МОДЕЛИРОВАНИЕ  ЭКОЛОГИЧЕСКИХ  ПРОЦЕССОВ  С  ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ  С  РАЗРЫВНЫМИ  ПРАВЫМИ  ЧАСТЯМИ

Аматов  Михаил  Александрович

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  кафедры  математики  Белгородского  государственного  национального  исследовательского  университета,  РФ,  г.  Белгород.

E-mail:  amatovma @yandex .ru

Аматова  Галина  Михайловна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  кафедры  педагогики  и  методики  начального  образования  Белгородского  государственного  национального  исследовательского  университета,  РФ,  г.  Белгород.

E-mail: 

ENVIRONMENTAL  PROCESS  MODELING  BY  MEANS  OF  DIFFERENTIAL  EQUATIONS  WITH  DISCONTINUOUS  RIGHT-HAND  SIDES

Mikhail  Amatov

candidate  of  physical  and  mathematical  sciences,  docent,  department  of  mathemaca,

Belgorod  State  National  Research  University,  Russia,  Belgorod

Galina  Amatova

candidate  of  physical  and  mathematical  sciences,  docent,  department  of  pedagogic  and  methods  of  elementary  education,  Belgorod  State  National  Research  University,  Russia,  Belgorod

АННОТАЦИЯ

В  работе  моделируется  процесс  взаимодействия  биологических  популяций,  связанных  отношениями  продуцент-консумент-хищник  с  внутривидовой  конкуренцией  продуцентов.  В  предлагаемой  модели  используются  дифференциальные  уравнения  с  разрывными  правыми  частями,  специальная  методика  их  «склеивания»  и  авторская  программа  интегрирования.  Полученная  модель  позволяет  установить  зависимость  численностей  популяций  указанного  типа  от  параметров  системы.

Abstract

The  paper  presents  an  interaction  model  for  biological  populations  of  ‘producer-consumer-predator’  type  with  intraspecific  competition  between  producers.  Presented  model  makes  use  of  differential  equations  with  discontinuous  right-hand  sides  with  a  special  ‘adhesion’  technique  and  the  authors’  integration  program.  The  model  allows  to  establish  a  dependency  of  the  populations’  size  on  system  parameters.

Ключевые  слова:   популяционные  волны;  продуцент-консумент-хищник;  предельные  циклы;  скользящие  режимы.

Keywords:  population  waves,  producer-consumer-predator,  limit  cycles,  slide  mode.

Одним  из  основных  направлений  развития  классической  экологии  является  исследование  процессов  взаимодействия  биологических  популяций  разных  видов.  Первые  успехи  в  математическом  моделировании  этих  процессов  относятся  к  первой  половине  XX  века.  С  тех  пор  и  до  настоящего  времени  это  направление  активно  развивается.  Для  математического  описания  динамики  численностей  различных  популяций,  чаще  всего,  используются  обыкновенные  дифференциальные  уравнения  или  дифференциальные  уравнения  в  частных  производных.  Авторы  данной  статьи  в  течение  ряда  лет  занимаются  разработкой  моделей  взаимодействия  трех  популяций,  используя  дифференциальные  уравнения  с  разрывными  правыми  частями. 

Так,  в  работах  [1;  2;  3]  определены,  строго  математически  доказаны  и  биологически  обоснованы  условия  возникновения  устойчивых  колебаний  численностей  трех  популяций,  связанных  трофическими  отношениями.  Найденные  описанным  образом  предельные  циклы  мало  отличаются  от  эллипса,  колебания  численностей,  как  правило,  носят  почти  гармонический  характер,  а  амплитуды  их  не  содержат  резких  скачков.

Однако  не  любые  три  популяции,  связанные  трофическими  отношениями,  попадают  под  ранее  исследованные  случаи,  поскольку  амплитуда  колебаний  численностей  некоторых  популяций  в  определенные  моменты  времени  может  возрастать  или  убывать  скачкообразно.  В  природе  ярким  таким  примером  являются  нашествия  саранчи  Locusta  migratoria  или  миграция  огромных  скоплений  леммингов  Lemmini.  «Регулярные  циклы  численности,  такие  как  у  рыси  и  зайца  или  леммингов,  представляются  парадоксальными  и  загадочными»,  —  замечает  Ю.  Одум  [7,  с.  49].

Далее,  проанализируем  причины,  приводящие,  по  нашему  мнению,  к  резким  скачкам  численности  саранчи.  Саранча  живет  в  пустынях  и  полуаридных  зонах,  где  между  различными  видами  растительности  ведется  жесточайшая  конкурентная  борьба  за  каждый  клочок  плодородной  земли  у  редких  водоемов.  Естественными  врагами  саранчи,  являются  «некоторые  птицы  и  млекопитающие:  розовые  скворцы,  аисты,  чайки,  грачи,  вороны  с  ожесточением  преследуют  саранчу,  а  галки,  жаворонки,  кроме  того,  уничтожают  еще  яички,  выкапывая  кубышки  из  земли»  [6].

Иначе  говоря,  растительная  пища  саранчи  является  в  экологической  системе  продуцентом,  подверженным  внутривидовой  конкуренции,  а  сама  саранча  —  консументом,  поедаемым  хищниками.  Аналогичную  зависимость  можно  установить  для  леммингов  и  целого  ряда  других  биологических  популяций.

В  данной  статье  рассмотрим  моделирование  взаимодействия  биологических  популяций  в  системе  «продуцент-консумен-хищник»  при  внутривидовой  конкуренции  продуцента.

Система  дифференциальных  уравнений,  описывающая  динамику  численностей  таких  популяций,  представлена  в  монографии  А.Д.  Базыкина  [5]  и  имеет  вид:

                      (1)

Однако  вопрос  о  существовании  в  ней  предельных  циклов  и  других,  устойчивых  с  биологической  точки  зрения  колебательных  режимов  остался  открытым. 

Используя  методику,  описанную  авторами  в  работах  [1;  2;  3],  заменим  систему  (1)  кусочно-непрерывной  системой  дифференциальных  уравнений,  имеющей  разрыв  на  плоскости  ,  которая  в  области    задается  уравнениями  (2),  а  в  области    уравнениями  (3).

  (2), 

  (3).

В  работе  [2]  (для  случая  )  показано,  что  при    на  плоскости    существует  непустая  полоса  скользящих  движений:  .  А  поскольку  член    первого  уравнения  системы,  отвечающий  за  конкуренцию  продуцентов,  не  входит  в  последние  уравнения  системы  (2—3),  то    является  областью  скользящих  движений  и  для  нее.

Если  в  системе  (2—3)  положить  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  то  в  ней  возникает  предельный  цикл,  начинающийся  в  точке    и  изображенный  на  рисунке  1.

Рисунок.  1.  Предельный  цикл  системы  (2—3),  область  скользящих  движений  затемнена

Для  доказательства  существования  значений  параметров  системы  (2—3),  при  которых  в  ней  имеют  место  устойчивые  в  биологическом  смысле  колебания,  использовались  программы  для  построения  траекторий  кусочно-непрерывных  систем  дифференциальных  уравнений,  описанные  нами  в  работе  [4].

Анализируя  поведение  траекторий  по  рис.  1,  легко  заметить,  что  промежутки  колебаний  с  малыми  амплитудами  сменяются  промежутками  с  резко  возрастающими  амплитудами.  Рассмотрим  по  рис.  2,  как  происходят  колебания  численности  консумента.

Рисунок  2.  Колебания  численности  консумента

На  изображении  отчетливо  видно,  как  промежутки  (α;  β)  с  малыми  колебаниями  амплитуды  сменяются  резкими  ее  скачками  на  участках  (β;  γ).

Здесь  важно  заметить,  что  системы  уравнений  (2—3)  никак  не  учитывают  внешние  факторы:  климат,  солнечную  активность,  случайные  флуктуации  биотических  и  абиотических  условий  среды,  морфологические  изменения  особей  и  многие  другие.  А  значит,  есть  все  основания  утверждать,  что  скачкообразные  изменения  амплитуды  колебаний  консумента  являются  для  рассматриваемой  системы  внутренним  свойством  и  присущи  ей  изначально.

А  вот  как  пишет  об  этом  Ю.  Одум:  «Если  будет  доказано,  что  случайные  и  иные  климатические  факторы  не  являются  основной  причиной  резких  колебаний  численности,  то  вполне  естественно  искать  причины  этих  колебаний  в  самих  популяциях  («внутренние  факторы»).  Имеются  некоторые  данные,  свидетельствующие  о  том,  что,  по-видимому,  существуют  какие-то  механизмы,  которые  могут  действовать  сопряжено  с  изменениями  погоды  или  других  физических  факторов»  [7,  с.  50]. 

Предлагаемая  нами  модель  позволяет  обосновать  предположения  Ю.  Одума  о  том,  что  в  случае  наложения  на  внутренние  скачки  амплитуды  колебаний  численностей  популяций  каких-либо  из  указанных  или  иных  внешних  факторов  происходит  резкий  взрывообразный  рост  популяции  консумента.

Проведенное  исследование  позволяет  сделать  ряд  выводов.

1.  Необходимым  условием  установления  устойчивых  режимов  в  рассматриваемых  экосистемах  является  зависимость  коэффициентов  уравнений  от  фазовых  переменных,  то  есть  от  численностей  этих  популяций. 

2.  Резкие  скачки  численностей  являются  свойством,  внутренне  присущим  всем  экосистемам,  в  которых  численность  продуцента  по  каким-либо  причинам  (в  частности  из  за  внутривидовой  конкуренции)  остается  на  низком  уровне.

3.  Такие  факторы  как  морфологические  изменения,  климатические  условия,  солнечная  активность  и  т.п.  могут  только  усиливать  эффект  резкого  возрастания  численности  таких  популяций.

Список  литературы:

1.Аматова  Г.М.  Исследование  модели  взаимодействия  трех  популяций,  связанных  трофическими  отношениями  /  Г.М.  Аматова,  М.A.  Аматов,  И.С.  Кузнецова,  С.А.  Кунгурцев,  Н.А.  Чеканов  //  Экологические  системы  и  приборы.  —  2009.  —  №  7.  —  С.  31—40.

2.Аматова  Г.М.  Исследование  модели  взаимодействия  трех  популяций,  связанных  трофическими  отношениями  /  Г.М.  Аматова,  М.A.  Аматов,  С.А.  Кунгурцев  //  Экологические  системы  и  приборы.  —  2011.  —  №  12.  —  С.  41—54.

3.Аматов  М.А  Исследование  математической  модели  динамики  численностей  трех  взаимодействующих  популяций  /  М.A.  Аматов,  Г.М.  Аматова,  И.С.  Кузнецова  //  Вопросы  современной  науки  и  практики.  Университет  им.  В.И.  Вернадского.  Тамбов,  2009.  —  С.  65—77.

4.Аматов  М.А.  Применение  математического  пакета  MAPLE  к  интегрированию  систем  дифференциальных  уравнений  с  кусочно-непрерывными  правыми  частями  /  М.A.  Аматов,  Г.М.  Аматова,  О.А.  Ишкова,  И.С.  Кузнецова,  Н.А.  Чеканов  //  Вестник  Херсонского  национального  технического  университета.  —  2009.  —  №  2(35).  —  С.  19—24.

5.Базыкин  А.Д.  Нелинейная  динамика  взаимодействующих  популяций.  Москва-Ижевск:  РХД,  2003.  —  367  с.

6. Ингеницкий  И.  Саранча.  Энциклопедия  Брокгауза  и  Эфрона  [Электронный  ресурс]  /  И.  Ингеницкий.  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://libbabr.com/?book=4571  (дата  обращения:  04.01.2015). 

7.Одум  Ю.  Экология  в  2-х  т.  Т.  2  /  Ю.  Одум.  М.:  Мир,  1986.  —  376  с.