МОДЕЛЬ  АСИМПТОТИЧЕСКИ  ОСРЕДНЕННОГО  ТЕМПЕРАТУРНОГО  ПОЛЯ  ТУРБУЛЕНТНОГО  ГАЗОВОГО  ПОТОКА

Филиппов  Александр  Иванович

д-р  техн.  наук,  профессор  СФ  БашГУ,  РФ,  Республика  Башкортостан,  г.  Стерлитамак

E-mail:  filippovai@rambler.ru

Ахметова  Оксана  Валентиновна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  СФ  УГНТУ,  РФ,  Республика  Башкортостан,  г.  Салават

E-mail:  ahoksana@yandex.ru

Олефиренко  Константин  Викторович

аспирант  СФ  БашГУ,  РФ,  Республика  Башкортостан,  г.  Стерлитамак

E-mail: 

MODEL  IS  ASYMPTOTICALLY  AVERAGED  TEMPERATURE  FIELD  OF  TURBULENT  GAS  FLOW

Filippov  Alexandr  Ivanovich

doctor  of  engineering  sciences,  professor  of  Bashkir  State  University,  Republik  of  Bashkortostan, 

Sterlitamak

Akhmetova  Oksana  Valentinovna

candidate  of  phys.-mathem.  sciences,  associate  professor  of  Ufa  State  Petroleum

Technological  University,  Republik  of  Bashkortostan,  Salavat

Olefirenko  Konstantin  Viktorovich

aspirant  of  Bashkir  State  University,  Republik  of  Bashkortostan,  Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В  работе  представлены  результаты  расчетов  температуры  газового  потока  на  основе  выражений  для  нулевого  коэффициента  асимптотического  разложения.  Построенные  зависимости  позволяют  судить  о  характере  изменения  температуры  по  стволу  газовой  скважины  и  во  времени,  что  составляет  основу  интерпретации  термограмм.

ABSTRACT

The  paper  presents  the  results  of  calculations  of  temperature  gas  stream  based  on  the  expressions  for  the  zero  coefficient  of  the  asymptotic  expansion.  Built  dependencies  allow  to  judge  the  nature  of  temperature  change  on  the  trunk  and  gas  well  in  time,  that  is  the  basis  of  the  interpretation  of  infrared  images.

Ключевые  слова:  поток  газа;  газовая  скважина;  температурное  поле;  асимптотический  метод;  турбулентный  режим  течения.

Keywords:  gas  flow;  gas  well;  temperature  field;  asymptotic  method;  turbulent  flow  regime.

  При  исследовании  температурного  поля  газового  потока  в  скважине  необходим  учет  сжимаемости  среды.  Уменьшение  давления  от  пластового  до  атмосферного  при  течении  газа  в  скважине  приводит  к  изменению  плотности  среды  на  один-два  порядка.  Даже  при  стационарном  течении  плотность  газа  является  функцией  относительной  вертикальной  цилиндрической  координаты  :  . 

  Оценки  показывают,  что  радиальной  координатой  скорости  v_r  в  сравнении  с  вертикальной  v  можно  пренебречь.  Из  стационарного  уравнения  неразрывности    следует,  что  произведение  плотности  на  скорость  остается  постоянным  на  поверхности  фиксированного  радиуса  и  равным  произведению  плотности    и  скорости    при  некотором  заданном  значении  :  . 

  Математическая  постановка  задачи  о  температурном  поле  газовой  скважины  включает  уравнение  теплопроводности  в  окружающем  трубу  массиве

и  уравнение  конвективной  теплопроводности  потока  газа  в  скважине

Выражение  для  плотности  источников    учитывает  переход  механической  энергии  в  теплоту  (за  счет  трения)  и  адиабатический  эффект  в  восходящем  потоке  газа  и  другие  источники  тепла.

  Условия  на  границе  трубы  и  окружающего  массива  определяются  равенством  температур

и  тепловых  потоков

Начальные  условия  соответствуют  естественной  невозмущенной  температуре  Земли,  возрастающей  с  глубиной    по  линейному  закону

которая  совпадает  с  температурой  в  удаленных  от  трубы  точках  окружающего  массива

В  точке    температура  потока  изменяется  заданным  образом  и  зависит  от  времени

В  задаче  (1)—(7)  переменные  коэффициенты  R(r_d  /r₀)  и  l(r_d  /r₀)  представляют  зависимость  скорости  и  коэффициента  теплопроводности  от  радиальной  координаты,  а  Z(z_d  /D)  —  зависимость  плотности  от  вертикальной  координаты.  В  предлагаемых  расчетах  эти  коэффициенты  определены  из  уравнений  Сполдинга  [1]  и  уравнения  состояния  Менделеева-Клапейрона.

С  использованием  соотношений

задача  (2.1)—(2.7)  приводится  к  безразмерным  переменным.  При  этом  в  уравнениях  (2.1)  и  (2.2)  слагаемые,  содержащие  вторую  производную  температуры  по  вертикальной  координате,  приобретают  малый  множитель  —  квадрат  величины  ~  10^–4,  где    ~  0,1  м  —  радиус  скважины  и  D  ~  10³  м  —  ее  длина.  Поэтому  слагаемые,  содержащие  коэффициент    в  уравнениях,  опущены.

С  учетом  вышесказанного  в  безразмерном  виде  задача  (2.1)—(2.7)  запишется  как

В  задаче  (2.8)—(2.14)  заменой    на    формально  введен  параметр  асимптотического  разложения  .  Такое  введение  формального  параметра  в  задаче  имеет  физический  смысл,  заключающийся  в  том,  что  устремление  его  к  нулю    соответствует  возрастанию  радиальной  компоненты  теплопроводности  газа  до  бесконечности    (случай  =1  соответствует  исходной  задаче).  Задача  (2.8)—(2.14)  представляет  собой  задачу  сопряжения,  содержащую  краевые  условия  4-го  рода  и  линейное  неоднородное  дифференциальное  уравнение  параболического  типа  с  тремя  переменными  коэффициентами    и  стационарным  источником.  Решение  задачи  о  температурном  поле  турбулентного  потока  газа  в  скважине,  содержащей  уравнения  с  переменными  коэффициентами,  найдено  на  основе  развитой  авторами  модификации  асимптотического  метода  в  форме 

Величина  остаточного  члена    дает  оценку  точности  нулевого  приближения.  Для    формулируется  краевая  задача  и  отыскивается  точное  или  приближенное  решение.  Исследование  поведения  найденного  решения  для  остаточного  члена  позволяет  отыскать  область  лучшей  применимости  первого  приближения. 

Далее  показано,  что  коэффициент    может  быть  найден  таким  образом,  что  асимптотически  осредненное  значение  остаточного  члена  обращается  в  нуль    при  любых  значениях  параметра  e.  Такое  асимптотическое  приближение  соответствует  «в  среднем  точному».  

Выражение  для  нулевого  коэффициента  разложения  температуры  флюида  имеет  вид

где  ,.  Для  внешней  области 

Выражения  (16)  и  (17)  представляют  точное  решение  задачи  в  нулевом  приближении  в  пространстве  изображений.

В  предположении  малых  времен  в  пространстве  оригиналов  (16)  представится  как

Формула  (18)  позволяет  строить  пространственно-временные  зависимости  асимптотически  осредненной  по  радиусу  температуры  турбулентного  потока  газа. 

Для  расчета  кривых  использованы  следующие  значения  параметров  скважины:  D  =  1000  м,  r₀  =  0,031  м;  наполняющего  флюида:  метан  с  =  2866  Дж/(К×кг),  r  =  71,4  кг/м³;  окружающей  среды:  G  =  0,04  K/м,  глина  —  l  =  0,67  Вт/(м×К),  с  =  950  Дж/(К×кг),  r  =  2000  Дж/(К×кг).  Безразмерный  температурный  сигнал  пласта  T₀  =  -1.

Рис.  1  иллюстрирует  зависимость  температуры  метана  при  дебите  Q_m  =  100  т/сут  от  безразмерной  вертикальной  координаты  при  разных  значениях  безразмерного  времени. 

Рисунок  1.  Зависимость  температуры  от  вертикальной  координаты  для  различных  значений  безразмерного  времени:  1  —  Fo  =  0,22,  2  —  0,44,  3  —  0,66,  4  —  0,88

На  рис.  2  представлена  зависимость  температуры  от  вертикальной  координаты  для  различных  значений  параметра  Пекле

Рисунок  2.  Зависимость  температуры  от  вертикальной  координаты  для  различных  значений  параметра  Пекле:  1  —  Pe  =  14,7,  2  —  22,85,  3  —  30,47,  4  —  38,09

На  рис.  3  представлена  зависимость  температуры  газа  от  безразмерного  времени  при  разных  значениях  безразмерной  вертикальной  координаты.

Рисунок  3.  Зависимость  температуры  газа  от  безразмерного  времени  при  разных  значениях  безразмерной  вертикальной  координаты:  1  —  z  =  0,9,  2  —  0,7,  3  —  0,5,  4  —  0,3

Зависимость  температуры  от  безразмерного  времени  для  различных  значений  параметра  Пекле  показана  на  рис.  4.

Рисунок  4.  Зависимость  температуры  от  безразмерного  времени  для  различных  значений  параметра  Пекле:  1  —  Pe  =  14,7,  2  —  22,85,  3  —  30,47,  4  —  38,085

Итак,  применение  метода  асимптотического  разложения  по  формальному  параметру  позволило  построить  приближенное  аналитическое  решение  задачи  о  температурном  поле  газовой  скважины,  содержащей  уравнение  сопряжения  с  тремя  переменными  коэффициентами.

Анализ  полученных  результатов  показывает,  что  полученные  выражения  для  температуры  удовлетворяют  большинству  требований,  предъявляемых  к  инженерным  методам  расчетов,  и  могут  быть  широко  использованы  на  практике. 

Список  литературы:

1.Филиппов  А.И.,  Ахметова  О.В.,  Родионов  А.С.  Температурное  поле  турбулентного  потока  в  скважине  //  Теплофизика  высоких  температур.  —  2013.  —  Т.  51,  —  №  2.  —  С.  277—286.

2.Филиппов  А.И.,  Ахметова  О.В.,  Родионов  А.С.  Асимптотическое  осреднение  температуры  турбулентного  потока  в  скважине.  //  Вестник  Тюменского  государственного  университета.  —  2012,  —  №  4.  —  С.  6—13.