К ВОПРОСУ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ОТНОСИТЕЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА ТУРБУЛЕНТНОЙ ДИФФУЗИИ ПО ГЛУБИНЕ ПОТОКА (НА ОСНОВЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СКОРОСТИ ВОДЫ Ю.А. ИБАД-ЗАДЕ)

TO THE QUESTION OF DISTRIBUTION OF RELATIVE COEFFICIENT OF TURBULENT DIFFUSION ON STREAM DEPTH (ON THE BASIS OF THE ELLIPTIC PROFILE AND DISTRIBUTION OF SPEED OF YU.A IBAD-ZADE)

Konstantin Presnyakov

doctor of Engineering, chief researcher, Institute automatic equipment and information technologies, National academy of Sciences of the Kyrgyz Republic,

Kyrgyzstan, Bishkek

Gulzada Askaliyeva

junior researcher Institute automatic equipment and information technologies, National academy of Sciences of the Kyrgyz Republic,

Kyrgyzstan, Bishkek

АННОТАЦИЯ

Установлена неприменимость при исследовании задачи  профилей скорости воды: эллиптического, распределений скорости Ю.А. Ибад-Заде (три приближения). Тестовыми расчетами выявлен новый факт зависимости максимального значения относительного коэффициента турбулентной диффузии от потерь энергии потока воды в водотоке.

ABSTRACT

Inapplicability at research of a problem of profiles of speed of water is established: elliptic, distributions of speed Yu.A. Ibad-Zade (three approaches). Test calculations have elicited the new fact of dependence of the maximum value of relative coefficient of turbulent diffusion on losses of energy of water flow in a waterway.

Ключевые слова: коэффициент турбулентной диффузии, профили скорости воды.

Keywords: coefficient of turbulent diffusion, water speed profiles.

Постановка задачи исследования. Известно [1], что явление турбулентной диффузии формально сопоставимо с физической диффузией в случае независимости коэффициента турбулентной диффузии от продольной координаты, а также при наличии локальной изотропии турбулентного движения. Кроме того, согласно М.А. Великанову [1, с. 231] («Выражение для коэффициента виртуальной вязкости …, или, что то же самое, с точностью до малой величины…коэффициента переноса ε …») коэффициент переноса (турбулентной диффузии) является основной частью коэффициента виртуальной вязкости. Выражение для относительного коэффициента турбулентной диффузии, с учетом наших обозначений и перехода от абсолютных значений коэффициента турбулентной диффузии к его относительному выражению, имеет вид

                                                       (1)

М.А. Великановым найдены формулы указанного параметра для случаев использования распределения скорости воды Кармана, показательного, логарифмического (гладкая труба, шероховатое дно). Найдены координаты максимума величины ε для рассмотренных профилей скорости и максимум этого коэффициента (профиль Кармана).

Вместе с тем отсутствуют формулы коэффициента турбулентной диффузии для распределений скорости: эллиптического, Доу Го-женя, Ю.А. Ибад-Заде, К. Загустина, Тэйлора-1, Тэйлора-2.

Задача исследования. Найти формулы для относительного коэффициента турбулентной диффузии в случаях применения профилей скорости: эллиптического и Ю.А. Ибад-Заде (три приближения), с проведением тестовых расчетов (профили: параболический, логарифмический, показательный) для контроля правильности выбранной ориентации в указанном вопросе.

Возьмем производные по относительной координате от распределений относительной скорости воды по глубине потока, получим:

парабола –

, (2)

где: ;

эллипс –

,                      (3)

где: ;

логарифмика –

                              (4)

показательный –

 (5)

где:

Ю.А. Ибад-Заде, «0» прибл. –

 (6)

где:

;

Ю.А. Ибад-Заде, «I» прибл. –

                  (7)

где:

;

Ю.А. Ибад-Заде, «II» прибл.–

 (8)

где: ,

.

Расчеты, проведенные с использованием параболического, логарифмического и показательного профилей скорости воды (как здесь, так и в дальнейшем), носят тестовый характер, так как в литературе имеются подобные данные.

Подставим последовательно (2) – (8) в формулу (1) для относительного коэффициента турбулентной диффузии, тогда будем иметь

парабола –

                                         (9)

эллипс –

                               (10)

логарифмика –

                                    (11)

показательный –

                   (12)

Ю.А. Ибад-Заде, «0» прибл. –

                          (13)

Ю.А. Ибад-Заде, «I» прибл. –

   (14)

Ю.А. Ибад-Заде, «II» прибл. –

 (15)

Тестовые расчеты показали постоянство относительного коэффициента турбулентной диффузии (параболический профиль) [2] и, на первый взгляд, различия между нашими и литературными результатами (показательный и логарифмический профили), что, как нетрудно убедиться, являются кажущимися различиями. В этом легко убедиться, если учесть различия в обозначениях (М.А. Великанова и наших), переход от абсолютных значений e к относительной его величине  и некоторые простейшие преобразования.

Кроме того, необходимо исключить из дальнейшего рассмотрения параболический профиль (так как получено, что является грубым приближением) и эллиптическое распределение скорости (так как для относительного коэффициента турбулентной диффузии получена пропорциональная зависимость от , т. е. максимум  прогнозируется на поверхности потока, что не соответствует реальной картине течения).

Найдем значения относительного коэффициента турбулентной диффузии на границах потока

логарифмика –

                                             (16)

показательный профиль –

 (неопр.);;                                     (17)

Ю.А. Ибад-Заде, «0» прибл. –

Исследуем знаменатель выражения (18) на возможные его нулевые значения. Нетрудно показать, что этот знаменатель  в случае равенства его нулю приводит к соотношению

Так как первый член правой части величина существенно положительная, то получаем, что . На самом деле  всегда, поэтому наше предположение является ошибочным, а соответственно обсуждаемый знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, можно смело умножать и делить на этот знаменатель.

Например, для опыта {8;10} ПК р. Тору-Айгыр (м/с;  м/с;  м/с; С=24 м^1/2/с; m₁(C)=11,4 м^1/2/с):

т. е. конечная величина, но не малая.

В результате анализа всех возможных случаев ( – прибл. «I», «II»,  – для всех трех приближений,  – тоже для всех приближений) можно установить что, знаменатели указанных выражений отличны от нуля.

Поэтому в дальнейшем мы на этом вопросе не акцентируем внимание, а принимаем неравенство нулю рассматриваемых величин (оценка произведена для определенности по материалам опыта {8;10} ПК р. Тору-Айгыр).

Ю.А. Ибад-Заде, «I» прибл. –

 (21)

Ю.А. Ибад-Заде, «II» прибл. –

 (23)

Обращает на себя внимание факт, что значения  в случае применения профиля скорости Ю.А. Ибад-Заде получаются конечными, причем достаточно малым из них можно считать случай прибл. «I» (=0,027).

Найдем координаты максимума относительного коэффициента турбулентной диффузии в случаях использования показательного профиля (тестовый расчет) и распределения скорости Ю.А. Ибад-Заде.

Показательный профиль –

,                                                     (26)

что, как следовало ожидать, совпадает с выражением М.А. Великанова в случае показательного профиля скорости [1]. Подставив (26) в формулу для  (12), получим

                             (27)

Ю.А. Ибад-Заде, «0» прибл. –

оно не содержит координаты предполагаемого максимума. Поэтому «0» прибл. распределения скорости Ю.А. Ибад-Заде не рекомендуется рассматривать при исследовании вопроса о .

Ю.А. Ибад-Заде, «I» прибл. –

                         (29)

 Решением этого квадратного уравнения являются два комплексно сопряженных корня, что не соответствует реальной действительности, т.к. есть существенно положительная действительная величина в числовом интервале от 0 до 1. Поэтому «I» прибл. распределения скорости Ю.А. Ибад-Заде также не подлежит к употреблению при исследовании вопроса о .

Ю.А. Ибад-Заде, «II» прибл. –

 (30)

 Решением этого кубического уравнения являются два комплексно сопряженных и один действительный корень, последний из которых при решении уравнения дает значение , что выходит за пределы области определения вертикальной координаты . Поэтому «II» прибл. распределения скорости Ю.А. Ибад-Заде также не рекомендуется рассматривать при исследовании вопроса о .

Распределение относительного коэффициента турбулентной диффузии по глубине потока вычислялось по формулам (11), (12) и представлено на рис. 1.

Заметно, что коэффициент  выше примерно в два раза при сравнении вариантов применения показательного и логарифмического профилей скорости воды. Возможной причиной подобного является использование в расчетах логарифмического профиля скорости воды для гладкого русла.

Рисунок 1. Распределения относительного коэффициента турбулентной диффузии по глубине потока в случаях применения: 1 – логарифмического профиля (гладкое русло) и 2 – показательного распределения скорости воды

В результате тестовых расчетов (помимо утилитарного их назначения) выявлен новый факт пропорциональности максимального значения относительного коэффициента турбулентной диффузии параметру m показательной зависимости (или коэффициенту Шези) и обратной пропорциональности его шероховатости русла (или потерям энергии) (рис. 2).

Рисунок 2. Зависимость максимума относительного коэффициента турбулентной диффузии от параметра m(C)

Заключение. Установлена неприменимость при исследовании задачи  профилей скорости воды: эллиптического (причина – прогнозируемый максимум коэффициента  на поверхности потока), распределений скорости Ю.А. Ибад-Заде («0» прибл., причина – в выражении для определения координаты максимума коэффициента  отсутствует сама координата; «I» прибл., причина – в качестве координаты максимума  получаются два комплексно сопряженных числа; «II» прибл., причина – координата максимума коэффициента является действительной величиной, выходящей за область определения вертикальной координаты). Тестовыми расчетами выявлен новый факт зависимости максимального значения относительного коэффициента турбулентной диффузии от потерь энергии потока воды в водотоке.

Список литературы:

1. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. Т. 1. Структура потока – М.: Госиздат техн. – теор. лит., 1954. – 323 с.
2. Караушев А.В. Проблемы динамики естественных водных потоков. – Л.: ГИМИЗ, 1960. – 392 с.