ФИЛЬТРАЦИОННЫЕ  ВОЛНЫ  В  АНИЗОТРОПНОЙ  СРЕДЕ

Филиппов  Александр  Иванович

д-р  техн.  наук,  профессор  СФ  БашГУ,  РФ,  Республика  Башкортостан,  г.  Стерлитамак

E-mail:  filippovai@rambler.ru

Ахметова  Оксана  Валентиновна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  СФ  УГНТУ,  РФ,  Республика  Башкортостан,  г.  Салават

E-mail:  ahoksana@yandex.ru

Ковальский  Алексей  Алексеевич

советник  ректора  БашГУ,  РФ,  Республика  Башкортостан,  г.  Уфа

E-mail:  aakov68@mail.ru

Повленкович  Рената  Фанилевна

студент  СФ  УГНТУ,  РФ,  Республика  Башкортостан,  г.  Салават

E-mail: 

FILTRATION  WAVES  IN  ANISOTROPIC  ENVIRONMENT

Filippov  Alexandr  Ivanovich

doctor  of  engineering  sciences,  professor  of  Bashkir  State  University,  Republik  of  Bashkortostan,  Sterlitamak

Akhmetova  Oksana  Valentinovna

candidate  of  phys.-mathem.  sciences,  associate  professor  of  Ufa  State  Petroleum

Technological  University,  Republik  of  Bashkortostan,  Salavat

Kovalskiy  Aleksey  Alekseevich

advisor  to  the  rector  of  Bashkir  State  University,  Republik  of  Bashkortostan,  Ufa

Povlenkovich  Renata  Fanilevna

student  of  Ufa  State  Petroleum  Technological  University,  Republik  of  Bashkortostan,  Salavat

АННОТАЦИЯ

Получено  уравнение  для  описания  фильтрационно-волновых  процессов  в  аксиально  симметричной  пористой  среде.  Найдены  выражения  для  скорости  волны,  коэффициентов  пьезопроводности  и  затухания  в  соответствии  с  выбранными  координатными  линиями. 

ABSTRACT

An  equation  to  describe  the  filtration-wave  processes  in  an  axially  symmetric  porous  medium  is  acquired.  The  expressions  for  the  wave  velocity,  attenuation  coefficients  and  diffusivity  in  accordance  with  the  selected  coordinate  lines  is  found.

Ключевые  слова:  фильтрация;  закон  Дарси;  фильтрующаяся  жидкость;  анизотропная  среда;  фильтрационно-волновое  поле  давления.

Keywords:  filtration,  Darcy's  law,  fluid  filters,  anisotropic  medium,  filtration  wave  field.

При  стационарной  фильтрации  истинная  скорость  может  быть  найдена  из  закона  Дарси  [1],  который  для  анизотропной  среды,  пренебрегая  полями  сил  тяжести  и  других  массовых  сил,  в  цилиндрической  системе  координат  при  осевой  симметрии  записывается  в  виде

Соотношение  (1)  эквивалентно  наличию  фиктивных  сил  трения  [2]

В  случае  нестационарной  фильтрации  необходимо  учесть  действие  указанных  сил  трения,  тогда  получим  уравнение  движения

Сила  ,  согласно  (2),  зависит  от  скорости  фильтрации,  поэтому  из  (3)  получим  уравнение  движения  жидкой  фазы

которое  в  частном  случае  совпадает  с  уравнением  Эйлера-Жуковского.  Если  же  полное  ускорение  жидкой  фазы  равно  нулю,  то  нетрудно  убедиться,  что  из  (4)  следует  закон  Дарси  (1).

Закон  изменения  (сохранения)  массы  фильтрующейся  жидкости  при  отсутствии  источников  записывается  в  форме  уравнения  неразрывности

При  наличии  источников  уравнение  (5)  изменяется  —  в  правой  части  возникает  функция  источников  массы.

Приведенные  выше  выражения  позволяют  получить  уравнения,  описывающие  фильтрационно-волновые  явления  в  пористых  средах.  Для  этого  линеаризуем  исходные  уравнения.  Во  втором  слагаемом  (5)  полагаем  приближенно ,    в  итоге  получим

Уравнение  движения  (4)  далее  покоординатно  умножаем  на  соответствующие  коэффициенты  проницаемости,  также  полагаем ,    и,  пренебрегая  слагаемыми  второго  порядка  по  скорости,  имеем

С  уравнениями  (6)  и  (7)  осуществим  следующие  преобразования.  Подействуем  оператором  набла  на  векторное  уравнение  (7)

Подставив  выражение  ,  найденное  из  уравнения  (6)  в  (8),  получим

Дальнейшие  преобразования  первого  слагаемого  осуществим  в  предположении,  что  компоненты  тензора  проницаемости  не  зависят  от  пространственных  координат  и  времени 

Для  слабо  анизотропной  среды,  когда  разница  между  компонентами  тензора  проницаемости  много  меньше  их  полных  значений,  двумя  последними  слагаемыми  в  (10)  можно  пренебречь,  тогда  уравнение  запишется  как

Повторив  замену  для  дивергенции  вектора  скорости  из  линеаризованного  уравнения  неразрывности  в  полученном  уравнении,  имеем

Для  линеаризованных  уравнений  состояния  для  жидкой  фазы  ρ  =  ρ(P,T)  =    и  скелета  ρ_s  =  ρ_s(P,T)  =    баротропное  приближение  для  произведения  плотности  жидкости  на  пористость  может  быть  представлено  в  линеаризованной  по  давлению  форме  [3]

С  учетом  этого  уравнение  для  поля  давления  в  анизоторопной  однородной  среде  представляется  в  виде

Заметим,  что  уравнение  (13)  содержит  перед  вторым  слагаемым  в  левой  части  среднее  по  осям  значение  проницаемости  .

Найденное  уравнение  позволяет  определить  две  скорости  распространения  фильтрационной  волны,  относящиеся  к  соответствующим  координатам

,  ,

и  соответствующие  коэффициенты  пъезопроводности

,  .

Сжимаемость  пористой  среды  β  выражается  через  сжимаемости  жидкости  и  скелета.  Поскольку  массу  скелета  в  контрольном  объеме  приближенно  можно  считать  постоянной,  то  имеем  ,  что  позволяет  выразить  зависимость  пористости  от  плотности  скелета    или  давления  :  ,  .  С  учетом  этих  выражений  преобразуем  производную  по  времени  в  левой  части  уравнения  (6)  как

Отсюда  следует  выражение  для  сжимаемости  пористой  среды  .  Здесь  ,      —  значения  плотности  жидкости,  материала  скелета  и  давления  в  точке  линеаризации.

Путем  сопоставления  полученного  уравнения  с  классическим  уравнением  колебаний  определена  величина  коэффициента  затухания

Итак,  фильтрационно-волновое  поле  давления  в  однородной  анизотропной  пористой  среде  в  указанных  выше  приближениях  описывается  уравнением 

или

Список  литературы:

1.Маскет  М.  Физические  основы  технологии  добычи  нефти.  Москва-Ижевск:  НИЦ  «Регулярная  и  хаотическая  динамика»,  2003  —  606  с.

2.Филиппов  А.И.,  Короткова  К.Н.  Волновые  поля  давления  в  пласте  и  скважине  //  Физика  волновых  процессов  и  радиотехнические  системы.  —  2009.  —  Т.  12.  —  №  1.  —  С.  48—53

3.Филиппов  А.И.,  Ахметова  О.В.,  Заманова  Г.Ф.  Асимптотические  представления  упругих  волновых  полей  в  проницаемых  пластах  //  Акустический  журнал.  —  2013.  —  Т.  59.  —  №  5.  —  C.  596—606