НУЛЕВОЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ В ЗАДАЧЕ О ПОЛЕ ДАВЛЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

APPLICATION OF ASYMPTOTIC METHODS OF COEFFICIENT WISE AVERAGING IN PROBLEMS WITH VARIABLE COEFFICIENTS

Oksana Ahmetova

candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Sterlitamak branch of Bashkir State University, Researcher,

Russia, Sterlitamak

Marat Gubaidullin

graduate student, Sterlitamak branch of Bashkir State University,

Russia, Sterlitamak

Ravil Siraev

graduate student, Sterlitamak branch of Bashkir State University,

Russia, Sterlitamak

Ekaterina Fattakhova

undergraduate, Sterlitamak branch of Bashkir State University,

Russia, Sterlitamak

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках проекта № 16-08-00548 А.

АННОТАЦИЯ

В этой работе иллюстрируется использование метода покоэффициентного осреднения в задаче с переменными коэффициентами на примере задачи о квазистационарном поле давления неоднородного анизотропного пласта в среде с вертикальными трещинами.

ABSTRACT

This work illustrates the use of the method of coefficientwise averaging an example of the problem of quasi-stationary field of pressure in inhomogeneous anisotropic reservoir in an environment with vertical cracks.

This work illustrates the use of the method of averaging in coefficientwise task with variable coefficients on the example of the task of quasi-stationary field of inhomogeneous anisotropic reservoir pressure in an environment with vertical cracks.

Ключевые слова: асимптотический метод, поле давления, неоднородый пласт, переменные коэффициенты.

Keywords: asymptotic method, pressure field, reservoir heterogeneity, variable coefficients.

Задачи о полях давления при фильтрации жидкости составляют основу теории массопереноса в пористой среде, поскольку они имеют большое практическое значение для добычи углеводородов, гидрогеологии и экологии. Существуют многочисленные аналитические решения задач о поле давления для пористых пластов учитывающие различные неоднородности [3; 4; 6; 10; 11] поскольку реальные пласты неоднородны как по толщине, так и по простиранию. В данной работе рассмотрена трехслойная модель пласта, центральный пористый пропласток которого обладает вертикальной неоднородностью, а слабопроницаемые настилающий и подстилающий пропластки однородны.

Неоднородная среда представлена тремя областями с плоскими границами раздела z_d = ±h, перпендикулярными вертикальной оси. Течение полагается плоским (в осях z_d, x_d). Средняя область толщины 2h (-h < z_d < h) является ортотропно проницаемой в горизонтальном  и вертикальном  направлениях, причем ее проницаемость не зависит от координаты х_d. Покрывающий и подстилающий пласты имеют преобладающую вертикальную трещиноватость и считаются слабопроницаемыми в горизонтальном направлении настолько, что можно пренебречь второй производной по координате x_d в уравнении для окружающей среды.

Для простоты рассматривается квазистационарный частный случай. Это означает, что производная от давления  по времени τ в уравнении пъезопроводности для центрального участка среды отсутствует. Несмотря на это, время входит в виде параметра в полученное решение для поля давления в центральном пласте через условия сопряжения. Свойства подстилающего и настилающего пластов полагаются идентичными, что так же позволяет упростить постановку задачи.

Постановка задачи содержит уравнения пьезопроводности флюида с плотностью  в гравитационном поле , направленном противоположно вертикальной оси .

Задача приводится к безразмерному виду с использованием соотношений

, , ,  , , ,

В безразмерном виде задача содержит уравнение пьезопроводности в пластах, окружающих пласт-коллектор

, , ,                                (1)

квазистационарное уравнение теплопроводности в пласте-коллекторе

, , ,(2)

условия симметрии, равенства давлений и потоков на границах раздела высокопроницаемого пропластка и окружающих проницаемых пород [6]

,     (3)

Рассмотрен режим постоянной депрессии величиной  в перфорированном пласте [1]

.                                                          (4)

Значения давления ,  на бесконечности и в начальный момент времени соответствуют гидростатическим, а его возмущения отсутствуют

, .                         (5)

Точное решение этой задачи осложнено переменными коэффициентами в уравнении пьезопроводности для пласта-коллектора и условии равенства потоков на границе раздела пластов. Под руководством проф. А.И. Филиппова был разработан асимптотический метод – метод пространственного покоэффициентного осреднения, позволяющий решать такие задачи. В статье иллюстрируется нахождение нулевого коэффициента асимптотического разложения.

1.   Первым этапом применения асимптотического метода является параметризация. В рассматриваемой задаче она заключается в формальной замене безразмерной переменной k_z (z) на k_z (z)/e как в уравнении для давления в пласте, так и в граничном условии, связывающем потоки. Такая параметризация имеет физический смысл, заключающийся в том, что устремление формального параметра к нулю соответствует возрастанию вертикальной проницаемости среды в скважине до бесконечности. В результате давление по толщине пласта выравнивается и перестает зависеть от вертикальной координаты [5].

2.   Для разложения задачи по асимптотическому параметру представим искомое решение задачи в виде асимптотической формулы по ε

,      (6)

где: нижние индексы у безразмерного давления P относятся к номеру области и принимают значение либо «пробел» – для среды в скважине, либо единица – для окружающей скважину среды, а верхние соответствуют порядковому номеру асимптотического приближения.

Подставив (6) в параметризованную постановку задачи получим задачу, разбитую по степеням e [5]

,                              (7)

,(8)

,                                        (9)

, , ,                               (10)

.                                          (11)

Анализ задачи показывает, что в уравнениях, например, в (8), при одинаковой степени ε, содержатся коэффициенты различных порядков разложения. Приравнивание этих коэффициентов к нулю приводит к «зацепленным» уравнениям. Для построения решения необходимо осуществить процедуру расцепления [5].

3.  Расцепление уравнений для нулевого коэффициента осуществляется следующим образом. Поскольку уравнения и условия задачи (7) – (11) выполняются тождественно по ε, коэффициент при каждой степени ε обращается в нуль независимо. Так из (8), получим уравнение для нулевого коэффициента разложения для

.                                              (12)

С учетом условий (9) получим, что нулевой коэффициент является только функцией горизонтальной координаты . Выражение для определения нулевого коэффициента разложения для давления может быть получено при помощи расцепления уравнения [5]. Представим выражение, следующее из (8) при e⁰ в виде

.                       (13)

где: A(t, x) – вспомогательная функция. Интегрируя (13) по z, найдем

.                          (14)

Используя (9) получим

  где .(15)

Подставляя (15) в (13), получим расцепленное уравнение для нулевого коэффициента асимптотического разложения

.                                 (16)

4.  Постановка задачи для нулевого коэффициента разложения имеет вид

                                     (17)

          (18)

             (19)

В работах [1; 8] показано, что в частных случаях, когда все коэффициенты в задаче являются константами, постановка задачи для нулевого коэффициента асимптотического разложения совпадает с интегрально осредненной исходной параметризованной задачей, а нулевой коэффициент разложения совпадает с решением интегрально усредненной задачи.

Приведенная задача (17) – (19) отличается от классических наличием следа производной решения для внешней области в уравнении (18) и наличием переменных коэффициентов.

5.  Решение задачи для нулевого коэффициента осуществим методом интегрального преобразования Лапласа-Карсона [2]. Для этого трансформируем задачу (17) – (19) в пространство изображений

                                  (20)

       (21)

                           (22)

Решение уравнения (20) с учетом условия (22) имеет вид

                                 (23)

С учетом этого равенства уравнение (23) для определения P^(0)u можно представить как

.                                       (24)

Решение уравнения (24) представится в форме

, .                      (25)

Подставив (25) в (23), получим решение для внешней области

, .(26)

Выражения (25) и (26) представляют решение задачи в нулевом приближении в пространстве изображений.

Полученные выражения (25), (26) позволяют рассчитать асимптотически осредненные по толщине центрального слоя значения давления и распределение давления в окружающих породах. Для исследования детального распределения давления в центральном пропластке необходимо найти первый коэффициент асимптотического разложения [7; 9]. Переменные коэффициенты не представляют трудностей при решении задачи в нулевом приближении, так как при расцеплении превращаются в моментные интегралы, не зависящие от пространственных координат.

Список литературы:

1. Ахметова О.В., Филиппов А.И., Филиппов И.М. Квазистационарные поля давления при линейной фильтрации в неоднородном анизотропном пласте в асимптотическом приближении // Механика жидкости и газа. – 2012. – № 3. – С. 89–100.

2. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. – М.: Высшая школа, 1965. – 466 с.

3. Дмитриев Н.М., Кадет В.В., Михайлов Н.Н., Семенов А.А. Эффект асимметрии при фильтрации в анизотропных пористых средах // Технологии нефти и газа. – № 1 (48). – 2007. – С. 52–55.

4. Дмитриев Н.М., Нуриев А.М. Представление тензора коэффициентов проницаемости для анизотропных трещиноватых коллекторов // Труды Российского государственного университета нефти и газа им. И.М. Губкина. – № 3. – 2015. – С. 31–38.

5. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Губайдуллин М.Р. Асимптотически осредненное решение задачи о поле давления в слоисто-неоднородной пористой среде / // Нефтегазовое дело: электрон. науч. журн.– № 3. – 2015. –С. 693–712. URL: http://ogbus.ru/issues/3_2015/ ogbus_3_2015_p693-712_FilippovAI_ru.pdf. (Дата обращения 15. 05. 2016 г.).

6. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Губайдуллин М.Р. Поле давления при радиальной фильтрации в неоднородном ортотропном пласте в асимптотическом приближении // Инженерно-физический журнал. – 2015. – Т. 88. – № 6. – C. 1285–1297.

7. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Ковальский А.А., Губайдуллин М.Р. Первое асимптотическое приближение задачи о поле давления в неоднородной ортотропной пористой среде // Известия Уфимского научного центра РАН. 2016. № 1. С. 5–12.

8. Филиппов А.И., Ахметова О.В., Родионов А.С. Температурное поле турбулентного потока в скважине // Теплофизика высоких температур. – Т. 51. – № 2. – 2013. – С. 277–286.

9. Филиппов А.И., Губайдуллин М.Р. Первое приближение задачи о поле давления в неоднородной ортотропной пористой среде // Естественные и математические науки в современном мире. 2015. № 28. С. 29–35.

10. Du J., Wang B. Research on the forced convective heat transfer for fluid flow through porous media with internal heat source // Kung Cheng Je Wu Li Hsueh Pao/Journal of Engineering Thermophysics 1999. V 20, № 1, Р. 69–73.

11. Kuchuk F.J., Habashy T. Pressure Behavior of Laterally Composite Reservoirs // SPE Formation Evaluation. – 1997. – Vol. 12, Is. 1. URL: https://www.onepetro.org/journal-paper/SPE-24678-PA (Дата обращения 12. 03. 2016 г.).