О РАЗРЕШИМОСТИ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА УРАВНЕНИЯ СОСТАВНОГО И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПОВ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА НА ПЛОСКОСТИ

ON SOLVING PROBLEMS OF CONJUGATION FOR ONE FORM OF EQUATIONS OF COMPOUND AND HYPERBOLIC TYPES OF FOURTH ORDER ON PLANE

Zamirbek Bekmamatov

senior lecturer department of Mathematics and information technology Batken State University,

Kyrgyzstan, Batken

АННОТАЦИЯ

Методами теории уравнений смешанного и смешанно-составного типов установлена однозначная разрешимость задачи сопряжения для одного класса уравнения составного и гиперболического типов четвертого порядка на плоскости.

ABSTRACT

By the methods of the theory of equations of mixed and mixed-composite type the unique solvability of the conjugation problem for a class of equations of hyperbolic and composite fourth order on plane has been established.

Ключевые слова: задачи сопряжения, краевые условия, условия сопряжения, составные и гиперболические уравнения, функции Грина и Римана, уравнение Вольтерра, уравнение Фредгольма.

Keywords: problems of conjugation, edge condition, condition of conjugation, function of Green and Riemann, equation of Volterra, equation of Fredholm.

1.  Постановка задачи. Пусть  – односвязная область, ограниченная простой Жордановой дугой , лежащей в полуплоскости  и опирающейся на ось  в точках  и  а также отрезком  оси . Предположим, что кривая  униформна относительно оси , точка этой кривой является единственной максимально удалённой от оси , что части  и  дуги  униформны относительно отрезка  оси , где  – начало координат. Обозначим через  – область, ограниченную линиями , , .  – класс функций, имеющие непрерывные производные го и го порядков по  и по  соответственно в области , где .

В работе рассматривается

Задача М. Найти функцию , удовлетворяющую в области  уравнению

                                                         (1)

и краевым условиям

                                             (2)

                                                   (3)

а также удовлетворяющую в области  уравнению

                                                  (4)

и краевым условиям

  ,                                     (5)

                         (6)

где:  – заданные функции, удовлетворяющие следующим условиям гладкости и условиям согласования:

                      (7)

 – длина дуги кривой , отсчитываемая от точки ,  – вещественное число.

Из постановки задачи М, как следствие, вытекают следующие условия сопряжения:

            (8)

где:  – пока неизвестные функции.

Уравнения (1) и (4) являются уравнениями составного и гиперболического типов соответственно. Некоторые классы уравнений составного и гиперболического типов четвертого порядка рассмотрены в [1; 4]. В настоящей работе для решения задачи М используются методы теорий уравнений смешанного типа [2] и смешанно-составного типа [3]. При решении задачи М сперва решаются вспомогательные задачи, а после находим функции .

Рассмотрим следующие вспомогательные задачи.

Задача 1. Найти функцию , удовлет-воряющую в области  уравнению (1), краевым условиям (2), (3) и условию

.                                      (9)

Задача 2. Найти функцию , удовлетворяющую в области  уравнению (4), краевым условиям (5), (6) и условию

.                                       (10)

При исследовании задачи 1 воспользуемся представлением любого регулярного решения уравнения (1) в области  в виде

                                (11)

где:  произвольная гармоническая функция в области , а  и произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции в области .

Произвольные функции  и  без ограничения общности могут быть подчинены условиям

.                                   (12)

2. Исследование задачи 1. Однородная задача 1 редуцируется к задаче нахождения регулярного в области  решения  уравнения

,                                           (13)

удовлетворяющего условиям

                            (14)

где:

.                                       (15)

Функция  положительного максимума и отрицательного минимума в  может достигать лишь на открытых частях  и  дуги . Однако, так как  при  то эти же экстремальные значения должны повторяться и внутри области  на открытом отрезке , что невозможно. Следовательно,  и стало быть,  в области . Отсюда следует единственность решения задачи 1.

Для доказательства существования решения задачи 1 ограничимся, когда  совпадает с полуокружностью

В силу (2), (3) и (11) для функции  получим краевые условия

.              (16)

Следуя методу работы [3], решение уравнения (13), удовлетворяющее условиям (16), запишем в явном виде

                 (17)

где:

 – функция Грина,

, ,

;

Учитывая (11), из второго условия (16) имеем

                                          (18)

где:

.

Далее, подставляя формулу (17) в условие (18) для нахождения неизвестной функции  получим интегральное уравнение Фредгольма

                                            (19)

где:

Нетрудно показать, что однородное интегральное уравнение соответствующее уравнению (19), не имеет отличных от нуля решений. Правая часть уравнения (19) при  равно нулю, и функция удовлетворяющая уравнению (13) и условия задачи, не достигает отличного от нуля экстремума на . Кроме того, , функция  не достигает положительного максимума и отрицательного минимума на дуге , так как  Следовательно,  в области , отсюда следует, что .

Обращая интегральное уравнение (19), получаем

                             (20)

где:  – резольвента ядра . Подставляя (20) в формулу (17) для функции  будем иметь

         (21)

где:  – внутренняя нормаль дуги . Определив , из (15) найдем решение задачи 1 в области .

3.  Соотношение, полученное из области . Обозначим

, .                                    (22)

Тогда из уравнения (1) для функции  получим уравнение

,

общее решение которого дается формулой

где:  - функции, определенные в задаче 1.

Переходя к пределу в (22) при  будем иметь соотношение, полученное из области :

                           (23)

Уравнение (23) относительно , при краевых условиях

,                                    (24)

перепишем в виде

                                      (25)

и будем рассматривать правую часть как известную функцию.

Решая уравнение (25) относительно , при краевых условиях (24), будем иметь

                             (26)

где:

 – функция Грина.

4.  Представление решения задачи Гурса. Рассмотрим задачу Гурса: найти решение уравнения (4), удовлетворяющее условиям:

, , ,

После интегрирования уравнение (4) по  и по  соответственно, будем иметь

                           (27)

где:

Методом последовательных приближений найдем явное решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода (26) и представим в виде ряда

                      (28)

где:

 – резольвента ядра .

Легко проверить, что функция  удовлетворяет следующим условиям

, , ,                          (29)

, , .

Подставляя значения  в (28) и, выделяя неизвестные функции, будем иметь

            (30)

где:

, .

5.  Соотношение, полученное из области . Чтобы найти соотношения между функциями  и  подставляя (30) в краевые условия (6) получим соотношения, полученные из области :

   (31)

                 (32)

где:

, .

Обращая Вольтерровскую часть уравнения (32) относительно , получим соотношение

              (33)

где:

 – резольвента ядра .

Исключив  из (31) и (33), будем иметь

            (34)

где:

Отсюда, методом исключения из (26) и (34) получим интегральное уравнение

,                          (35)

где:  – вполне определенная функция.

Обращая Волтерровскую часть уравнения (35) относительно , будем иметь интегральное уравнение Фредгольма второго рода

                                           (36)

где:

 – резольвента ядра .

Если выполняется условие

,                                          (37)

тогда уравнение (36) имеет единственное решение.

6.  Решение задачи М в области . Определив  из (36) и подставляя её значение в (26) будем знать . После этого из (33) найдем , и тем самым решение задачи 2, а решение задачи М в области  определяется по формуле

                                       (38)

где:  дается формулой (17).

Таким образом доказана

Теорема. Если выполняются условия (7) и (37), то решение задачи М существует, оно единственно и определяется в областях  и  по формулам (38) и (30) соответственно.

Список литературы:

1. Бабаев С., Бекмаматов З.М. Межд. научная конф. посвященная к 80-летию акад. Джураева А.Д., 3–4 декабря 2012 г., г. Душанбе.
2. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. – М.: Изд-во АН СССР, 1959. – 164 с.
3. Джураев Т.Д. Краевые задачи для уравнений смешанного и смешанно-составного типов. – Ташкент: Фан, 1979. – 236 с.
4. Bekmamatov Z. Cauchi problem for a composite type fourth order equation, V Congress of the TURKIC WORLD MATHEMATICIANS, Kyrgyzstan, “Issyk-Kul Aurora”, 5–7 June. – 2014.