРД, 2016. – 228 с.

14. Поляхова Е.Н., Старков В.Н., Степенко Н.А. Полеты космического аппарата с солнечным парусом вне плоскости эклиптики. // Устойчивость и процессы управления. Материалы конференции. 2015. – С. 91–92.

15. Поляхова Е.Н., Шмыров А.С., Шмыров В.А. О задаче стабилизации орбитального движения космического аппарата с солнечным парусом в окрестности L1. // Устойчивость и процессы управления. Материалы конференции. 2015. – С. 149–150.

16. Koblik V.V., Polyakhova E.N., Sokolov L.L., Shmyrov A.S. Controlled solar sailing transfer flights into near-sun orbits under restrictions on sail temperature // Cosmic Research. 1996. V. 34. № 6. С. 572–578.

17. Korolev V.S. Problems of spacecraft multi-impulse trajectories modelling // International Conference “Stability and Control Processes” in Memory of V. I. Zubov. 2015. C. 91–94.

18. Korolev V.S., Pototskaya I.Yu. Integration of dynamical systems and stability of solution on a part of the variables. Applied Mathematical Sciences, V. 9 (15), 2015. P. 721–728.

19. Korolev V.S., Pototskaya I.Yu. Problems of stability with respect to a part of variables // International Conference on Mechanics, Seventh Polyakhov's Reading, 2015. C. 7106739. P. 1–4.