Телефон: 8-800-350-22-65
WhatsApp: 8-800-350-22-65
Telegram: sibac
Прием заявок круглосуточно
График работы офиса: с 9.00 до 18.00 Нск (5.00 - 14.00 Мск)

Статья опубликована в рамках: XXXVII Международной научно-практической конференции «Наука вчера, сегодня, завтра» (Россия, г. Новосибирск, 15 августа 2016 г.)

Наука: Философия

Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции часть 1, Сборник статей конференции часть 2

Библиографическое описание:
Дудкина С.А., Поваляев В.В. ФИЛОСОФСКИЙ АСПЕКТ ПОНЯТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В «НАУКЕ ЛОГИКИ» Г.В.Ф. ГЕГЕЛЯ // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер. XXXVII междунар. науч.-практ. конф. № 8(30). Часть II. – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 87-102.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

ФИЛОСОФСКИЙ АСПЕКТ ПОНЯТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В «НАУКЕ ЛОГИКИ» Г.В.Ф. ГЕГЕЛЯ

Дудкина Светлана Андреевна

аспирант общеуниверситетской кафедры философии и религиоведения Государственного автономного образовательного учреждения высшего образования города Москвы «Московский городской педагогический университет»,

РФ, гМосква

Поваляев Вениамин Валерьевич

аспирант общеуниверситетской кафедры философии и религиоведения Государственного автономного образовательного учреждения высшего образования города Москвы «Московский городской педагогический университет»,

РФ, гМосква

PHILOSOPHICAL ASPECT OF THE DIFFERENTIAL CALCULATION NOTION IN “SCIENCE OF LOGIC” OF G.W.F. HEGEL

Veniamin Povalyaev

applicant for a degree of Candidate of Economic Sciences, Federal State-Funded Educational Institution “Gubkin Russian State University of Oil and Gas (National Research University)”,

Russia, Moscow

Svetlana Dudkina

post-graduate student of Universitywide Chair of Philosophy and Religious Studies, Moscow State Autonomous Educational Institution of Higher Education “Moscow City Teacher Training University”,

Russia, Moscow

 

АННОТАЦИЯ

В данной статье раскрывается понятие дифференциального исчисления в философском понимании Г.В.Ф. Гегеля. Даются определения понятий: производная функция; дифференциальное исчисление; исчисление бесконечного в философском осмыслении Г.В.Ф. Гегеля. Делается вывод о качественном характере количественных переходов, проявленных в форме дифференциального исчисления.

ABSTRACT

In the article the concept of the differential calculation in the philosophical understanding of G.W.F. Hegel is revealed. Definitions of notions are given: the derivative of the function; differential calculation; calculus of the infinite in the philosophical understanding of G.W.F. Hegel The conclusion about qualitative nature of quantitative transitions manifested in the form of differential calculation is made.

 

Ключевые слова: дифференциальное исчисление; производная.

Keywords: differential calculation; derivative.

 

Общеизвестным законом диалектики является так называемый закон перехода количества в качество, самой известной иллюстрацией которого, возможно, является мнение, приписываемое Наполеону, о том, что один дикарь, конечно, в личной схватке одолеет солдата регулярной армии, но с ростом численности войск фактор организации становится решающим, и тысяча солдат армии окажется сильнее тысячи дикарей [7].

Более конкретизирующие данную закономерность скрупулезные выкладки Гегеля, рассматривающие понятие числа как таковое, менее известны. В процессе раскрытия понятия численности в одной из основных работ – «Логике» – Гегелем затрагивается тема образования и сущности дифференциального исчисления. Причем в том смысле, что по своему назначению и понятию дифференциальное исчисление имеет качественную природу.

В самом деле, метод производной функции и вообще дифференциальное исчисление – центральное понятие высшей математики. Но значение и важность его связаны с повсеместным использованием именно в физике, то есть как метод познания реального мира, в особенности при описании самых сложных нелинейных процессов динамики, квантовой механики, магнитных и электрических явлений и т. д. С этим, полагаем, связаны и сложности при понимании в курсе высшей математики. Без конкретных примеров, иллюстрирующих необходимость рассматриваемого метода исчисления, формулы остаются не имеющими смысла.

В этом и заключен переход от количества к качеству, то есть философский аспект. Далее, не касаясь всей сферы известного к настоящему времени о дифференциальном исчислении, рассмотрим данный переход так, как он был изложен Гегелем в «Науке логики», тем более что основные понятия и применения дифференциального исчисления в то время уже были введены в научный оборот.

Как известно, производная определяется в математике как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю. Одновременно с данным определением рассматриваются также общеизвестные сферы применения, а именно:

  • физический (механический) смысл – скорость изменения функции в данной точке;
  • геометрический смысл – тангенс угла наклона касательной прямой в конкретной точке функции.

Но в целом определение производной любой функции сводится к простому расчету:

Простейшей формой движения является равномерное поступательное движение. Механический смысл производной дает метод описания реальных движений, то есть неравномерных и непоступательных (нелинейных, вращательных и пр.)

Равномерным называется движение, при котором тело проходит за любые равные промежутки времени одинаковые пути. Скоростью равномерного движения называют отношение пути, пройденного телом, к промежутку времени, за который этот путь пройден. При равномерном движении скорость – постоянная величина для любого участка пути за любой промежуток времени.

Действительные движения редко бывают абсолютно равномерными, и предположение о равномерности можно применять только при крайне низкой точности наблюдений. Тут-то и появляется сложность, поскольку, несмотря на нереальность равномерного движения, другую форму его представить сложно.

Таким образом, для описания реальных движений неравномерное движение приводят к линейному закону. Можно определить среднюю скорость на нескольких участках пути. Допустим, автомобиль в течение первого часа ехал со средней скоростью 20 км/ч, в течение второго часа – со средней скоростью 40 км/ч и в течение третьего – со скоростью 15 км/ч. Если представить данное движение графически, получим ломаную линию, состоящую из прямых разной крутости.

Чтобы средняя скорость точнее описывала реальную скорость, данные промежутки времени сокращают. График пути будет состоять из ломаных линий со все большим числом звеньев, все точнее описывающих данное движение. По мере уменьшения промежутков времени движение все менее будет отличаться от равномерного, пока не будет достигнут предел, при котором действующими приборами зафиксировать отличие становится невозможным. График описания движения становится непрерывной кривой. Скорость, измеренная за бесконечно малый период времени, называется мгновенной скоростью, которую и считают равномерной [11].

Эта мгновенная скорость в конкретный момент времени равна значению производной функции в данной точке.

Согласно простейшему примеру, закон равноускоренного прямолинейного движения зависимости пройденного пути от времени – s (путь) = at2/2 – графически можно представить просто как правую часть параболы. Согласно определению производной (приращение функции при бесконечно малом приращении аргумента), получаем расчет: ds/dt = (a(t+dt)2/2 - at2/2) / dt =(at2/2 + 2 atdt/2 + adt2/2- at2/2) / dt = at+ adt/2. Второй член суммы, как стремящийся к 0, отбрасывается, остается уравнение ds/dt = at, то есть приращение пути в бесконечно малый промежуток времени (мгновенная скорость) в данной точке равна значению линейной функции at в данной точке.

Функция at, в которой константа a – постоянное ускорение – линейная. Линейная функция есть закон равномерного прямолинейного движения. То есть вычислением производной получено значение мгновенной равномерной скорости в данной точке.

Вторая производная первоначальной функции равна константе a и равна ей во всех точках, поскольку движение равноускоренное. Вторая производная линейной функции равна нулю, поскольку в линейной функции никакого ускорения нет, что очевидно.

 

Рисунок 1. Парабола и её производная

 

Геометрической иллюстрацией понятия производной является нахождение т. н. касательной к криволинейной функции в данной точке. Нахождение значения призводной сводится к определению тангенса угла наклона этой касательной путем бесконечного сближения самой точки и второй точки на кривой, через которую должна пройти касательная (рисунок 1).

На графике функции выбирается абсцисса x0 и вычисляется соответствующая ордината f(x0). В окрестности точки x0 выбирается произвольная точка x. Через соответствующие точки на графике функции F проводится секущая. Расстояние Δx = x —x0 устремляется к нулю, в результате секущая переходит в касательную. Тангенс угла α наклона этой касательной и есть производная в точке x0. Это следует также из расчета по указанной выше формуле.

В обоих примерах обращает на себя внимание необходимость оперировать понятием бесконечного при вводе в расчет т. н. бесконечно малой величины. После принятия данной величины равной нулю получаем другую (производную) функцию, явно по форме записи и графически с первоначальной не связанную. Однако непосредственно между ними существует связь – первоначальная функция убывает на промежутке, где производная функция меньше нуля, и, наоборот, первоначальная функция возрастает в зоне положительных значений производной функции. Крутость параболы из рассмотренного примера увеличивается с ростом значения аргумента (та самая скорость изменения функции).

Второе, что обращает на себя внимание, – образование в результате расчетов некоторого остатка, содержащего только стремящуюся к нулю позицию (бесконечно малую), которой можно пренебречь и которую поэтому отбрасывают.

Гегель категорически возражает против введения понятия бесконечного малого и оперированию им, более того, считает всякое отбрасывание членов уравнения, содержащих данную величину в пределах, где она стремится к нулю, не соответствующим нормам самой математики:

«Характер исчисления бесконечного отягощен видимостью неточности, которую он сам себе придает, увеличивая конечные величины на бесконечно малую величину и отчасти сохраняя эту последнюю в дальнейших действиях, отчасти же и пренебрегая ею … В самом же действии, предшествующем результату, нельзя обойтись без представления, что некоторые величины не равны нулю, но они столь незначительны, что их можно оставить без внимания. Однако в том, что понимают под математической определенностью, совершенно отпадает всякое различие между большей или меньшей точностью, подобно тому, как в философии может идти речь не о большей или меньшей вероятности, а единственно лишь об истине» [2].

Принципиально здесь, скорее, то, что в конечный математический расчет необходимым образом входит понятие бесконечного. Но существует противоречие обычного определения математического бесконечного, «что оно есть величина, больше которой, если она определена как бесконечно большая, или меньше которой, если она определена как бесконечно малая, уже нет». И в этом смысле бесконечное количество уже не определенное количество как таковое, но определено лишь в отношении со своим иным, которым является любое определенное количество. «Вне этого отношения оно нуль». Таким образом, бесконечное определено как некоторое качественное отношение, причем понятие философского и математического бесконечного в данной логике совпадают: «В философском отношении математическое бесконечное важно потому, что в его основе действительно лежит понятие истинного бесконечного» [1].

Истинному бесконечному как определенному выше противополагается т. н. дурная бесконечность, полученная при построении бесконечных рядов, где никакое количество членов не описывает весь ряд целиком. Аналогично данный термин часто применяется Гегелем при понимании Вселенной как бесконечного ряда, т. е. как нечто принципиально непознаваемое.

Ближайшим примером недурной бесконечности представляется обычная дробь. «Такая дробь, например, как 2/7 не есть такое определенное количество как 1, 2, 3 и т. д.; она правда обычное конечное число, однако не непосредственное, как целые числа, а как дробь, опосредованно определенная двумя другими числами, которые суть в отношении друг друга численность и единица, причем и единица есть некоторая численность». «Они имеют здесь значение не как 2 и 7, а лишь со стороны их определенности относительно друг друга. Поэтому можно вместо них с таким же успехом поставить также 4 и 14, или 6 и 21 и т. д. и далее до бесконечности». Тем самым в своем отношении 2 и 7 имеют момент бесконечности и, следовательно, качественный момент. В целом это аналогично и для отношения определенных констант a и b [2].

Общее для вышеуказанных случаев – то, что отношение остается постоянной величиной. По-другому будет обстоять дело, если X будет отнесен не к Y, а например к Y2, то есть в степенном отношении, в таком случае их отношение не будет постоянным определенным количеством, а качественным по своему существу, не являющимся каким-то определенным количеством. Поскольку это частное по определению своему переменно, делается вывод, что только степенная функция является функцией переменных величин. Линейная функция опять же такой функцией не является и предметом дифференциального и интегрального исчисления быть не может. Степенная функция есть качественное отношение переменных величин.

С точки зрения вышеизложенного бесконечно малые и их отбрасывание также определяются как качественные моменты: определенное количество совершенно утрачивается в т. н. бесконечных разностях – они только качественные моменты и имеют свое значение лишь в соотношениях. Геометрически в последнем отношении исчезают определенные количества абсциссы и ординаты, но члены этого отношения остаются в своем существе: один – элементом абсциссы, другой – элементом ординаты. «Различие, не будучи больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри себя, оно свелось в простую интенсивность одного качественного момента отношения сравнительно с другим» [2].

Итак, утверждается, что специфика дифференциального исчисления заключается в том, что оно оперирует качественными формами величин, переход количества в качество происходит посредством бесконечного понятия, а качественными формами являются именно степенные определения. Можно еще отметить, что в степенном отношении число, через приравнивание моментов его понятия, единицы и численности, определяется самим собой, то есть приобретает в себе момент бесконечности.

Далее, видимо, чтобы найти некоторую альтернативу бесконечно малому, Гегель берет степенную функцию и возводит ее в ряд. Основание функции (некоторая переменная) есть число, и оно может быть представлено суммой любого количества членов, но берется двучлен как в принципе достаточный, и, далее, двучлен возводится в степень (то есть множество уже показателя). Откуда находится соответственно функция возведения в степень – «производная степенная функция». Имеем обычное аналитическое разложение в ряд, а скорее, даже решение, понимаемое для целей дифференциального исчисления так, что переменной величине дается приращение, а затем степень двучлена разлагается в соответствующий ряд. Как видно, от некоторого подобия бесконечно малого избавиться не удается, но т. н. приращение является лишь формой, вспомогательным средством для этого разложения.

В целом относительно дифференциального исчисления дается также замечание, что «насильственность, заключающаяся в том, что прямо отбрасываются члены, получающиеся путем разложения функции, несмотря на то, что все это разложение признается полностью относящимся к делу – ибо дело именно и усматривается в отличии разложенной функции переменной величины (после того как ей придана форма двучлена) от первоначальной функции, – скорее противоречит всем математическим принципам. И потребность в таком образе действий, и отсутствие его внутреннего оправдания сразу же указывает на то, что его источник и основание находится вне его». История возникновения дифференциального исчисления началась в методах касательных, после того как образ действий был познан и в других предметах, он дошел и до абстрактных формул [2].

Итак, в ходе решения степенной функции в результате введения качественных моментов получается некоторое отношение, другая функция. «Что делать с полученным таким образом отношением, каково применение его и пользование им? Дифференциальное исчисление вызвало большой интерес именно тем, что оно находило такие отношения в конкретных предметах, сводимых к этим абстрактным отношениям».

Разложение в ряд степенных величин отличается, прежде всего, тем, что величина понижается на одну степень. Такое действие, следовательно, находит применение в таких предметах, в которых также имеется подобное различие степенных определений, например, в пространственных измерениях – линии, поверхности и тотальном пространстве (или прямой линии, плоскостной поверхности и кубе).

Прямая линия имеет эмпирическое определенное количество, но с плоскостью появляется то, что обладает качеством, степенное определение. Тем самым возникает также потребность переходить от более высокого степенного определения к низшему.

Производная функция определена как отношение, полученное путем решения некоторой степенной функции – возведения в степень числа, представленного в форме суммы, из которого первый член – числовое значение, а второй – отношение, лишь форма, необходимая для разложения значения в двучлен (слагаемых может быть и больше, но для понятия суммы в принципе двух достаточно). Степень есть некоторое число, которое может и должно быть разложено в ряд, и результатом данного действия является понижение степени на единицу, то есть уменьшение на одно измерение вниз.

Возможным описанием мог бы быть некоторый процесс, для понимания качественных свойств которого его необходимо рассмотреть на более низких измерениях. Как уже было указано, дифференциальное (и обратное ему интегральное) исчисление широко используется при исследовании геометрических свойств тел, а также при описании процессов движения.

Относительно рассмотренного выше примера касательной к функции кривой Гегель замечает, что параметры касательной, очевидно, и есть та связь между первоначальной функцией и отношением между ее координатами, выраженными прямыми линиями, которую и требуется найти. Однако, как и везде, категорически отрицая применение бесконечно малых, он приводит в пример доказательство Лагранжа («Лагранж отбросил это подобие доказательности и вступил на подлинно научный путь»), который рассматривал каждую сторону определения касательной отдельно. То есть сначала находится первая функция из данного уравнения кривой, которая дает некоторое отношение прямых линий, другая часть решения состоит в нахождении тех линий в кривой, которые находятся в указанном отношении. Далее уже определенная касательная геометрически должна совпасть с полученной из параметров дифференциального исчисления. В целом обращается внимание, что способы определения касательной существовали и до дифференциального исчисления, так что бесконечно малое служит лишь для подгонки под то, что и так заранее известно.

О качественных отношениях функции кривой, следующих из ее производной (и, соответственно, тангенса между касательной и осью абсцисс) уже упоминалось выше – отрицательное значение производной говорит об убывании функции, положительное – о возрастании, увеличение значения производной функции – об интенсивности (скорости изменения) первоначальной функции.

Обратным дифференциальному исчислению, как известно, является исчисление интегральное. «Предмет интегрального исчисления – само отношение первоначальной функции к производной, которая должна быть здесь данной, и задача состоит в том, чтобы указать значение искомой первоначальной функции в предмете данной первой [производной] функции или, вернее, так как это значение, например поверхность, образуемая кривой, или подлежащая выпрямлению кривая, представляемая в виде прямой, и т. д., уже выражено как задача, то требуется показать, что подобного рода определение можно найти посредством некоторой первоначальной функции, и показать, каков момент предмета, который для этой цели должен быть принят за исходную (производную) функцию».

«Можно поэтому сказать, не вникая в суть, что интегральное исчисление – это лишь обратная, но вообще более трудная задача дифференциального исчисления. Дело обстоит скорее так, что реальный интерес интегрального исчисления направлен исключительно на взаимноеотношение первоначальной и производной функции в конкретных предметах» [2].

Различные степенные определения выступают с аналитической стороны, прежде всего, лишь как формальные и совершенно однородные, означают числовые величины, которые как таковые не имеют указанного выше качественного различия между собой. Но в применении к пространственным предметам аналитическое отношение показывает себя во всей своей качественной определенности как переход от линейных к плоскостным определениям, от прямолинейных – к криволинейным определениям и т. д. Это применение, кроме того, приводит к тому, «что пространственные предметы, согласно своей природе данные в форме непрерывных величин, постигаются как дискретные, – плоскость, значит, как множество линий, линия – как множество точек и т. д.» [2].

Однако можно показать, что «никакая сумма точек не составляет линию, никакая сумма линий не составляет плоскость». Так, точка с самого начала принимается как линия бесконечно малой длины, линия – как плоскость бесконечно малой ширины. Сумма таких бесконечно малых очевидно равна бесконечности при любом размере их содержащего предмета.

Качественный переход заключается в том, что в самом аналитическом приеме, представляющимся простым суммированием, на самом деле уже содержится умножение. «Арифметическое умножение есть также и для геометрического определения переход к некоторому высшему измерению, арифметическое умножение величин, представляющих собой по своим пространственным определениям линии, есть в то же время продуцирование плоскостного определения из линейного; трижды 4 линейных фута дают 12 линейных футов, но 3 линейных фута, помноженные на 4 линейных фута, дают 12 квадратных футов. Умножение линии как таковой на линию – есть не просто изменение величины, но изменение ее как качественного определения пространства, как измерения; переход линии в плоскость следует понимать, как выход первой вовне себя, равно как выход точки вовне себя есть линия, выход плоскости вовне себя – некоторое целое пространство» [2].

Сведение дуги к прямой линии неосуществимо; эта несоизмеримость есть их качественное различие. Качественное различие дискретного и непрерывного вообще содержит также и отрицательное определение, ввиду которого они выступают как несоизмеримые, и которое влечет за собой бесконечное в том смысле, что непрерывное, долженствующее быть принятым за дискретное, по своей непрерывной определенности не должно уже иметь определенное количество. Непрерывное, которое арифметически должно быть принято за произведение, тем самым полагается в самом себе дискретным, а именно разлагается на те элементы, которые составляют его множители; в этих множителях заключается определенность его величины; и именно потому, что они суть эти множители или элементы, они имеют низшее измерение, а «поскольку появляется степенная определенность, имеют более низкую степень, чем та величина, элементами и множителями которой они служат».

Для механики аналогично можно сказать, что прямолинейное равноускоренное движение есть движение в трех измерениях – двух пространственных и временном. Качественное отношение, полученное путем дифференцирования, – равномерное движение – явно теряет одно из измерений (одно из пространств или время), поскольку, как известно, неотличимо от состояния покоя. Обратно реальное движение распадается на ряд равномерных движений, отношений, в которых проявляют себя уже указанные качественные свойства – интенсивности, увеличения и уменьшения процесса.

Впрочем, между равномерным и равноускоренным движением сохраняется непреодолимое качественное различие: «В теореме высшей механики содержится своеобразно превратное положение, что в равные и притом бесконечно малые промежутки времени проходят бесконечно малые части кривой в равномерном движении, причем утверждение это касается такого движения, в котором в равные конечные, т. е. существующие части времени, проходят конечные, т. е. существующие неравные части кривой, т. е., сталобыть, касается движения, которое как существующее неравномерно и признается таковым» [2].

Ингегрирование линейной функции, правда, дает значение пути, пройденного по закону равноускоренного движения, и в этом и состоит важность интегрального исчисления здесь, но ни в коем случае исходное значение не является суммой в строгом смысле слова прямоугольников, составленных из умножения скорости в конкретный момент времени на бесконечный малый его промежуток. Это непрерывность и качественная пропасть между качественно разными видами движения. Необходимой связью между ними, согласно второму закону Ньютона, должна быть приложенная извне сила, качественно меняющая состояние системы из равновесного в неравновесное состояние.

Интересно было бы предположить, что один вид движения, таким образом, является отражением (проекцией) мира с одним количеством измерений в другой. Существование миров с большим, чем четыре, количеством измерений вполне допускается. В таком случае мы имеем математический аппарат, посредством которого можно описать законы движения миров с большим количеством измерений. Но представить такое движение невозможно.

Интересно, что линейную функцию, то есть ее ближайший пример – линейное равномерное движение, – Гегель не видит смысла дифференцировать, поскольку отношение (скорость) и так остается все время одним и тем же. С другой стороны, не рассмотрена, например, такая функция, как синус, которая не является степенной, но является некоторым отношением и непостоянным, поскольку криволинейна. Известно, что производной синуса является то же самое отношение, только смещенное на константу, то есть косинус. С точки зрения Гегеля, это, видимо, тоже признак недифференцируемости.

Следует отметить, что в тексте «Логики» никаким образом также не затронута показательная функция. Особенно важную роль играет показательная функция экспоненты (числа e). Производная такой функции равна первоначальной.

В любом случае важно, что отношения функций в рамках дифференциального исчисления оказываются важнейшими при выводе законов природы (физики) и зачастую могут подменить собой доказательства. Это чисто интуитивно подтверждает наличие перехода от количественных к качественным отношениям именно как реально существующую связь законов математики и реального мира.

Качественный переход посредством «бесконечно малого масштаба измерения» лег в основу нового подхода к геометрии конца XVIII – начала XIX в., названного неевклидовой геометрией, далее послужившего основой для общей теории относительности А. Эйнштейна. В рамках данной концепции, в частности, указаны условия, при которых не выполняется пятый постулат Евклида: в пространстве, соответствующем определениям, аксиомам и постулатам Евклида, сумма углов треугольника всегда равна 180 , и это означает, что в подобном пространстве его структура (отношение между длиной, высотой, шириной, точками, линиями, углами и плоскостями) является постоянной; через две точки пространства можно провести только одну прямую линию – параллельные прямые не пересекаются.

Один из основателей теории, К. Гаусс, предположил существование неких существ, живущих на поверхности шара, т. е. на сфере, имеющей только два измерения. На сфере кратчайшим расстоянием между двумя произвольными ее точками будет не прямая, а геодезическая линия (дуга). Сумма углов треугольника, образованного геодезическими линиями, будет всегда больше 180 . И все меридианы будут пересекаться в двух точках сферы, ее полюсах, а каждой геодезической параллели, широте, будет параллельна не одна линия, как утверждает пятый постулат Евклида, а множество геодезических параллелей.

Чтобы представить поверхность сферы в форме плоскости, необходимо разрезать ее на мельчайшие кусочки и затем склеить их на плоской поверхности. Объясняется это тем, что сфера как двумерная поверхность имеет такую геометрическую структуру между своими составными частями, которая меняется в зависимости от направления и места на ней. Это свойство, изменение структуры, получило название кривизны пространства. Согласно К. Гауссу, существа на поверхности шара (сферы), не прибегая к третьему измерению, построили бы свою геометрию, опираясь на понятие «бесконечно малого масштаба измерения» [6].

Непосредственно мы и есть такие существа, поскольку живем на шаре, но пользуемся геометрией, актуальной для плоскости. Фактически разрыв между реальным пространством и евклидовой геометрией еще больше – результатом развития неевклидовой геометрии стала общая теория относительности, в которой искривление (увеличение количества измерений) пространства связывается с силой тяготения.

Анализируя имеющиеся взгляды на природу тяготения, Гегель отмечает, что «в уравнении падения тел s = at2, первый член анализа ds/dt = 2at понимается так, что он член некоторой суммы, одна часть движения, и притом та часть его, которая приписывается силе инерции, т. е. просто равномерной скорости, таким образом, будто в бесконечно малых частях времени движение равномерное, а в конечных частях времени, то есть в существующих на самом деле, – неравномерное. Самый множитель, а, эмпирическая единица – некоторое определенное количество как таковое – приписывается тяготению. Но если здесь применяют категорию силы тяготения, то нужно сказать, что, наоборот, как раз целое s=at2 есть действие или, лучше сказать, закон тяготения» [2].

Далее «движение, изображаемое уравнением s = at2, находится при падении тел; простейшим следующим за ним было бы движение, уравнением которого было бы s=ct3, но такого рода движения не оказывается в природе; мы не знали бы, что мог бы означать собой коэффициент с. Но, напротив, имеется движение, уравнение которого выражается кеплеровским законом движения тел Солнечной системы. (Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет.) И выяснение того, что здесь должна означать первая производная функция и т. д., а также дальнейшая непосредственная разработка этого уравнения путем дифференцирования, открытие законов и определений указанного абсолютного движения, отправляясь от этой исходной точки, должно бы, конечно, представлять собой интересную задачу, в решении которой анализ явил бы себя в самом надлежащем блеске» [2].

В результате философский аспект дифференциального исчисления определяется следующим образом:

  • производная функция определена как тесно связанная с понятиями математического и философского бесконечного;
  • бесконечное определено как качественный момент;
  • качественное есть необходимый элемент именно степенной функции, а отсюда дифференцирование и интегрирование есть геометрическое и аналитическое рассмотрение реальных процессов с уменьшением или увеличением количества измерений соответственно;
  • посредством качественных определений происходит переход от чисто математических понятий к явлениям реального мира.

Без дифференциального исчисления как непосредственного воплощения связи между количеством и качеством нельзя представить современное естествознание. Впрочем, по мнению Гегеля, оно само является лишь переходом к истинному познанию на основе понятий, относительно которого еще дается следующее замечание:

«Это большая заслуга – познакомиться с эмпирическими числами природы, например, с расстояниями планет друг от друга; но бесконечно большая заслуга – заставить исчезнуть эмпирические определенные количества и возвести их во всеобщую форму количественных определений так, чтобы они стали моментами закона, – бессмертные заслуги, которые имеют, например, Галилей в изучении падения тел и Кеплер в изучении движения небесных тел. Требуется, однако, еще более высокое доказательство этих законов, а именно не что иное, как познание их количественных определений на основе качеств или, иначе говоря, на основе соотнесенных друг с другом определенных понятий (как, например, пространство и время)» [2].

 

Список литературы:

  1. Бессонов Б.Н. История и философия науки: учебное пособие. – М.: Издательство Юрайт – ИД Юрайт – 2010. – 395 с. – Серия «Основы наук».
  2. Гегель Г.В.Фр. Наука логики. В трех томах / Г.В.Фр. Гегель – М.: Мысль – 1970 – 874 Г-27 – Аб/науч.
  3. Горохов В.Г. Учимся у Галилея // Высшее образование сегодня. – 2013 – № 3 – С. 8–17.
  4. Денисов А.А. Мифы теории относительности / Литов. науч.-исслед. ин-т науч.-техн. информации и технико-экон. исслед. Вильнюс: [ЛитНИИНТИ] – 1989 – 52 с.
  5. Ковалев А.М. Принципы новой философии (идеи, размышления, гипотезы) [Текст] – М.: Современные тетради – 2006. – 327 с.
  6. Лихин А.Ф. Концепции современного естествознания. – М.: ТК Велби – изд-во Проспект – 2006. – 264 с.
  7. Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. Том 20. (Издание второе) / Институт марксизма-ленинизма при ЦК КПСС (Диалектика природы) – С. 339–626. Режим доступа http://coollib.com/b/118673/read (Дата обращения: 19.03.16).
  8. Новейший философский словарь: 3-е изд. испр. Мн.: Книжнин Дом, 2003 – 1280 с.
  9. Овсянников М.Ф. Философия Гегеля / М.Ф. Овсянников. – М.: Соцэкгиз – 1959 – 306 с. – 87 О-34.
  10. Спиркин А.Г. Философия – [Электронный ресурс] – учебник / А.Г. Спиркин – 3-е изд., перераб. и доп. – Электрон. дан. (6 Мб). – М.: Юрайт – 2011 – [Электронные учебники] – Режим доступа 82/view.php?fDocumentId=982ЭБС (Дата обращения: 27.04.16).
  11. Физика макросистем. Основные законы: учебник / Иродов И.Е. – М.: 2001 – 200 с.
  12. Философия науки: Всероссийский научный журнал – 2014 – № 1 (60) – Издательство СО РАН – Подписка 2013–2014 гг.
Проголосовать за статью
Дипломы участников
У данной статьи нет
дипломов

Оставить комментарий

Форма обратной связи о взаимодействии с сайтом