СФЕРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ ВОЛНЫ

SPHERICAL FILTRATION WAVES

Alexander Filippov

doctor of Technical Sciences, Professor Sterlitamak branch of Bashkir State University, Head of the Department of General and Theoretical Physics,

Russia, Sterlitamak

Oksana Akhmetova

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Sterlitamak branch of Bashkir State University, Researcher,

Russia, Sterlitamak

Aleksey Kovalskiy

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Sterlitamak branch of Bashkir State University, Director,

Russia, Sterlitamak

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 16-08-00548 А

АННОТАЦИЯ

Представлен вывод уравнения для описания сферически симметричных фильтрационных волн. Найдены выражения для скорости волны, коэффициента пьезопроводности и затухания.

ABSTRACT

The derivation of an equation for the description of spherically symmetric filtration waves is presented. Expressions for wave velocity of the pressure conductivity factor and damping are found.

Ключевые слова: фильтрация; закон Дарси; фильтрующаяся жидкость; фильтрационно-волновое поле давления.

Keywords: filtration; Darcy’s law; filtrating liquid; filtrating-wave field of pressure.

Известно, что на достаточно больших расстояниях от источника, значительно превышающих его собственные размеры, волны в сферически ортотропной среде с высокой точностью можно считать сферическими. По этой причине изучение сферических волн представляет самостоятельную научную проблему. Аналогичная ситуация имеет место при распространении фильтрационных волн, неизбежно возникающих в технологических процессах добычи нефти и газа [1–5]. Фильтрационные волны к настоящему времени недостаточно изучены, хотя они имеют важное значение при формировании трещин в процессе гидроразрыва пласта. Авторами статьи осуществлен вывод уравнений, описывающих фильтрационные плоские [6] и цилиндрические [7] волны давления в анизотропных средах.

В данной работе представлен вывод уравнения для сферически симметричных фильтрационных волн.

Истинная скорость стационарной (или квазистационарной) фильтрации при сферическом течении, обладающем угловой симметрией, подчиняется закону Дарси, который записывается в виде

Можно показать, что соотношение (1) соответствует наличию объемных фиктивных сил трения

Для нестационарной фильтрации, учитывая силы трения в уравнении движения, имеем

Из (2) видно, что сила R, зависит от скорости фильтрации. Подстановкой (2) в (3) получим уравнение сферически симметричного движения жидкой фазы [5]

в частном случае совпадаеющее с уравнением Эйлера-Жуковского. При равенстве нулю полного ускорения жидкой фазы из (4) получается уравнение (1).

В отсутствии источников закон сохранения массы фильтрующейся жидкости записывается в форме уравнения неразрывности

Полагаем приближенно  во втором слагаемом уравнения (5) и в уравнении (4), а также пренебрегая слагаемыми второго порядка по скорости, имеем

и

Соответственно.

Подействовав оператором  на уравнение (7) получим

Результат вычисления производной по времени от уравнения неразрывности (6) представится как

Исключив далее в  слагаемые, содержащие скорость, с помощью уравнений  и  получим

Для линеаризованного уравнения состояния , где  – сжимаемость пористой среды, получим

или

В (11) введены обозначения:  – скорость распространения фильтрационно-волновых возмущений,  – коэффициент пъезопроводности. Введенные обозначения позволяют установить взаимосвязь между коэффициентом пъезопроводности и скоростью распространения фильтрационно-волновых возмущений в направлении радиальной координатной линии . Сравнением полученного уравнения (11) с классическим уравнением колебаний определена связь коэффициента затухания со скоростью распространения фильтрационно-волновых возмущений и пьезопроводностью

Итак, сферические волны, обладающие угловой симметрией относительно полярной точки, описываются уравнением

Список литературы:

1. Гаврилов А.Г., Марданшин А.Н., Овчинников М.Н., Штанин А.В. Исследование окрестности скважины методом высокочастотных фильтрационных волн давления // Электронный научный журнал Нефтегазовое дело. 2007. № 1. С. 14.

2. Куштанова Г.Г. Фильтрационные волны давления при неравновесном законе фильтрации // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2007. № 2. С. 65–69.

3. Овчинников М.Н., Куштанова Г.Г., Гаврилов А.Г., Сударев М.В. Фильтрационные волны давления как метод исследования параметров пластов // Электронный научный журнал Нефтегазовое дело. 2015. № 6. С. 124–161.

4. Овчинников М.Н., Куштанова Г.Г., Гаврилов А.Г., Сударев М.В. Фильтрационные волны давления как метод исследования параметров пластов // Электронный научный журнал Нефтегазовое дело. 2015. № 6. С. 124–161.

5. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Заманова Г.Ф., Ковальский А.А. Спектральные соотношения для фильтрационно-волновых полей в неоднородных проницаемых пористых пластах // Электронный научный журнал Нефтегазовое дело. 2014. № 2. С. 1–13.

6. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Ковальский А.А., Заманова Г.Ф. Фильтрационные волны в слабоанизотропной среде // Вестник Башкирского университета. 2013. Т. 18. № 4. С. 1004–1005.

7. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Ковальский А.А., Повленкович Р.Ф. Фильтрационные волны в анизотропной среде // Естественные и математические науки в современном мире. 2014. № 14. С. 57–63.