ПРИМЕНЕНИЕ  МЕТОДА  КОНЕЧНЫХ  ЭЛЕМЕНТОВ  ПРИ  РЕШЕНИЕ  ПОЛУКОЭРЦИТИВНОЙ  ЗАДАЧИ  НЕЙМАНА

Хабибулина  Татьяна  Васильевна

студент  ПГУ  имени  Ш.-Алейхема,  РФ,  г.  Биробиджан

Е-mail:  habik_tania@mail.ru

Бабинер  Елена  Станиславовна

старший  преподаватель  ПГУ  имени  Ш.-Алейхема,  РФ,  г.  Биробиджан

Е-mail:  mineeva_elena18@mail.ru

APPLICATION  OF  A  FINITE  ELEMENT  METHOD  AT  THE  SOLUTION  OF  THE  SEMI-COERCIVE  TASK  NEUMANN

Habibulina  Tatiana

student  of  Sholom-Aleykhema  Priamursky  state  university  Russia,  Birobidgan

Babiner  Еlena

senior  teacher  of  Sholom-Aleykhema  Priamursky  state  university  Russia,  Birobidgan

АННОТАЦИЯ

В  статье  рассмотрены  краевые  полукоэрцитивные  задачи  Неймана  для  одномерного  и  двумерного  случаев  и  переход  к  их  вариационным  постановкам.  Описываются  алгоритмы  аппроксимации  рассматриваемых  задач  методом  конечных  элементов,  представлены  результаты  численных  расчетов.

ABSTRACT

Semi-coercive  task  Neiman  for  one-dimensional  and  two-dimensional  cases  and  transition  to  their  variation  formulation  are  considered  in  the  article.  Algorithms  of  approximation  tasks  by  finite  element  method  are  describe  there  and  the  numerical  result  are  presented.

Ключевые  слова:  вторая  краевая  задача;  метод  конечных  элементов.

Keywords:  second  boundary  value  problem;  finite  element  method.

Процесс  моделирования  стационарных  процессов  (не  зависящих  от  времени)  различной  физической  природы  (колебания,  теплопроводность,  диффузия  и  др.)  обычно  приводит  к  уравнениям  эллиптического  типа,  на  искомое  решение  которых  накладываются  дополнительные  условия,  вытекающие  из  физической  (или  другой)  постановки  задачи.  Примером  такой  задачи  является  вторая  краевая  задача  или  задача  Неймана,  имеющая  широкий  спектр  физических  интерпретаций.  В  качестве  ее  приложения  в  пространстве    возьмем  процесс  колебания  струны,  а  в    —  колебания  мембраны.

Краевая  постановка  полукоэрцитивной  задачи  Неймана  в  операторном  виде  представлена  уравнением  Пуассона  (1)  и  краевым  условием  (2):

,  на                                         (1)

,                                                 (2)

где  оператор  .  Это  математическая  модель  колебания  струны  со  свободными  концами.

Классическое  решение  задачи  (1),  (2)  —  это  дважды  непрерывно  дифференцируемая  функция  на  .  Если  взять  в  качестве  области  определения  оператора  множество  таких  функций,  то  оператор    не  будет  положительным,  а  это  значит  —  задача  не  имеет  решения  [6,  с.  126].  В  силу  своей  полукоэрцитивности  задача  (1),  (2)  разрешима  при  условии,  что  .  Единственность  обеспечивается  выполнением  требования  к  решению:

.                                                (3)

Область  определения  оператора  задачи  (1),  (2),  усиленная  требованием  (3)  гарантирует  его  положительность,  следовательно,  можно  осуществить  переход  к  задаче  минимизации  функционала:

,

где  скалярное  произведение  определяется  по  формуле:  .

После  интегрирования  по  частям  получаем  окончательный  вид  функционала:

                                           (4)

В  [1,  с.  9]  показана  справедливость  утверждения  о  том,  что  если  функция    минимум  для  функционала  (4),  то  она  является  решением  задачи  (1),  (2).  Обратное  также  имеет  место:  если    решение  задачи  (1),  (2),  то  она  сообщает  минимальное  значение  функционалу  (4).

Вариационная  постановка  этой  задачи  имеет  преимущество,  которое  заключается  в  том,  что  можно  ограничиться  только  требованием  наличия  у  искомой  функции  кусочно  непрерывных  первых  производных.  Функция,  доставляющая  минимум  функционалу  (4)  является  обобщенным  (слабым)  решением  краевой  задачи  (1),  (2)  [4,  с.  171].

Для  численного  решения  задачи  (1),  (2)  методом  конечных  элементов  переходим  от  непрерывной  задачи  к  конечномерной.  Произведем  разбиение    на    частей:  ,  .  Приближенное  решение  будем  искать  в  виде  линейной  комбинации:

                                        (5)

где:    базисные  (пробные)  функции  заданные  на  разбиениях  ,  а  коэффициенты    это  значения  искомой  функции  в  узлах  сетки  .  Вид  базисных  функций  представлен  в  [1,  с.  100].

После  подстановки  (5)  в  функционал  (4),  получаем:

,  ,             (6)

где 

Принимая  во  внимание  необходимое  и  достаточное  условие  для  существования  минимума  выпуклого  функционала,  находим  вариацию  (6),  приравниваем  ее  к  нулю  и  сводим  задачу  к  решению  системы  вида:

.                                            (7)

  трехдиагональная  матрица  жесткости:

Вектор  правых  частей  системы  определяется  по  формулам:

Развернутый  вид  системы  (7)  для    уравнений  [7,  с.  8]:

Решение  системы  находим  методом  прогонки.

В  случае  если  к  концам    приложена  вертикальная  сила,  то  краевые  условия  принимают  вид:

.                                       (8)

Условием  разрешимости  задачи  (1),  (8)  является  [2,  с.  180]:

.

Вид  функционала  в  соответствующей  задаче  минимизации:

Окончательно  получаем:

.              (9)

После  подстановки  в  (9)  линейной  комбинации  (5)  получим:

.

Далее,  приравнивая  вариацию  функционала  к  нулю,

,

получаем  систему  уравнений  [7,  с.  8]:

.                                (10)

При  решении  системы  применяется  методом  прогонки.

Результаты  численных  расчетов.

В  результате  реализации  описанного  алгоритма  для  задачи  Неймана  с  однородными  краевыми  условиями  на    с  правой  частью    получено  приближенное  решение,  график  которого  изображен  на  рисунке  1.

Рисунок  1.  График  решения  задачи  (1),  (2).

Задача  Неймана  на    с  правой  частью    и  краевыми  условиями    имеет  приближенное  решение,  график  которого  имеет  вид:

Рисунок  2.  График  решения  задачи  (1),  (8).

Теперь  рассмотрим  физическую  интерпретацию  задачи  Неймана  для  случая  .  Пусть  на  мембрану  оказывает  действие  внешняя  сила,  плотность  которой  в  каждой  точке  равна    и  ее  направление  перпендикулярно  плоскости  .  В  состоянии  покоя  мембрана  имеет  форму  плоской  области    с  границей  ,  которая  расположена  в  .

Под  действием  этой  силы  мембрана  прогнется  в  виде  поверхности,  уравнение  которой  .  В  положении  равновесия  функция    в  каждой  внутренней  точке    удовлетворяет  уравнению  Пуассона:

,                                                     (11)

где  оператор  .

Рассмотрим  следующие  варианты  граничных  условий,  то  есть  связей,  допускающих  перемещение  мембраны  и  относящиеся  обычно  к  краю  мембраны  [3,  с.  36]:

1.    Кривая    свободно  перемещается  вертикально  по  боковой  поверхности  цилиндра  с  основанием  ,  то  есть  условия  на  границе  имеют  вид:

,                                                   (12)

где    единичный  вектор  внешней  нормали  к  .  Условия  (12)  относятся  к  естественными  краевыми  условиями  [1,  с.  10].

2.    Помимо  внешней  силы,  к  границе  приложена  вертикальная  сила  ,  тогда  получаем  граничные  условия  вида:

.                                          (13)

Классическое  решение  задачи  Неймана  из  пространства  функций    [4,  c.  170].

Аналогично  одномерному  случаю  задачи  Неймана,  в  задаче  с  однородными  краевыми  условиями  (11),  (12)  на  правую  часть  накладывается  условие    и  для  обеспечения  положительной  определенности  оператора    должно  выполняться  условие  для  решения:

.

Положительная  определенность  оператора  позволяет  перейти  от  краевой  задачи  (11),  (12)  к  задаче  минимизации  функционала:

.                          (14)

Функция  ,  реализующая  минимум  функционала  (14)  —  есть  обобщенное  решение  задачи  (11),(12)  [4,  c.  172].  Пространство    это  пространство  функций,  таких,  что

,

где    и    обобщенные  производные  [5,  с.  34].

Слабое  решение  задачи  (11),  (13)  реализует  минимум  функционала:

.        (15)

где  .

Рассмотрим  аппроксимацию  этих  задач  методом  конечных  элементов  на  прямоугольной  области  .  Для  перехода  от  непрерывной  задачи  к  конечномерной  проведем  триангуляцию  области  (рис.  3)  с  шагами    и  ,  а    и    —  количество  разбиений  по  переменным    и    соответственно.

Рисунок  3.  Триангуляция  прямоугольной  области  с  выделенным  носителем    базисной  функции  .

Приближенное  решение    ищем  в  виде  линейной  комбинации:

                                               (16)

где:    —  кусочно-линейные  финитные  функции,  заданные  в  узлах  триангуляции  с  носителями    (рис.  3)  [1,  с.  184].  После  подстановки  (16)  в  (15)  получаем:

,           (17)

где  ,    и  , 

.

Аппроксимация  функционала  (14)  имеет  вид:

.                          (18)

Находим  вариацию  функционала  (17)  и  приравниваем  ее  к  нулю:

.

Получили  систему  линейных  уравнений:

,                                             (19)

где    для  задачи  (11),  (13),  а  для  задачи  (11),  (12)  —  .

Систему  (19)  решаем  методом  Зейделя.

Результаты  численных  расчетов. 

Описанный  алгоритм  был  реализованы  на  квадрате  ,  где  .  В  таблице  1  приведены  результаты  работы  программ,  где    —  количество  итераций,  —  заданная  точность.  Для  нахождения  решений  систем  уравнений  был  использован  метод  Зейделя.

Таблица  1. 

Результаты  расчетов  задачи  Неймана

Рисунок  4.  График  решения  задачи  Неймана  с  однородными  краевыми  условиями

Рисунок  5.  График  решения  задачи  Неймана  с  неоднородными  краевыми  условиями

Список  литературы:

1.Марчук  Г.И.,  Агошков  В.И.  Введение  в  проекционно-сеточные  методы.  М.:  Наука.  Главная  редакция  физико-математической  литературы,  1981.  —  416  с.

2.Марчук  Г.И.  Методы  вычислительной  математики.  М.:  Наука.  Главная  редакция  физико-математической  литературы,  1977,  —  456  с.

3.Масленникова  В.Н.  Дифференциальные  уравнения  в  частных  производных:  Учебник.  М.:  Изд-во  РУДН,  1997.  —  447  с.

4.Михайлов  В.П.  Дифференциальные  уравнения  в  частных  производных.  М.:  Наука,  Главная  редакция  физико-математической  литературы,  1976.  —  392  с.

5.Михлин  С.Г.  Линейные  уравнения  в  частных  производных.  Учеб.пособие  для  вузов.  М.,  «Высш.  школа»,  1977.  —  431  с.

6.Михлин  С.Г.  Вариационные  методы  в  математической  физике.  М.:  Наука.  Главная  редакция  физико-математической  литературы,  1970.  —  512  с.

7.Хабибулина  Т.В,  Бабинер  Е.С.  Генерация  систем  уравнений  при  решении  одномерных  задач  Дирихле  и  Неймана  методом  конечных  элементов.  /  Молодежный  научный  форум:  Естественные  и  медицинские  науки.  Электронный  сборник  статей  по  материалам  IV  студенческой  международной  заочной  научно-практической  конференции.  Москва:  Изд.  «МЦНО».  —  2013.  —  44  с.  —  №  4  (4)  /  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://www.nauchforum.ru/archive/MNF_nature/4(4).pdf