МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗГОННОГО УЧАСТКА РАКЕТЫ-НОСИТЕЛЯ

MODELING OF THE ACTIVE PART FOR A LAUNCH MISSILE TRAJECTORY

Denis Tsymbalov

assistant professor of Don State Technical University,

Russia, Rostov on Don

Victoria Tsymbalova

graduate student of Don State Technical University,

Russia, Rostov on Don

Oleg Yatcenko

сandidate of Science, associated professor of Don State Technical University,

Russia, Rostov on Don

АННОТАЦИЯ

Рассмотрена актуальная для космической экологии задача приближенного описания стратосферного участка ракеты-носителя. Для ее решения применялись аналитические и численные методы, использовались пакеты вычислительной математики. Результаты исследования важны для правильной оценки параметров «озоновой дыры», обусловленной запуском ракеты.

ABSTRACT

Stratospheric stage of a space rocket carrier actual for environment protection is considered using analytical and numerical technique. Results obtained enable to improve estimations for the rocket ozone hole parameters.

Ключевые слова: ракета-носитель, разгонный участок, высотно-скоростная зависимость, экология атмосферы, математическое моделирование.

Keywords:  space rocket carrier, active part of trajectory, environment (stratosphere) protection, theoretical research, computer modeling.

Моделирование ракетных траекторий является одним из наиболее перспективных приложений современной математики. В частности, адекватные математические модели разгонного участка ракет-носителей (РН) важны для множества технических и экологических приложений. Поэтому целью данной работы ставится конструирование модели траектории РН, адаптированной к задачам загрязнения атмосферы реактивными выбросами.

С высокой степенью правдоподовия движение РН на активном участке траектории описывается высотно-скоростной зависимостью:

dv²/dH + 2 Â/ m e^–H/8000 v² = 2 (u₀/ m – g) .                           (1)

В этом уравнении m = m(Н) – масса ракеты, кг; m₀ = m(0) – начальная масса ракеты;  – коэффициент аэродинамического сопротивления, кг/м:  = x m₀^2/3; x – множитель, характеризующий аэродинамическое совершенство формы РН и не сильно отличающийся для носителей разных типов; u₀ –  начальная скорость истечения реактивных газов, м/с;  – секундный расход топлива на активном участке траектории равный суммарному секундному расходу двигателей первой ступени и дополнительных ускорителей, кг/с; g = 9.8 м/с² – ускорение свободного падения у поверхности Земли.

Для обоснования адекватности этой модели приведем вывод (1) и сопутствующие соображения. В совокупности они хорошо объясняют сходство активных участков траекторий современных РН. Динамика ракеты описывается законом Ньютона, который на активном, в т.ч., стратосферном участке траектории имеет вид:

m dv/dt = u₀ – mg – Â v² e^–H/8000 ,                                     (2)

Здесь m = m(t) » m₀ – t – постепенно уменьшающаяся масса РН в предположении постоянного расхода топлива .

Отметим, что квадратичная зависимость силы аэродинамического сопротивления от скорости F_Â(v, H) справедлива вне интервала 0.5 £ М º v/u_s £ 1.5 или 150 £ v £ 500 м/с, где величина dlnF_Â/dlnv изменяется немонотонно, достигая в максимуме 5 ¸ 6; М – число Маха. Экспонента в слагаемом F_Â(v, H) = – Â e^–H/8000 v² отвечает тому обстоятельству, что при подъеме на каждые 8 км атмосфера Земли становится в е » 2.718 раз менее плотной (отсюда термин высота однородной атмосферы Н₀ = 8000 м).

Учет связи dH/dt = v позволяет исключить из уравнения (2) время t как независимую переменную, что является одной из причин подобия ракетных траекторий. Если дополнительно принять во внимание, что t u₀ » m₀ v, из (2) следует:

1/2 (1– v/u₀) dv²/dH +  Â v² e^–H/8000 = u₀– m₀ (1 – v/u₀) g .                  (3)

Переписав это уравнение в каноническом виде, приходим к форме (1).

Найти приближенное решение (1) в замкнутой форме можно, если осреднить множитель m = m(t) » m₀ – t » m₀ (1 – v/u₀) по времени работы первой ступени РН. Обычно масса первой ступени составляет 2/3 ¸ 3/4 полной массы ракеты, следовательно, средняя масса РН за период выработки этой ступени составляет 5/8 ¸ 2/3 или » 0.65. Введя обозначение <m> º <1 – v/u₀>|_{1-я ступень} ´ m₀ » 0.65 m₀, упрощаем (1) и получаем:

dv²/dH + 2 Â/<m> e^–H/8000 v² = 2 (u₀/<m> – g) .                     (4)

Уравнение (4) объясняет подобие ракетных траекторий. Правая часть (4) для всех современных РН близка к 3 g » 30 м/с², а величина Â ~ b <m>^2/3 – к 10^–4 кг/м. Если принять разброс массы типичной РН в пределах порядка величины, имеем разброс коэффициента 2 Â/<m> в левой части (4) около 10^1/3 » 2. Это соответствует 50 %-му коридору вокруг значения 2 Â/<m>, которое припишем «усредненной» ракете. Схожесть траекторий усиливается как из-за экспоненциального множителю e^–H/8000 при v² в (4), так и вследствие извлечения квадратного корня из решения уравнения (4) при получении явной зависимости v(H):

v(H) = {2 (u₀/<m> – g) ₀ò^H  exp[16000b <m>^–1/3 (1 – e^–h/8000)] dh /

/ exp[16000b <m>^–1/3 (1 – e^–H/8000)]}^1/2 »

» 250 {₀ò^H  exp[16000b <m>^–1/3 (1 – e^–h/8000)] dh/

/ exp[16000b <m>^–1/3 (1 – e^–H/8000)]}^1/2 .                                    (5)

Частное решение (5) для реалистичных начальных данных показано на рисунке 1. При интегрировании (3.2.4) средствами пакета Maple (использовано естественное начальное условие v(H = 0) = 0. Проведенный анализ показывает, что объективная ширина коридора траекторий составляет ~ 25 % около некоторой усредненной или типичной траектории; об этом же свидетельствуют фактические данные.

Рисунок 1. Частное решение задачи (1) для типичной РН: вероятный коридор траекторий

Практическим результатом выполненного здесь математического анализа служат следующие выводы. Примерно на 40-й секунде полета в динамике РН аэродинамическая стадия сменяет инерционную. К этому моменту усредненная ракета достигает высоты порядка 10 км и скорости 500 м/с. Стратосферный участок траектории, таким образом, является аэродинамическим: скорость РН линейно увеличивается с высотой. Если разложить в ряд Тейлора полученную нами высотно-скоростную зависимость типичной РН на высоте 35 км как середине стратосферы, имеем следующее упрощение формулы (5) для экологических приложений:

v(H) » 0.025 × (H + 10000) .                                          (6)

Эта формула позволяет уточнить все параметры первичного ракетного следа вдоль траектории, важные для адекватного описания ракетных «озоновых дыр».

Список литературы:

1. Абрамов И.П., Алдашкин И.В., Алексеев Э.В. Ракетно-космическая техника. М.: Машиностроение, 2014. -  563 с.
2. Бакулин В.Н., Ладоша Е.Н., Месхи Б.Ч., Цымбалов Д.С., Яценко О.В. Научные основы защиты озонового слоя стратосферы в условиях освоения космического пространства при помощи ракет на химическом топливе. Ростов н/Д: Издательский центр ДГТУ, 2009. - 160 с.
3. Кобелев В.Н., Милованов А.Г. Ракеты-носители: учебное пособие. М.: МАТИ, 1993. - 183 с.