ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ

SYSTEMS OF TOTAL EQUATIONS FOR THE TWO BODY PROBLEM

Levon Babadzanjanz

doctor of Science, professor of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Anna Bregman

student of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Konstantin Bregman

senior Lecturer of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Polina Kasikova

system administrator, Administration-Service of Information Technologies

of Saint-Petersburg State University,

Russia, Saint-Petersburg

Leon Petrosyan

doctor of Science, professor of Saint-Petersburg State University, Saint-Petersburg,

Russia, Saint-Petersburg

Работа выполнена при поддержке гранта СПбГУ 9.37.345.2015.

АННОТАЦИЯ

Решение задачи двух тел хорошо известно, впервые оно было получено Ньютоном. В некоторых случаях приходится вычислять частные производные решения по времени и элементам, и желательно, чтобы соответствующие формулы были достаточно простыми. Производные по времени для координат и скоростей легко получить, используя исходные дифференциальные уравнения задачи двух тел. Чтобы получить простые формулы для частных производных по элементам, мы выводим для задачи двух тел ряд полных систем уравнений в частных производных с полиномиальными правыми частями.

ABSTRACT

Solution of the problem of two bodies is well known, it was first obtained by Newton. In some cases, one needs to calculate partial derivatives of the solution with respect to time and elements, and it is desirable that the relevant formulas were simple enough. Derivatives with respect to time for coordinates and velocities one easily obtains using the ordinary differential equations of the two-body problem. To obtain simple formulas for the partial derivatives of the solution with respect to elements, we deduce a number of total systems of partial differential equations with polynomial right-hand sides.

Ключевые слова: задача двух тел, полная система, производные по элементам.

Keywords: two-body problem, total system, derivatives with respect to elements.

1.  Введение

Представленные в настоящей (и следующей) статье результаты получены в рамках идей, предложенных в диссертации [2] одного из авторов (К. Брэгмана) и частично пересекаются с материалом главы 5 этой диссертации. В настоящей работе мы рассматриваем эллиптический вариант небесномеханической задачи двух тел. Как известно, решение ее представляется цепочкой формул (см. далее раздел 1.1), среди которых есть уравнение Кеплера, связывающее эксцентрическую и среднюю аномалии. Поэтому прямое вычисление частных производных от координат и скоростей по кеплеровским элементам орбиты приводит к запутанным формулам, зависящим от решения этого уравнения. Цель настоящей работы – предложить удобные формулы для вычисления этих производных. Этими формулами являются различные варианты полных систем [2; 3] (с полиномиальными по неизвестным правыми частями, которые будем называть полиномиальными системами) для координат, скоростей и некоторых других величин, рассматриваемых как функции времени и того или иного набора элементов. В настоящем разделе 1 (Введение) четыре подраздела. В подразделе 1.1 приводятся уравнения движения тела в относительной декартовой системе координат, центр которой совпадает со вторым (центральным) телом, а также общее решение этих уравнений для эллиптического случая [1; 2; 4–6]. В подразделе 1.2 напоминается определение полной системы. В подразделе 1.3 выводится полная система для эксцентрической аномалии, рассматриваемой как функция двух аргументов – эксцентриситета и средней аномалии, а в подразделе 1.4 выводится полная система для эксцентрической аномалии, рассматриваемой как функция четырех аргументов – времени, большой полуоси, эксцентриситета и средней аномалии в начальную эпоху. Основной результат статьи содержится в разделах 2 и 3, – это две полные системы уравнений в частных производных для координат и скоростей эллиптической задачи двух тел.

1.1.             Уравнения задачи двух тел и формулы эллиптического движения

Рассмотрим уравнения движения точки в ньютоновом поле

 (или),                                        (1)

а также решение их для эллиптического случая [1; 2; 4–6]:

                      (2)

                                                                                          (3)

                                                                  (4)

где:  – стандартные обозначения для Кеплеровых элементов эллиптической орбиты (большая полуось, эксцентриситет, средняя аномалия эпохи , долгота восходящего узла, наклон, аргумент перицентра), – эксцентрическая аномалия, – средняя аномалия, а  – относительные декартовы координаты и скорости точки. Далее при выводе полных систем мы будем опираться на уравнения (1) – (4).

1.2 Полная система

Если использовать обозначения

,,

то полной системой дифференциальных уравнений (т. е. системой уравнений в частных производных первого порядка, разрешенных относительно производных), называют систему вида [2; 3]:

, , .

1.3 Первая полная система для уравнения Кеплера

Здесь мы используем уравнение Кеплера (3) с тем, чтобы выписать полную полиномиальную систему, которой удовлетворяет эксцентрическая аномалия , которую рассматриваем как функцию эксцентриситета  и средней аномалии Используя обозначения

и равенство  как неявное задание функции , получаем:

                                                     (5)

1. Максимальная полная система для уравнения Кеплера

Теперь выпишем полную систему, которой удовлетворяет эксцентрическая аномалия , рассматриваемая как функция времени  и трех Кеплеровых элементов . Используя обозначения

и равенство  как неявное задание , получаем:

                                        (6)

2 Первая полная система для задачи двух тел

Величины

будем рассматривать как функции  и элементов   а элементы  будем считать параметрами. Уравнения для  мы уже вывели (см. (6)). Используя (1) – (5) получим, что  удовлетворяют следующей системе уравнений в частных производных:

3 Вторая полная система для задачи двух тел

Здесь рассмотрим полную систему для  как функций аргументов . Кроме этих вспомогательных функ-ций (см.(2)) введем еще четыре:

Тогда искомая полная система запишется в виде:

4. Заключение

Таким образом, в настоящей работе мы вывели для задачи двух тел полные системы уравнений в частных производных с полиномиальными правыми частями. В следующей работе мы используем эти уравнения для получения производных (любого порядка) эксцентрической аномалии, координат и скоростей точки по элементам в задаче двух тел.

Список литературы:

1. Абалакин В. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. Под ред. Г. Дубошина / В. Абалакин, Е. Аксёнов, Е. Гребеников, В. Демин, Ю. Рябов // – М.: Наука, 1976. 864 с.

2. Брэгман К. Математические модели возмущенного движения в центральных полях. / К. Брэгман. Канд. Дисс. // СПб: СПбГУ. 2014. 181 с.

3. Гайшун И. Вполне разрешимые многомерные дифференциальные уравнения. / И. Гайшун // – М.: Наука и техника. 1983. 272 с.

4. Дубошин Г. Небесная механика. Основные задачи и методы. 3-е изд. / Г. Дубошин // – М.: Наука, 1975. 800 c.

5. Субботин М. Введение в теоретическую астрономию / М. Субботин // – М.: Наука, 1968. 800 с.

6. Холшевников К. Задача двух тел. / К. Холшевников, В. Титов // – СПб: Изд-во С.-Петеб. Ун-та, 2007. 180 с.