ЗАДАЧА О ПОЛЕ ДАВЛЕНИЯ В ТРЕХСЛОЙНОМ НЕОДНОРОДНОМ АНИЗОТРОПНОМ ПОРИСТОМ ПЛАСТЕ ПРИ ОТБОРЕ ИЛИ ЗАКАЧКЕ

PROBLEM OF PRESSURE FIELD IN THREE-LAYER INHOMOGENEOUS ANISOTROPIC POROUS RESERVOIR WHEN SELECTING OR PUMPING

Alexander Filippov

doctor of Technical Sciences, Professor Sterlitamak branch of Bashkir State University, Head of the Department of General and Theoretical Physics,

Russia, Sterlitamak

Aleksey Kovalskiy

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,

Sterlitamak branch of Bashkir State University, Director,

Russia, Sterlitamak

Marat Gubaydullin

junior Researcher, Sterlitamak branch of Bashkir State University,

Russia, Sterlitamak

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проектов №№ 16-08-00548 А, 16-08-00728 А, 16-38-50055 мол_нр.

АННОТАЦИЯ

На основе развитого асимптотического метода найдены простые аналитические формулы для полей давления при заданном отборе (или расходе при закачке) из неоднородных анизотропных пластов c коэффициентами проницаемости, зависящими от пространственных координат, в нулевом асимптотическом приближении в предположении одномерного радиального течения.

ABSTRACT

On the basis of developed asymptotical method were found the simple analytic folmulae for pressure field in case of set selection (or injection consumption) from inhomogeneous anisotropic formations with permeability coefficients, depending on space coordinates, in the zero asymptotical approximation on the assumption of a one-dimensional radial flow.

Ключевые слова: асимптотический метод; поле давления; неоднородный пласт; переменные коэффициенты.

Keywords: asymptotic method; pressure field; reservoir heterogeneity; variable coefficients.

Детальное представление моделей фильтрации флюида в пористом неоднородном пласте является основной задачей технологии добычи нефти и газа и закачки утилизируемых радиоактивных растворов, поскольку все природные пласты обладают сложным строением [3; 4]. В работе представлена модель пласта, позволяющая учитывать анизотропию и слоистость пластов, а также зависимость коэффициентов проницаемости от координат.

В связи с тем, что в неоднородных пластах нет оснований считать удельный дебит (или расход) q независящим от вертикальной координаты z_d, потребовалось развить оригинальную модификацию асимптотического метода, применение которой позволила построить асимптотическое решение задачи о поле давления при фильтрации флюида в слоисто-неоднородных пластах.

Изучаемая среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела z_d = ±h. Средняя область толщиной 2h (–h < z_d < h) является проницаемой в горизонтальном и вертикальном направлениях. Предполагается, что вертикальная составляющая проницаемости в окружающих породах намного больше горизонтальной, что позволяет пренебречь членом со второй производной по горизонтальной координате r_d в уравнении для окружающей среды. Считается, что свойства подстилающих и покрывающих пород идентичны. В соответствии с этим постановка задачи упрощена использованием условия симметрии ∂P_d/∂z_d (z_d = 0) = 0. Существенное упрощение рассматриваемой задачи без заметных искажений ее основных параметров достигнуто на основе применения, так называемого, квазистационарного приближения, точность которого увеличивается с уменьшением толщины пропластка. Течение полагается радиальным и одномерным по оси r_d.

Математическая постановка задачи включает уравнение пъезопроводности в окружающей породе

                                           (1)

стационарное уравнение в центральном пласте

(2)

и условие симметрии в центре пласта

                                                         (3)

Начальное и граничные условия имеют вид [5]

                                                    (4)

                                        (5)

                   (6)

                   (7)

Математическая постановка гидродинамической задачи (1) – (7) приводится к безразмерному виду с помощью соотношений

, , , , , ,,

где: t – безразмерное время; h – полутолщины пласта, м; Р и P_d – безразмерное и размерное давления, Па; P₀ – характерный перепад давления, Па; Q(z) – симметричная функция отбора из пласта (или расхода при закачке в пласт) (2 Q(h) – суммарный дебит пласта), м³/с; τ – время, с; r, z и r_d, z_d – безразмерные и размерные цилиндрические координаты, м; ε – параметр асимптотического разложения; μ – вязкость, Па·с; χ – пьезопроводность, м²/с. Индексы: d – размерный; 1 – значение параметра в настилающем и подстилающем пластах.

В задаче путем замены  на  в уравнении и граничных условиях введен формальный параметр асимптотического разложения e

(8)

                       (9)

, .                           (10)

Искомые решения задачи представляются в виде асимптотических формул [1; 2; 5–7].

,

.(11)

Подставив (1) в (8) – (10), получим задачу, разбитую по степеням e [5]. Выписывая слагаемые при одинаковых степенях e, получаем постановки задач для соответствующих коэффициентов разложения.

Из постановки для наименьшей степени e следует, что P⁽⁰⁾ не зависит от z, что противоречит условию (9), согласно которому производная от P⁽⁰⁾ по радиальной координате связана с удельным дебитом q(z), который является функцией вертикальной координаты. Это противоречие решается ослаблением условия (9). Авторами предложена процедура ослабления условия (9). Для этого использована задача для остаточного члена , , возникающего после нулевого приближения

.                                  (12)

В развитых ранее модификациях асимптотического метода [1; 5; 7] далее используется процедура интегрального усреднения задачи для остаточного члена, которая в данном случае не приводит к разумным результатам из-за наличия переменных коэффициентов проницаемости.

Здесь развита оригинальная процедура, позволившая обойти указанные трудности. Для этого остаточный член представлен в виде асимптотического ряда по асимптотическому параметру исходной задачи

,

(13)

Необходимое ослабленное условие найдено из требования тривиального решения интегрально осредненной задачи для первого коэффициента разложения остаточного члена . Это условие представлено в виде

,

где: угловые скобки обозначают процедуру интегрального усреднения по переменной z в интервале центральной области.

Решение задачи для нулевого коэффициента с ослабленным условием представляется как:

,

(14)

Из полученного решения следует, что нулевой коэффициент разложения, а, следовательно, асимптотически осредненное по толщине центрального слоя значение давления, не зависит от вертикального распределения проницаемости . В то же время горизонтальная компонента  входит в искомое решение только в виде среднеинтегрального значения .

Из (14) в частном случае при постоянных коэффициентах проницаемости следует известное решение для нулевого коэффициента [5]. Более детальное описание давления в центральном слое коллектора обеспечивает решение задачи для первого коэффициента асимптотического разложения [6].

На основе полученных решений (14) построены графические зависимости при k_z(z_d) = 10^–12 м², k_x(z_d) = 10^–12 м², k_1z(z_d) = 10^–13 м², χ₁ = 0.75 м²/с, μ = 0.015 Па·с, Q = 43 м³/сут. при различных значениях полутолщины пласта. Рис. 1 иллюстрирует вертикальные профили возмущения давления. Сопоставление кривых, приведенных на рисунке, позволяет оценить зависимость полей давления от активной толщины пласта при фиксированных значениях отбора или закачки.

На рис. 2 приведены зависимости возмущения давления от радиальной координаты r (а) и времени t. Из рис. 2, а следует, что при меньшей полутолщине пласта для поддержания заданного дебита или расхода необходим больший перепад давления. Однако при увеличении r, т. е. при удалении от скважины, у такого пласта давление уменьшается более высокими темпами. Из рис. 2, б следует, что в начальные моменты времени происходит значительное нарастание возмущений давления. С увеличением времени достигается стабилизируется возмущений, причем увеличение полутолщины пласта приводит к уменьшению времени стабилизации.

Рисунок 1. Зависимость возмущения давления от вертикальной координаты для различных значений активной толщины h при фиксированных значениях отбора (или закачки) при r = 10 м и t = 1000 с: 1 – h = 5 м, 2 – h = 10 м, 3 – h = 15 м

Рисунок 2. Зависимости возмущения давления от радиальной координаты r при t = 1000 с (а) и времени при r = 10 м (б); сплошные кривые соответствуют центральному слою, пунктирные кривые– окружающим породам. Кривые 1, 3 рассчитаны при h = 5 м, а 2, 4 – при h = 10 м

Итак, на основе развитого асимптотического метода «покоэффициентного осреднения» получено новое решение задачи о поле давления, возникающем в процессе фильтрации флюида в пористом неоднородном анизотропном пласте в нулевом асимптотическом приближении, что служит основой для изучения полей давления при закачке утилизируемых радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты или добыче нефти и газа. Развитый метод создает перспективы для решения ряда практически важных задач математической физики, содержащих уравнения с переменными коэффициентами.

Список литературы:

1. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Филиппов И.М. Квазистационарные поля давления при линейной фильтрации в неоднородном анизотропном пласте в асимптотическом приближении // Механика жидкости и газа, 2012. – № 3. – С. 89–100.
2. Ахметова О.В., Губайдуллин М.Р., Сираев Р.В. Фаттахова Е.Н. Нулевое асимптотическое приближение в задаче о поле давления с переменными коэффициентами // Естественные и математические науки в современном мире: сб. ст. по матер. XLIII междунар. науч.-практ. Конф. Новосибирск: СибАК, 2016. – № 6 (41). – С. 91–99.
3. Дмитриев Н.М., Кадет В.В., Михайлов Н.Н., Семенов А.А. Эффект асимметрии при фильтрации в анизотропных пористых средах // Технологии нефти и газа, 2007. – № 1 (48). – С. 52–55.
4. Дмитриев Н.М., Нуриев А.М. Представление тензора коэффициентов проницаемости для анизотропных трещиноватых коллекторов // Труды Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина, 2015. – № 3. – С. 31–38.
5. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Губайдуллин М.Р. Поле давления при радиальной фильтрации в неоднородном ортотропном пласте в асимптотическом приближении // Инженерно-физический журнал, 2015. – Т. 88. – № 6. – C. 1285–1297.
6. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Ковальский А.А., Губайдуллин М.Р. Первое асимптотическое приближение решения пространственно-симметричной задачи о поле давления с переменными коэффициентами // Наука вчера, сегодня, завтра: сб. ст. по матер XXXVIII междунар. науч.-практ. конф. № 9 (31). – Новосибирск: СибАК, 2016. – С. 100–109.
7. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Филиппов И.М. Фильтрационное поле давления в неоднородном пласте при постоянном отборе // Инженерно-физический журнал, 2012. – № 1. – С. 3–17.