ЗАДАЧА  ОПРЕДЕЛЕНИЯ  ЧАСТОТ  СВОБОДНЫХ  КОЛЕБАНИЙ  РОТОРА  С  ГИРОСКОПИЧЕСКИМ  ГАСИТЕЛЕМ

Сафина  Гульнара  Фриловна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  Нефтекамского  филиала  БашГУ,  РФ,  г.  Нефтекамск

Е-mail: 

PROBLEM  OF  DETERMINATION  OF  FREQUENCIES  OF  FREE  FLUCTUATIONS  OF  THE  ROTOR  WITH  THE  GYROSCOPIC  QUENCHER

Gulnara  Safina

candidate  of  physical.-a  mat.  sciences,  associate  professor  of  Neftekamsk  branch of  BashGU,  Russia,  Neftekamsk

АННОТАЦИЯ

В  работе  исследована  прямая  задача  определения  частот  свободных  колебаний  ротора  с  гироскопическим  гасителем.  Получено  частотное  уравнение  свободных  колебаний  ротора  с  гасителем.  Показан  пример  определения  частот  четырех  нормальных  форм  колебаний  ротора.

ABSTRACT

In  work  the  direct  problem  of  determination  of  frequencies  of  free  fluctuations  of  a  rotor  with  a  gyroscopic  quencher  is  investigated.  The  frequency  equation  of  free  fluctuations  of  a  rotor  with  a  quencher  is  received.  The  example  of  determination  of  frequencies  of  four  normal  forms  of  fluctuations  of  a  rotor  is  shown.

Ключевые  слова:  прямая  задача;  ротор  с  гироскопическим  гасителем;  частоты  свободных  колебаний;  частотное  уравнение.

Keywords:   direct  task;  a  rotor  with  a  gyroscopic  quencher;  frequencies  of  free  fluctuations;  frequency  equation.

Рассмотренная  задача  определения  частот  свободных  колебаний  ротора  с  гироскопическим  гасителем  относится  к  исследованиям  спектральных  задач  свободных  колебаний  механических  систем  и  их  составляющих.  Подобные  исследования  с  валами  с  дисками,  валами  на  опорах,  жестким  ротором  на  податливых  подшипниках,  лопатками  турбины  с  бандажом  проведены,  например,  в  работах  [2]—[4].  В  данной  же  работе  рассматриваются  свободные  колебания  ротора  с  гироскопическим  виброгасителем. 

Известно,  что  колебания  могут  непосредственно  угрожать  прочности  механической  системы,  постепенно  подготавливая  ее  усталостное  разрушение.  В  таких  случаях  исследования  в  спектральных  задачах  свободных  колебаний  механических  систем  могут  указать  пути  для  уменьшения  вредных  колебаний.

Рассмотрим  свободные  колебания,  возникающие  при  вращении  вала  [1]  с  инструментальной  оправкой  и  гироскопическим  виброгасителем  (рисунок  1).  Действие  виброгасителя  основано  на  гироскопическом  эффекте,  возникающем  при  перемещении  оси  вращения    вала  оправки  1  вследствие  ее  свободных  или  вынужденных  колебаний  в  положение  .

За  обобщенные  координаты  примем  координаты  точки      и  угловые  координаты  —  углы  Эйлера-Крылова:    —  угол  между  осью  вала    и  проекцией  на  плоскость  ;    —  угол  между  осью  вала    и  проекцией  на  плоскость  . 

Уравнения  колебательного  процесса  такой  механической  системы  получим  энергетическим  методом  с  помощью  уравнений  Лагранжа,  которые  примут  вид: 

Рисунок  1.  Схема  упругого  подвеса  оправки  с  виброгасителем;  1  —  вал  оправки  (ротор),  2  —  маховик  с  приводом

Здесь    и    —  функции  кинетической  и  потенциальной  энергии  ротора.  Абсолютную  угловую  скорость  ротора  и  ее  проекции  на  оси    представим  в  виде: 

где:      —  углы  Эйлера-Крылова,  характеризующие  повороты  ротора  соответственно  вокруг    и  ,  связанные  с  вращающимся  ротором.

На  основании  теоремы  Кенинга  и  с  учетом  (2)  функции  кинетической  и  потенциальной  энергии  ротора  примут  вид:

В  последних  равенствах  (3):    —  масса  и  главные  центральные  моменты  инерции  ротора;    и    —  коэффициенты  жесткости  упругих  опор    и    ротора;    —  расстояние  между  опорами    и  ,    —  расстояние  от  центра  масс    до  опоры  ,    —  расстояние  от  центра  масс    до  опоры  ;    —  угловая  скорость  собственного  вращения  ротора  вокруг  оси  .

Подставляя  выражения  функций  кинетической  и  потенциальной  энергии  ротора  и  их  производных  в  систему  уравнений  (1)  получим  следующую  систему  дифференциальных  уравнений:

Уравнения  системы  (4)  полностью  описывают  свободные  колебания  ротора  с  гироскопическим  виброгасителем. 

Учтем  теперь,  что  ротор  с  виброгасителем  совершает  свободные  гармонические  колебания  и  примем  решения  системы  (4)  в  виде:

,  ,

,  ,

где:    —  частота, 

,,,  —  амплитуды  свободных  колебаний  ротора.  Подставляя  решения  и  их  производные  в  систему  уравнений  (4)  получим  следующую  систему  алгебраических  уравнений  относительно  амплитуд: 

Система  уравнений  (5)  будет  иметь  ненулевое  решение  относительно  ,,,  в  случае  нулевого  определителя  этой  системы.  Приравнивая  определитель  системы  (5)  к  нулю,  получим  частотное  уравнение:

в  котором  коэффициенты    выражаются  через  физические  параметры  системы:

;

Из  частотного  уравнения  (6)  при  известных  физических  параметрах  ротора  с  виброгасителем  можно  определить  частоты  четырех  нормальных  форм  колебаний  ротора.

Решение  прямой  задачи  рассмотрим  на  примере.  Определим  собственные  частоты  колебаний  ротора  виброгасителем,  для  которого  известны  следующие  физические  параметры  [1]: 

Частотное  уравнение  (7)  после  подстановки  в  него  заданных  физических  параметров  принимает  вид:

Решение  последнего  уравнения,  найденное  с  помощью  ЭВМ,  следующее:

Следовательно,  частоты  колебаний  ротора:

Список  литературы:

1.Лапин  А.Д.  Резонансный  поглотитель  изгибных  волн  в  стержнях  и  пластинах  //  Акустический  журнал.  —  2002.  —  №  2.  —  C.  277—280. 

2.Сафина  Г.Ф.,  Иванова  Е.А.  Диагностирование  жесткостей  опор  ротора  по  частотам  его  свободных  колебаний.  //  Физическое  образование  в  вузах.  —  Т.  20.  —  №  1С.  —  2014.  —  С.  33. 

3.Сафина  Г.Ф.  Акустическое  диагностирование  характеристик  лопаток  турбины,  связанных  бандажом  //  Контроль.  Диагностика  —  2014.  —  №  7.  —  С.  64—72.

4.Сафина  Г.Ф.  Акустическое  диагностирование  механических  систем.  Ч.  1.  Уфа:  РИЦ  БашГУ,  2013.  —  109  с.

5.Сафина  Г.Ф.  Акустическое  диагностирование  механических  систем:  монография.  В  2  ч.  Ч.  2  Уфа:  РИЦ  БашГУ,  2014.  —  110  с.