МЕТОДОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ В ШКОЛЕ: МЕТОДЫ И ПОДХОДЫ

​АННОТАЦИЯ

В статье рассматриваются возможности применения элементов теории многочленов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств в школьном курсе математики. Обосновывается актуальность поиска эффективных методических подходов, направленных на формирование у учащихся осознанного выбора способов решения задач и понимания их алгебраической структуры. Показано, что ряд показательных и логарифмических уравнений может быть приведён к многочленам с помощью замены переменной, что позволяет использовать такие инструменты теории многочленов, как теорема о целых корнях, теорема Безу и схема Горнера. На конкретных примерах демонстрируется эффективность данного подхода при решении уравнений и неравенств, в том числе повышенного уровня сложности. Использование элементов теории многочленов способствует развитию аналитического и алгоритмического мышления учащихся, а также формированию метапредметных компетенций. Представленный материал может быть использован в практике преподавания математики на базовом и углублённом уровнях обучения.

Показательные и логарифмические уравнения занимают важное место в школьном курсе математики, поскольку они лежат в основе изучения функций, математического анализа и многих прикладных задач. Несмотря на широкую представленность данных тем в учебной литературе, учащиеся нередко испытывают трудности при их решении. Это связано как с особенностями самих функций, так и с разнообразием типов уравнений, требующих различных методологических подходов. В этой связи возрастает необходимость поиска эффективных способов обучения, которые позволили бы сформировать у обучающихся устойчивые навыки анализа структуры уравнения и осознанного выбора метода решения.

Одним из перспективных направлений в методике преподавания является использование элементов теории многочленов при решении показательных и логарифмических уравнений. Многие сложные уравнения данных типов допускают преобразование к виду, подобному многочленам, что существенно упрощает процесс решения. Свойства многочленов – такие как факторизация, разложение на множители, использование теоремы Виета, оценка количества корней и анализ поведения функций - открывают возможности для более глубокого понимания структуры уравнений и рационального выбора алгоритма решения.

Интеграция методов теории многочленов в процесс решения показательных и логарифмических уравнений не только повышает эффективность вычислений, но и способствует развитию аналитического мышления учащихся. Она позволяет рассматривать традиционные задачи под новым углом, выявлять скрытые алгебраические связи, формировать целостное представление о взаимодействии различных разделов математики. Такой метапредметный подход соответствует современным требованиям к математическому образованию, ориентированному на развитие метапредметных компетенций и гибкости математического мышления.

Настоящая статья направлена на анализ и выявление тех элементов теории многочленов, которые могут быть эффективно использованы в учебной практике при работе с данными типами задач. Рассматриваемый подход позволяет по-новому взглянуть на известные методы и повысить их педагогическую ценность.

Решение заданий с использованием элементов теории многочленов

Элементы теории многочленов

На этом этапе рассматриваются показательные и логарифмические уравнения и неравенства, для решения которых появляется необходимость расширить (по сравнению с базовой программой) теоретический запас знаний учащихся: потребуется знание небольшого количества специальных дополнительных к общеобразовательной программе теорем, свойств и алгоритмов. Эти задания объективно не являются сложными, они развивают внимание учащихся и расширяют их возможности. При этом нет необходимости сильно расширять базовый учебный материал. Некоторые уравнения и неравенства, которые будут приведены, связаны с частными случаями решения уравнений 3-й и 4-й степеней. Для их решения достаточно только рассмотреть основные теоремы теории многочленов (о целых корнях многочлена, Безу с ее следствиями) и схему Горнера. Необходимые элементы теории многочленов:

1. Теорема о целых корнях многочлена.

Если многочлен с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями его свободного члена. Как обобщение этой теоремы можно рассмотреть теорему о рациональных корнях многочлена, в которой говорится, что если несократимая дробь   является корнем многочлена, то m является делителем свободного его члена, а n – делителем его старшего коэффициента. Эта теорема менее удобна для использования, и поэтому ее следует применять значительно реже и только в классах, где математика преподается на углубленном уровне.

2. Теорема Безу. Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен x-a равен значению многочлена в точке а.

Значительно более важными являются следствия из этой теоремы:

- если а – корень многочлена Р(х), то многочлен делится на x-a;

- если а – корень многочлена Р(х), то многочлен можно представить в виде: , где Q(х) – некоторый многочлен, степень которого меньше степени Р(х) на 1.

3) Схема Горнера (малая). Она используется при делении многочлена на двучлен вида x-a. При этом первый коэффициент в частном сохраняется, а каждый следующий коэффициент можно найти, умножая предыдущий коэффициент получаемого многочлена частного на корень и затем складывая полученное произведение со следующим коэффициентом многочлена делимого. [1]

Например, известно, что число 3 является корнем многочлена . По следствию из теоремы Безу Р(х) делится на x-a. Можно, конечно, «уголком» разделить многочлен Р(х) на двучлен x-a. Однако значительно удобнее выполнить это деление с помощью схемы Горнера (таблица 1). Для этого составим соответствующую таблицу:

Таблица 1.

Деление многочлена с помощью схемы Горнера

В первой строке таблицы находятся коэффициенты многочлена-делимого; во второй: 3 – корень, 2 – первый коэффициент, –1 получили по рассмотренной выше схеме:

 ,

следующий коэффициент –1 получен аналогично:

 ,

наконец, 0 – это остаток, который получен аналогичным образом:

.

В результате получаем многочлен-частное с полученными по схеме Горнера коэффициентами:  . Этот многочлен имеет вторую степень, то есть на 1 меньше, чем Р(х). Нетрудно проверить, что .

В принципе так же можно переходить от многочленов 4-й, 5-й и т.д. степеней к многочлену 2-й степени, корни которого можно без труда вычислить с помощью дискриминанта. Весь этот процесс с использованием всех этих теорем и их следствий также иногда называют схемой Горнера (большой).

Рассмотрим теперь уравнение 4-й степени, корни которого можно найти с помощью этих теорем: . В левой части находится многочлен с целыми коэффициентами. Среди делителей его свободного члена находим корень . По схеме Горнера делим многочлен в левой части уравнения на . При этом необходимо учесть, что коэффициент при  равен 0, и его надо обязательно занести в таблицу на соответствующее место (таблица 2):

Таблица 2.

Деление многочлена по схеме Горнера

В результате получим многочлен 3-й степени:  .

Среди делителей его свободного члена найдем корень . Снова разделим по схеме Горнера (таблица 3):

Таблица 3.

Деление многочлена по схеме Горнера

Получим квадратный трехчлен, корни которого найдем по формуле корней квадратного уравнения . Корнями будут числа:  . Таким образом ответ:  .

Используем описанный выше способ для решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств.

Решим показательное уравнение :

 [2]

Обозначив  , имеем .

Нетрудно заметить, что  (1 – делитель свободного члена) является корнем многочлена, стоящего в левой части. Разделим по схеме Горнера на ) (таблица 4):

Таблица 4.

Деление многочлена по схеме Горнера

Получим новый многочлен: , корни которого найдем из квадратного уравнения, используя теорему Виета:

 .

Кроме того, был ранее получен корень .

Тогда:

Откуда:  

Ответ: 0; 1 и 2.

Решим логарифмическое неравенство .[3]

По определению логарифма преобразуем правую часть неравенства:

Следовательно

Переходим к равносильному неравенству:

Используя схему Горнера, решим это неравенство аналогично предыдущему уравнению. Получим  .

Проверяем ОДЗ:

Заключение

В ходе проведённого анализа было показано, что использование элементов теории многочленов при решении показательных и логарифмических уравнений и неравенств является методически обоснованным и педагогически целесообразным. Приведение данных уравнений к алгебраическим многочленам посредством замены переменной позволяет существенно упростить процесс их решения и сделать его более структурированным и осознанным для учащихся.

Рассмотренные теоремы и алгоритмы - теорема о целых корнях многочлена, теорема Безу и схема Горнера - не требуют значительного расширения базового школьного курса, однако при этом существенно расширяют инструментарий обучающихся. Их применение позволяет эффективно решать уравнения и неравенства, которые в стандартном подходе воспринимаются как сложные или нестандартные, а также формирует навыки анализа структуры выражений и выбора рационального метода решения.

Интеграция элементов теории многочленов в изучение показательных и логарифмических уравнений способствует развитию логического и аналитического мышления, формированию межпредметных связей и целостного представления о математике как единой системе знаний. Такой подход соответствует современным требованиям математического образования, ориентированного не только на усвоение алгоритмов, но и на развитие гибкости мышления и метапредметных компетенций учащихся.

Представленный в статье материал может быть рекомендован для использования в практике преподавания математики в старших классах общеобразовательной школы, а также при организации факультативных занятий и углублённого изучения предмета.

Список литературы:

1. Элементарная алгебра. Методы решения уравнений и неравенств: Учеб. пособие / Е.В. Марчевская, И.К. Марчевский. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. – 232 с.
2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник (базовый и углублённый уровни) / Мордкович А.Г., Семенов П.В. – 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. – 264 c.
3. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. Для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / Ю. М. Колягин, М.В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин; под ред. А. Б. Жижченко. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.
4. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для 11 класса общеобразовательных организаций. Базовый и углублённый уровни / В.В. Козлов, А.А. Никитин, В.С. Белоносов и др.; под ред. В.В. Козлова, А.А. Никитина –М.: «Русское слово - учебник»,2013– 464 с.
5. Методика преподавания математики в средней школе. Общая методика: учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. / Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, В.Я. Саннинский, Г.Л. Луканкин. – М.: Просвещение, 1975. – 462 с.