РАЗРАБОТКА АНАЛИТИЧЕСКОГО МЕТОДА РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ С РАЗЛИЧНЫМИ СВОЙСТВАМИ СРЕДЫ ДЛЯ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

DEVELOPMENT OF ANALYTICAL METHOD OF CALCULATION AREA WITH DIFFERENT PROPERTIES OF ENVIRONMENT FOR ELECTRICAL DEVICES

Anna Velchenko

candidate of technical Science, the associate professor of Department of Electrical Supply of Belarusian State Agrarian Technical University,

Belarus, Minsk

Viktor Mironchuk

postgraduate student of Belarusian State Agrarian Technical University,

Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

Рассматривается двумерная прямоугольная область, которая образована полюсами специального вида, и имеет две зоны с различными магнитными свойствами. Методом разделения переменных получены решения уравнения Лапласа для этих зон, согласующиеся на линии раздела зон.

ABSTRACT

We consider a rectangular area, which has areas with different magnetic (dielectric) properties. It is shown, the solution of Laplace's equation for a given rectangular region. Coefficients were determined for each zone is a rectangular area.

Ключевые слова: Лапласа уравнение, область прямоугольная, потенциал скалярный.

Keywords: Laplace's equation, a rectangular region, vector potential.

Введение. Математическое моделирование электрического и магнитного поля в плоскопараллельной прямоугольной области или полосе является актуальным, поскольку к такому моделированию сводится большое разнообразие задач расчета различных электротехнических и электрофизических устройств [3; 6]. В настоящее время для решения подобного типа задач получили распространение численные методы, реализуемые в соответствующих программных продуктах [7; 8]. Однако использование численных методов не снимает необходимость в аналитическом решении указанной задачи для различных случаев (например, различие свойств среды в расчетной области), поскольку аналитические решения позволяют, в свою очередь, решать задачи анализа и синтеза различных электротехнических и электрофизических устройств или их элементов (например, оптимизационная задача). Последнее можно рассматривать как формулировку общей проблемы, которая рассматривается в данной работе. А именно, в работе рассматриваем магнитное поле плоскопараллельной прямоугольной области, границы которой представляю собой биполярную систему магнитных полюсов, в котором межполюсное пространство высотой H и магнитной проницаемостью  заполнено на высоту h материалом («наполнитель») с магнитной проницаемостью  (рис. 1).

Рисунок 1. Расчетная система магнитных полюсов

Магнитное поле в такой области может быть описано скалярным магнитным потенциалом определение распределения, которого и было общей задачей данной работы. Для рассматриваемой расчетной области магнитное поле описывается уравнением Лапласа для скалярного магнитного потенциала.

Анализ результатов предыдущих исследований. В настоящее время, для решения этого уравнения в прямоугольной области, широкое применение получил метод разделения переменных [1; 5]. Причем, считается, что расчетная область имеет однородные свойства, и все усилия исследователей направлены на определение скалярного потенциала в прямоугольной расчетной области для различных граничных условий.

Кроме того, известно применение и других аналитических методов для решения такого типа зада, авторы которых, однако, также рассматривают лишь однородную по свойствам расчетную область (см., например, [2]).

Что же касается решения уравнения Лапласа в расчетной прямоугольной области с разными зонами по магнитным свойствам материала зоны, то таких решений для рассматриваемой расчетной зоны мы не нашли.

Постановка задачи. Рассматриваем плоскопараллельную прямоугольную область, имеющую зоны с различными магнитными свойствами, и ограниченную эквипотенциальными линиями так, как это показано на рис. 2 (эти эквипотенциальные линии соответствуют поверхностям полюсов на рис. 1).

Рисунок 2. Модель расчетной области

Магнитное поле в рассматриваемой области может быть описано скалярным магнитным потенциалом (рис. 2).

 для зоны I (, );

для зоны II (, ).

Потенциал  и  удовлетворяют уравнения Лапласа

                                                  1)

                                                       2)

Требуется решение уравнения (1) и (2) с учетом граничных условий, которые в рассматриваемом случае (рис. 2) можно записать как:

, , ;                                       

, , ;                                       

, , ;                      3)

, , ;                                              

, , ;                                              

, ,                                       

При том для однозначного определения потенциалов  и  необходимо еще учесть условия для этих потенциалов на границе раздела зон с различной магнитной проницаемостью (, , рис.2):

                              4)

Таким образом, задачей дальнейшего является решение уравнений (1) и (2) с учетом условий (3) и (4).

Общее решение уравнений (1) и (2). Для решения указанной задачи применим метод разделения переменных, что для потенциалов  и  позволяет записать в общем виде следующие выражения:

, (5)

, (6)

где: , , , , , , , , , , , , , , ,  – константы, определение которых должно давать потенциалы, соответствующим граничным условиям задачи.

В связи с выражениями (5) и (6) заметим, что обычно общее решение уравнения Лапласа методом разделения переменных записывают без квадратичных и линейных слагаемых перед суммами [1; 5]. Но такая запись не является общей, а для общности следует, все-таки, учитывать квадратичные и линейные слагаемые, которые также являются решением уравнения Лапласа. Именно это и учет осуществлен при записи выражений (5) и (6) в виде общих решений уравнений (1) и (2).

Уточнение общих выражений (5) и (6) путем определения на основе условий (3) и (4) входящих в них констант, является целью дальнейшего.

Использование граничных условий (3). Если учесть первое и четвертое граничное условие из (3), то несложно увидеть, что для удовлетворения этих условий необходимо положить:  и . Это позволяет переписать (5) и (6) к виду:

, (7)

. (8)

Далее, используя второе и пятое граничное условие из (3), с учетом (7) и (8), можно записать следующие соотношения:

, (9)

. (10)

Как видно, эти соотношения можно удовлетворить, если принять

,                                       

, ()                               11)

Таким образом, согласно (11), вместо (7) и (8) можно записать выражения:

,                      (12)

,                     (13)

где: обозначено , , , .

По поводу выражений (12) и (13) заметим, что они не содержат уже квадратичных и линейных слагаемых перед суммами. Это является следствием принятых граничных условий. При других граничных условиях эти слагаемые могли быть и ненулевыми.

Кроме того, заметим, что выражения (12) и (13) содержат только четыре неизвестных константы ,  и , . Из граничных же условий (3) осталось неиспользованными два условия (третье и шестое); также не использованы еще два условия (4) на границе зон I и II.

Таким образом, имеем четыре неизвестных константы , , ,  и четыре уравнения для их определения.

А именно, используя третье граничное условие (3), получим соотношение

,                                       (14)

в котором справа потенциал  разложим в ряд Фурье по синусам , что дает .

Тогда, приравнивая коэффициенты перед соответствующими слагаемыми, получим следующее соотношение между неизвестными константами  и  

.                                         (15)

Наконец, если учесть шестое граничное условие из (3), то получим соотношение

,

из которого следует равенство

                                                     , (16)

позволяющее переписать (13) к виду

.              (17)

Использование условия для скалярных потенциалов на смежной границе зон I и II. Согласно изложенному выше для искомых потенциалов  и  получили, соответственно, выражения (12) и (17), которые содержат три неизвестных ,  и , причем константы  и  связаны между собой соотношением (15). Таким образом, для определения констант ,  и  необходимо записать еще два соотношения между ними, чтобы затем решить их и (15) как систему уравнений относительно неизвестных ,  и .

С этой целью, очевидно, следует воспользоваться условиями для потенциалов  и  на границе зон I и II , которые выше записаны как условия (4).

А именно, согласно первого равенства в (4), после подстановки в него (12) и (17), осуществив несложные преобразования, можно записать соотношение

,(18)

которое позволяет выразить константу  через константы  и  

.(19)

Согласно же второго условия в (4), также подставив в него (12) и (17), с учетом (19), после несложных преобразований, можно записать соотношение

.(20)

Рассматривая (15) и (20), как два уравнения для констант  и , после соответствующих алгебраических преобразований, получим:

,                      

,                       21)

что, в свою очередь позволяет переписать (19) и (16) к виду:

.(22)

Таким образом, подставляя (21) и (22), соответственно, в (12) и (17) получим окончательно для искомых функций распределения скалярного магнитного потенциала в рассматриваемой области следующие выражения:

, (23)

, (24)

где: обозначено .

Обсуждение полученного решения. Прежде всего, заметим, что для  и выражения (23), и выражения (24) дают одинаковое распределение потенциала на границе раздела зон I и II, а именно

,

что свидетельствует о непрерывном распределении потенциала в расчетной области.

Кроме того, заметим, что при  из (24) для потенциала  при  получим значение . Это позволяет утверждать, что выражение (24) при , описывает распределение потенциала в рассматриваемой прямоугольной области с однородными магнитными свойствами среды во всей этой области

, (25)

что соответствует известному разложению в этом случае [8].

Отметим также, что полученные решения в виде выражений (23) и (24) можно применить и для случая электростатического поля, положив в них вместо  и  соответственно  и  – диэлектрическая проницаемость зон I и II, понимая под  и  потенциал электрического поля в рассматриваемой области с граничными условиями (3). Кроме того, выражения (23) и (24) можно рассматривать и как описание распределения электрического потенциала для поля растекания токов для прямоугольной области с зонами различной электропроводимости.

Выводы.

1.  Методом разделения переменных получены аналитические выражения, описывающие непрерывное распределение скалярного потенциала магнитостатического поля двухполюсной системы заданного вида в прямоугольной области с двумя зонами с различной магнитной проницаемостью.

2.  Полученное решение может быть использовано и для описания распределения потенциалов электрического поля и поля растекания токов в двумерной прямоугольной области с зонами, имеющими различные свойства.

Список литературы:

1. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. – М.: Изд-во МГУ, 1998. – 350 с.

2. Волков Е.А. О решении задачи Мотца блочным методом / Е.А. Волков, А.К. Корноухов // – Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2003, № 43:9. – С. 1385–1391

3. Иоссель Ю.Я. Электрические поля постоянных токов. – Л.: Энергоатомиздат, 1986. – 160 с.

4. Несис Е.И. Методы математической физики. – М.: Просвещение, 1977. – 199 с.

5. Пикулин В.П. Практический курс по уравнениям математической физики. – М.: МЦНМО, 2004. – 208 с.

6. Цырлин Л.Э. Избранные задачи расчета электрических и магнитных полей. – М.: «Сов. радио», 1977. – 320 с.

7. Вычисление потенциала электрического поля на компьютере – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://maier-rv.glazov.net/statiya22/el-pole.htm (Дата обращения: 27.11.15).

8. Finite element method magnetics: User’s manual – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: http://femm.berlios.de (Дата обращения: 25.11.15).