Статья опубликована в рамках: XXXVIII Международной научно-практической конференции «Естественные и математические науки в современном мире» (Россия, г. Новосибирск, 13 января 2016 г.)
Наука: Информационные технологии
Секция: Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
дипломов
Статья опубликована в рамках:
Выходные данные сборника:
Разработка конечно-разностного регуляризованного решения одномерной обратной задачи, возникающий в электромагнитных процессах
Маматкасымова Алийма Торожановна
старший преподаватель кафедры «Информатика»
Ошского технологического университета,
Кыргызская Республика, г. Ош
Сатыбаев Абдуганы Джунусович
д-р физ.-мат. наук, проф.,
заведующ ей кафедрой «Управление и информатика в технических системах»
Ошский технологический университет,
Кыргызская Республика, г. Ош
FINITE DIFFERENCE REGULARIZED SOLVE DEVELOPMENT OF ONE-DIMENSIONAL INVERSE PROBLEM ARISING IN ELECTROMAGNETIC PROCESS
Aliyma Mamatkasymova
senior lecturer “Informatics” Osh Technological University,
Kyrgyzstan, Osh
Abdugany Satybaev
dr. Of phys.-maths. sciens., Professor, Head of the Department
“Management and informatics in technical systems” Osh Technological University,
Kyrgyzstan, Osh
АННОТАЦИЯ
В данной статье построено конечно-разностное регуляризованное решение одномерной обратной задачи уравнения Максвелла.
ABSTRACT
Finite difference regularized solve of one-dimensional inverse problem of Maxwell’s equation had been made in this article.
Ключевые слова: Электромагнитные процессы; уравнения Максвелла; конечно-разностная регуляризация.
Keywords: Electromagnetic processes; Maxwell’s equations; finite difference regularization..
Постановка задачи. Электромагнитные процессы во многих случаях описываются системами уравнений Максвелла.
В работе [1] обратная задача для системы уравнений Максвелла приведена к об- ратной задаче с прямолинейной характеристикой
(1)
(2)
Пусть относительно решения прямой задачи задана
(3)
Пусть относительно коэффициентов уравнения выполнены условия
(4)
где:
(5)
Тогда, т. к. уравнение (1) является гиперболического типа, задачу можно рассматривать в области [1]:
(6)
Обратная задача. Определить -электропроводимость среды при известных значениях: -магнитной и диэлектрической проницаемости и p(t) – ток в кабеле, а также дополнительной информации о решении прямой задачи (3).
Обозначим через
.
Выделим теперь сингулярную и регулярную часть решения прямой задачи (1) – (2) по методике В.Г.Романова, для этого представляем решение задачи в виде [2]:
, (7)
где: - гладкая непрерывная функция, θ(t) Хевисайда.
Из (7) получим
Подставим последние выкладки в уравнение (1), и тогда получим (8)
Собираем коэффициенты при одинаковых и прирав ниваем их к нулю:
Тогда получим задачи (при этом учтем начальное условие)
(9)
(10)
Решая первую систему, получим
(11)
Решая вторую систему, получим
(12)
Учитывая, что , а также выше полученных выкладках получим следующую обратную задачу с прямолинейной характеристикой:
(13)
(14)
(15)
Здесь обратная задача заключается в определении функции при известных функциях (она зависит от известных функций и , при известной функции – дополнительная информация о решении прямой задачи.
Если мы определим функции , то по формуле
, (16)
можем определить и неизвестную функцию .
Используя формулу Даламбера для прямой задачи (13),(14) получим решение этой задачи
(17)
Отсюда, при , то получим
.(18)
Конечно-разностное решение. Введем сеточную область для решения задачи (13) – (15)
где: сеточный шаг по
Напишем разностный аналог дифференциального уравнения (13)
.(19)
где:
(20)
Отюда получим
(21)
Из последних выражений можно получить рекуретную формулу [3]
Подставляя последние выражения последовательно в правую часть (21), а также опять же записывая такую же рекуррентную формулу и ее поставляя в (21) и продолжая это процесс получим разностный аналог интегральной формулы Даламбера (17)
(22)
Пологая в последней формуле (22) и учитывая формулы (14), получим разностный аналог интегральной формулы (18)
.(23)
Таким образом (22) и (23) составляют систему разностных нелинейных уравнений второго рода.
В разностном аналоге (22) мы записали без малых величин .
Таким образом, для формулы (22) с малой величины можно получить такие же формулы как (22) и (23), но с малой величиной . Обозначим решение с малой величиной через и .
Тогда для и получим следующее:
(24)
(25)
Введем обозначения
(26)
Учитывая эти нормы из (24) и (25) получим оценки
(27)
(28)
Пусть тогда
. (29)
Из последней формулы используя формулы дискретнего аналога леммы Гронулла- Беллмана получим
(30)
Таким образом доказано сходимости конечно-разностного решения разностной задачи (22) (23) к решению дифференциальной задачи (13) – (15).
Теорема 1. Пусть решение обратной дифференциальной задачи (14) (15) суще- ствует и и тода построенные решения обратной задачи (22) (23) сходится к точному решению обратной задачи (14) (15) со скоростью порядка .
Регуляризованное решение. Пусть теперь дополнительная информация о решении прямой задачи для решения обратной задачи задана и выполнена
малое число. (31)
Тогда для и пара регуляризованного решения обратной задачи, также можно получить формулы (22) и (23), т.е.
(32)
(33)
(33) отнимая из формул (22) – (23) формулы (32) – (33) получим
(34)
(35)
Учитывая введенные нормы оценим последние уравнения (35), (36)
,(36)
.(37)
Пусть теперь тогда из последних выражений получим
(38)
Тогда опять же используя формулы Гроноула-Беллмана получим оценку
, (39)
А если учесть что оценки (30), то имеем
, (40)
Последная оценка является оценкой регуляризующего решения обратной задачи.
Алгоритм конечно-разностного регуляризованного решения.
· по формуле (15) величинам присваиваются значения приближенная дополнительная информация обратной задачи (13) – (15) (на рис. 1 обозначена ◦);
· второму слою присваиваются значения ( на рис. 1 обозначена ♦). Эта формула выведена из формулы Тейлора;
· вычисляется формула (14) и определяется значение
· вычисляется по формуле (14) ;
· начиная с слоя, в начале вычисляется , по формуле (32) (на рис.1. обозначена через *);
· по формуле (33) определяется значение данные на характеристиках;
· вычисляется интегральное уравнение второго рода, т.е. определяется по формуле (33);
· и в каждом слое определяется неизвестная функция , т.е. вычисляется фор- мула (13) и находятся значении .
Функции были равны к единице. Отметим, что эти функции можно взять как различные тестовые функции. По вышеуказанному алгоритму вычислена обратная задача и она реализована на компьютере с помощью языка Delphi.
Обратная одномерная задача для уравнения Максвелла (13) – (15) численно реализована для функции в следующего вида и определена функция , глубина вычисления .
В полученных рисунках 2–9 выведены графики функции – дополни тельная информация для обратной задачи и -точная и приближенная и регуляризованное решение. Шаг сетки .
Таблица 1.
Заданные тестовые функции
№п/п |
№ Рис. |
Ф У Н К Ц И И |
|||
|
|
|
|
||
1 |
Рис. 2 |
|
|
1 |
1 |
2 |
Рис. 3 |
|
|
1 |
1 |
3 |
Рис. 4 |
|
|
1 |
1 |
4 |
Рис. 5 |
Ступенчатая функция |
|
1 |
1 |
5 |
Рис. 6 |
Ступенчатая функция |
|
1 |
1 |
6 |
Рис. 7 |
|
|
1 |
1 |
7 |
Рис. 8 |
Импульсная функция |
|
1 |
1 |
8 |
Рис. 9 |
|
|
1 |
1 |
Рисунок 1. Область вычисления обратной задачи
Рисунок 2. График функции
Рисунок 3. График функции
Рисунок 4. График функции
Рисунок 5. График функции - ступенчатая функция
Рисунок 6. График функции - ступенчатая функция
Рисунок 7. График функции
Рисунок 8. График функции – импульсная функция;
Рисунок 9. График функции
Список литературы:
1. Маматкасымова М.Т., Сатыбаев А.Дж. Численный алгоритм и реализация решения обратной задачи для системы уравнений Максвелла // Проблемы автоматики и управления. ИАИТ НАН КР. – Илим. Бишкек, 2015. С. 208–215.
2. Романов В.Г. Устойчивость в обратных задачах. – М.2005, 296 с.
3. Сатыбаев А.Дж. Конечно-разностное регуляризованное решение обратных задач гиперболического типа. Ош. – Ошоблтипорафия, 2001. – 143 с
дипломов
Оставить комментарий