РЕШЕНИЕ  ЗАДАЧИ  ОСЕСИММЕТРИЧНОГО  ИЗГИБА  КРУГЛЫХ  ТРЕХСЛОЙНЫХ  ПЛАСТИН  C   НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИМ  ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

Кудин  Алексей  Владимирович

преподаватель  Экономико-юридического  колледжа  Запорожского  национального  университета,  Украина,  г.  Запорожье

E-mail: 

SOLUTION  FOR  AXISYMMETRIC  BENDING  OF  CIRCULAR  SANDWICH  PLATES  WITH  NONLINEAR-ELASTIC  CORE

Alexey  Kudin

teacher  of  Economics  and  Law  College  of  Zaporizhzhya  National  University ,  Ukraine  Zaporizhzhya

АННОТАЦИЯ

Предложены  уравнения  изгиба  трехслойных  круглых  пластин  симметричного  строения  с  изотропными  наружными  слоями  и  нелинейно-упругим  заполнителем.  Получено  аналитическое  решение  задачи  осесимметричного  поперечного  изгиба  трехслойной  круглой  пластины  в  линейной  и  нелинейной  постановке.  В  качестве  примера,  рассмотрена  задача  осесимметричного  поперечного  изгиба  трехслойной  круглой  пластинки,  а  также  задача  осесимметричного  поперечного  изгиба  однослойной  пластины  в  линейной  постановке.

ABSTRACT

There  are  proposed  round  three-ply  plate  equations  of  symmetric  structure  with  isotropic  outer  layers  and  nonlinear  elastic  core.  An  analytical  solution  to  the  problem  of  axisymmetric  cross-bending  of  a  round  three-ply  plate  in  a  linear  and  nonlinear  setting  has  been  obtained.  As  an  example  there  are  considered  the  problem  of  axisymmetric  cross-bending  of  a  round  three-ply  plate  and  also  the  problem  of  axisymmetric  cross-bending  of  a  one-ply  plate  in  a  linear  setting. 

Ключевые  слова:  круглая  трехслойная  пластинка;  осесимметричный  изгиб;  уравнение  Бесселя.

Keywords:  round  three-ply  plate;  axisymmetric  bending;  Bessel’s  equation.

Введение .  Трехслойные  элементы  конструкций  широко  применяются  в  авиа  и  судостроении,  космической  промышленности,  гражданском  строительстве,  радиоэлектронике  и  др.  отраслях  промышленности.  Поэтому  актуальной  является  проблема  разработки  эффективных  методов  расчета  напряженно-деформированного  состояния  трехслойных  элементов  конструкций,  а  также  обобщения  классических  теорий  с  применением  уточненных  моделей,  отражающих  поведение  современных  материалов.

В  настоящей  работе  приводится  вариант  уравнений  изгиба  трехслойных  пластин  симметричного  строения  с  изотропными  наружными  слоями  и  нелинейно-упругим  по  [4]  материалом  заполнителя  (аналитическая  модель).  Получено  аналитическое  решение  уравнений  аналитической  модели  путем  сведения  к  уравнению  Бесселя.

На  примере  задачи  осесимметричного  поперечного  изгиба  трехслойной  круглой  пластинки  проводится  сравнение  аналитической  модели  с  известными  работами  [2,  7,  8].  В  качестве  частного  случая  решена  задача  осесимметричного  поперечного  изгиба  однослойной  пластины  в  линейной  постановке;  результаты  сравниваются  с  [10].

Напряженное  состояние  пластинки .  Рассмотрим  круглую  трехслойную  пластинку,  которая  подвергается  воздействию  произвольной  поперечной  нагрузки  .  Внешние  слои  пластинки  толщинами    и    изготовлены  из  изотропных  материалов,  подчиняющихся  закону  Гука,  средний  слой  пластины  толщиной    выполнен  из  нелинейно-упругого  изотропного  материала.

Для  внешних  слоев,  вследствие  их  малой  толщины,  принимается  гипотеза  Кирхгофа-Лява.  Напряженное  состояние  в  этих  слоях  определяется  законом  Гука  [1]

,  ,  ,

,  ,  ,  (1)

где:  ,  ,    —  модуль  упругости,  модуль  сдвига  и  коэффициент  Пуассона  соответственно  материала  слоя  .  Индекс  (*)  в  (1)  относится  к  механическим  характеристикам  материала  слоя  .

Напряженное  состояние  в  среднем  слое  определяется  выражениями  [4]

,

,

,  ,  .  (2)

В  (2)  обозначено:  ,  ,  —  модули  сдвига  и  объемной  деформации  материала;  ,    —  среднее  относительное  удлинение  и  интенсивность  деформаций. 

,  ,

,  .

Параметр    характеризует  изменение  формы  элемента  конструкции  в  нелинейно-упругой  стадии  его  деформирования,  определяется  экспериментально  согласно  [4];  параметр    характеризует  изменение  объема  элемента.

Перемещения  и  деформации  пластинки.  Деформированное  состояние  пластинки  определяется  радиальными  перемещениями  ,  угловыми  перемещениями    точек  срединных  плоскостей  внешних  слоев  ()  и  прогибом  .

Исходя  из  принятых  гипотез,  перемещения  запишутся  аналогично  [9].

  (3)

В  (3)  согласно  [9]  обозначено:

,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,  ,

,  .

Функции  ,    задают  законы  изменения  тангенциальных  напряжений    и    по  толщине  среднего  слоя. 

Относительные  деформации  представим  в  виде  [4].

Для  слоя  :

,  ,  ;

для  слоя  :

,  ,  ;

для  слоя  :

,  ,  ,

,  .

Для  получения  дифференциальных  уравнений  равновесия  используется  вариационный  принцип  Лагранжа  аналогично  [11].

Уравнения  равновесия  для  осесимметричного  изгиба.  Рассмотрим  далее  задачу  осесимметричного  поперечного  изгиба  круглой  трехслойной  пластины.  Пусть  поперечная  нагрузка    равномерно  распределена  симметрично  относительно  оси,  проходящей  через  центр  пластины.  Внешние  слои  имеют  равную  толщину  . 

Принимая  во  внимание  симметрию  деформированного  состояния  пластины  и  отсутствие  угловых  перемещений  в  данной  постановке  задачи  (,  ),  нелинейные  дифференциальные  уравнения  равновесия  примут  вид

,

.  (4)

Нелинейные  члены  уравнений  (4)  ,  и  коэффициенты  приведены  в  [6],  здесь  не  приводятся  ввиду  их  громоздкости.

Граничные  условия  для  свободного  опирания  имеют  вид  [8]

,  ,    при  .  (5)

Граничные  условия  при  защемлении  на  контуре  имеют  вид  [8]

,  ,    при  .  (6)

Полученные  уравнения  (4)  и  граничные  условия  (5),  (6)  будем  далее  называть  аналитической  моделью.

Одним  из  подходов  к  решению  системы  нелинейных  уравнений  (4)  является  метод  разложения  по  малому  параметру  [4],  который  позволяет  рассматривать  нелинейные  задачи  как  последовательность  уточняющих  друг  друга  решений  систем  линейных  уравнений.  Выделим  из  нелинейных  слагаемых  системы  малый  физический  параметр  ,  связанный  с  механическими  характеристиками  нелинейно-упругого  среднего  слоя  соотношением 

,

перемещения  представим  в  виде  рядов  (7)

;  .  (7)

Подставляя  (7)  в  (4)  и  группируя  коэффициенты  по  степеням  параметра  ,  получаем  системы  уравнений  нулевого  и  последующих  приближений  разложения  искомых  перемещений  по  малому  параметру.

Система  уравнений  нулевого  приближения  (линейно-упругая  постановка  задачи)  имеет  вид

,

  (8)

.

Первое  и  последующие  приближения  запишем  в  компактной  форме,  аналогично  [6]

,

  (9)

.

Здесь  через    и    обозначены  нелинейные  части  уравнений.

Решение  систем  дифференциальных  уравнений .  Учитывая  соотношения  между  коэффициентами  уравнений  (8)  [6],  уравнения  (8)  можно  переписать  следующим  образом:

,

+

.  (10)

Введем  следующие  операторы  произвольной  функции  :

,

,

,

.  (11)

Используя  операторы  (11),  уравнения  (10)  запишутся  следующим  образом

,

.

Проинтегрируем  второе  уравнение.  Система  примет  вид

,

.  (12)

Домножим  первое  уравнение  системы  (12)  на    и  прибавим  к  второму.  Второе  уравнение  примет  вид

.

Проинтегрируем  дважды  последнее  уравнение:

.

Или

.  (13)

Здесь

,  ,

.

Выразим  из  уравнения  (13)  функцию    и  подставим  в  первое  уравнение  системы  (12):

.

Откуда  следует  уравнение

  ,

которое  можно  сократить  на    

.

Из  этого  уравнения  следует  неоднородное  модифицированное  уравнение  Бесселя

,  (14)

где

,

.

Решение  уравнения  (14)  можно  представить  в  виде  суммы  общего  решения  соответствующего  однородного  уравнения    и  частного  решения    неоднородного  уравнения

.

Решение  однородного  уравнения 

Известно  [2]: 

.  (15)

Здесь    —  модифицированная  —  функция  Бесселя  первого  порядка,    —  функция  Макдональда  первого  порядка.

Как  известно  из  теории  линейных  дифференциальных  уравнений  второго  порядка,  частное  решение  уравнения  можно  получить,  используя  два  линейно  независимых  решения  соответствующего  однородного  уравнения  [2,  3].

,  (16)

где    —  определитель  Вронского,  который  равен  [5]

.

Таким  образом,  частное  решение  (16)  в  рассматриваемом  случае  принимает  вид

.  (17)

Суммируя  (15)  и  (17),  получаем  искомое  решение  для  перемещения  .  В  результате  имеем  следующее  решение  задачи  об  осесимметричном  изгибе  трехслойной  круглой  пластины.

,

.  (18)

Для  решения  системы  (9)  также  возможно  применить  описанный  выше  подход.  Разница  в  случае  нахождения  первого  и  последующих  приближений  лишь  в  том,  что  функции    и    будут  изменяться  в  зависимости  от  вида  правой  части  уравнений  системы  (9).

Осесимметричный  изгиб  круглых  однослойных  пластин .  В  качестве  частного  случая  рассмотрим  вначале  поперечный  изгиб  круглой  однослойной  пластины  со  следующими  параметрами:  толщина  пластинки    м,    м;  модуль  сдвига  и  коэффициент  Пуассона  материала  –    МПа  и    соответственно.

Сопоставим  значения  прогибов,  полученные  с  помощью  описанной  выше  схемы  решения  системы  дифференциальных  уравнений  (8)  с  решением  Тимошенко  [10]  для  равномерно  нагруженной  круглой  пластинки.

В  табл.  1  приводятся  результаты  такого  сопоставления.  Через    обозначен  максимальный  прогиб  в  центре  пластины;    —  величина  равномерно  распределенной  поперечной  нагрузки.  Типы  моделей  используемых  при  расчетах,  обозначены  в  табл.  1  следующим  образом:  1  —  аналитическая  модель,  2  —  модель  Тимошенко  круглой  однослойной  пластины  [10]. 

Таблица  1.

Осесимметричный  изгиб  круглой  однослойной  пластинки

Из  сопоставления  значений  прогибов  в  табл.  1,  можно  сделать  вывод  о  соответствии  построенной  модели  решению  Тимошенко  [10].  Прогибы,  полученные  по  аналитической  модели,  с  точностью  до  шестого  знака  после  запятой  совпадают  с  прогибами  модели  Тимошенко,  что  позволяет  сделать  вывод  об  адекватности  построенной  модели  решению  Тимошенко  и  возможности  ее  применения  для  дальнейшего  исследования  прогибов  слоистых  пластин.

Осесимметричный  изгиб  круглых  трехслойных  пластин  с  нелинейно-упругим  средним  слоем .  Рассмотрим  поперечный  изгиб  круглой  трехслойной  пластины  со  следующими  параметрами:  толщина  среднего  слоя    м,  толщина  внешних  слоев    м,  радиус  пластинки    м;  модуль  сдвига  и  коэффициент  Пуассона  внешних  слоев  –    МПа  и    соответственно,  модуль  сдвига  и  модуль  объемной  деформации  заполнителя  —    МПа,    МПа,  коэффициент  .  Тангенциальные  напряжения    и    изменяются  линейно  по  толщине  среднего  слоя. 

Решение  систем  уравнений  (8)  и  (9)  будем  проводить  по  рассмотренной  выше  схеме,  путем  сведения  к  уравнению  Бесселя.  При  решении  систем  (9)  учитываются  первое  и  второе  приближение  в  разложении  (7). 

В  табл.  2  приводятся  значения  максимального  прогиба  в  центре  пластины  в  нелинейной  постановке  при  различных  граничных  условиях. 

Таблица  2.

Осесимметричный  изгиб  круглой  трехслойной  пластинки  с  нелинейно-упругим  средним  слоем

Сопоставление  значений  поперечного  изгиба  круглых  трехслойных  пластин.  В  табл.  3  приводятся  значения  максимального  прогиба  в  центре  пластины  в  линейной  постановке  ()  при  различных  граничных  условиях.  Параметры  круглой  трехслойной  пластинки  аналогичны  предыдущему  случаю.  Значения  максимального  прогиба  в  центре  пластинки  полученные  из  работ  [2,  7,  8]  сопоставляются  со  значениями  прогибов  полученными  из  решения  уравнений  (8).  Модели,  используемые  при  расчетах,  обозначены  в  табл.  3  следующим  образом:  1  —  аналитическая  модель;  2  —  модель  И.А.  Михайлова  [7],  3  —  модель  А.П.  Прусакова  [8],  4  —  модель  А.Г.  Горшкова  и  др.  [2].

Таблица  3.

Сопоставление  значений  поперечного  изгиба  круглых  трехслойных  пластин

Выводы .  В  статье  предложен  вариант  дифференциальных  уравнений  равновесия  трехслойных  пластин  симметричного  строения  с  изотропными  наружными  слоями  и  нелинейно-упругим  по  [4]  материалом  заполнителя.  Изложена  методика  построения  аналитического  решения.  Отметим,  что  похожая  методика  сведения  системы  дифференциальных  уравнений  равновесия  к  уравнению  Бесселя  использовалась  также  в  работах  [2,  8]. 

В  качестве  примера  рассмотрена  задача  осесимметричного  поперечного  изгиба  однослойной  круглой  пластинки  в  линейной  постановке.  Также  рассмотрена  задача  осесимметричного  поперечного  изгиба  трехслойной  круглой  пластинки  в  линейно-упругой  и  нелинейной  постановке. 

Отметим,  что  приведенные  в  табл.  3  модели  используют  различные  упрощающие  гипотезы,  чем  обусловливается  разница  полученных  значений  прогибов.  Так,  в  модели  А.Г.  Горшкова  [2]  и  И.А.  Михайлова  [7]  для  внешних  слоев  принимается  гипотеза  Кирхгофа-Лява,  для  заполнителя  же  принимаются  различные  гипотезы  о  распределении  тангенциальных  перемещений  по  толщине  пластины.  Существенные  отклонения  результатов  расчетов  по  уравнениям  модели  А.П.  Прусакова  [8]  объясняются  тем,  что  здесь  заполнитель  считается  легким,  в  отличие  от  других  вышеупомянутых  моделей. 

Сравнение  полученных  значений  прогибов  на  основе  аналитической  модели  с  работами  [2,  7,  8,  10]  свидетельствует  об  адекватности  построенной  модели  и  возможности  решения  на  ее  основе  более  широкого  класса  задач  статики  и  динамики  трехслойных  пластин. 

Результаты  табл.  2  иллюстрируют  влияние  учета  нелинейной  упругости  материала  заполнителя  на  деформированное  состояние  трехслойной  пластинки.

На  основе  аналитической  модели  могут  быть  получены  компактные  расчетные  формулы  для  применения  в  инженерной  практике. 

Перспективы  дальнейшего  исследования  связаны  с  рассмотрением  задач  нелинейной  устойчивости  и  динамики  трехслойных  элементов  конструкций.

Список  литературы:

1.Амбарцумян  С.А.  Теория  анизотропных  пластин:  Прочность,  устойчивость  и  колебания.  2-е  изд.,  перераб.  и  доп.  М.:  Наука,  1987.  —  360  с.

2.Горшков  А.Г.,  Старовойтов  Э.И.,  Яровая  А.В.  Механика  слоистых  вязкоупругопластических  элементов  конструкций.  М.:  ФИЗМАТЛИТ,  2005.  —  576  с.

3.Зайцев  В.Ф.,  Полянин  А.Д.  Справочник  по  обыкновенным  дифференциальным  уравнениям,  М.:  ФИЗМАТЛИТ,  2001.

4.Каудерер  Г.  Нелинейная  механика/  Пер.  с  нем.  М.:  Изд–во  иностр.  лит.,  1961.  —  777  с.

5.Коренев  Б.Г.  Введение  в  теорию  бесселевых  функций.  М.:  Наука,  1971.  —  288  с.

6.Кудин  А.В.  Применение  метода  малого  параметра  при  моделировании  изгиба  симметричных  трехслойных  пластин  с  нелинейно-упругим  заполнителем  /  А.В.  Кудин,  Ю.Н.  Тамуров  //  Вісник  Східноукраїнського  національного  університету  імені  Володимира  Даля.  —  2011.  —  №  11(165).  —  С.  32—40.

7.Михайлов  И.П.  Некоторые  задачи  осесимметричного  изгиба  круглых  трехслойных  пластин  с  жестким  заполнителем  //  Труды  Ленинградского  кораблестроительного  института,  —  Вып.  66,  —  1969.—  С.  125—131.

8.Прусаков  А.П.  Некоторые  задачи  изгиба  круглых  трехслойных  пластин  с  легким  заполнителем  //  Тр.  конф.  по  теор.  пластин  и  оболочек,  —  №  1,  —  1961.  —  С.  293—297.

9.Тамуров  Ю.Н.  Вариант  обобщённой  теории  трёхслойных  пологих  оболочек  с  учётом  обжатия  физически  нелинейного  заполнителя  //  Прикл.  механика,  —  Т.  26,  —  №  12,  —  1990.  —  С.  39—45.

10.Тимошенко  С.П.,  Войновский-Кригер  С.  Пластинки  и  оболочки.  М.:  Физматгиз,  1964.  —  636  с.

11.Liu  Renhuai  Nonlinear  Bending  of  Circular  Sandwich  Plates  //  Applied  Mathematics  and  Mechanics.  English  Edition,  —  Vol.  2,  —  №  2,  —  1981.  —  pp.  189—208.