МАТРИЦЫ  ТОРСИОННЫХ  ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Мисюра  Наталья  Евгеньевна

старший  преподаватель  ИНФО  УРФУ,  г.  Екатеринбург

E-mail:  n_misura@mail.ru

Жилин  Сергей  Сергеевич

магистрант  ВШЭМ  УРФУ,  г.  Екатеринбург

E-mail:  gss.1@mail.ru

MATRICES  OF  TORSIONAL  TRANSFORMATIONS

Natalia  Musyura

head  teacher  of  Institute  of  Fundamental  Education  of  Ural  Federal  University,  Ekaterinburg

Sergey  Zhilin

master’s  degree  student  of  Graduate  School  of  Economics  and  Management  of  Ural  Federal  University,  Ekaterinburg

АННОТАЦИЯ

Цель  работы  проиллюстрировать  математический  метод  торсионного  преобразования  объёмных  форм.  Математический  метод  основывается,  на  нелинейном  преобразовании  трехмерного  евклидова  пространства.  Представленный  метод  является  наглядным,  практически  значимым  для  современного  формообразования  в  архитектуре. 

ABSTRACT

The  aim  of  this  article  is  to  illustrate  a  mathematical  method  of  torsional  transformation  of  three-dimensional  configurations.  The  mathematical  method  is  based  on  a  nonlinear  transformation  of  tridimensional  Euclidian  space.  This  method  appears  to  be  a  descriptive  and  relevant  for  practical  purposes  for  modern  shaping  in  architecture. 

Ключевые  слова:  торсионное  формообразование,  математическое  моделирование  в  архитектуре,  матрица  торсионного  преобразования

Keywords:  torsional  shaping;  mathematical  modeling  in  architecture;  matrix  of  torsional  transformation. 

Одним  из  современных  специфических  средств  создания  особой  архитектурной  выразительности  при  строительстве  высотных  зданий  является  придания  им  спиралевидной  формы.  При  этом  создается  визуальный  динамический  эффект,  ассоциирующийся  в  сознании  наблюдателя  с  такими  уникальными  природными  явлениями,  как  торнадо  и  тайфуны.  Основоположниками  этого  направления  в  архитектуре  являются  выдающиеся  архитекторы  А.В.  Коротич  и  С.  Калатрава. 

А.В.  Коротич  является  автором  «Теории  модифицированных  регулярных  сетей»,  которая  служит  научной  платформой  для  создания  современных  прогрессивных  методик  кристаллографического,  торсионного  и  фрактального  формообразования  в  архитектуре,  а  также  автором  16  новых  способов  моделирования  составных  линейчатых  оболочек,  используемых  при  решении  композиционных  задач  архитектурного  формообразования.  Методы  торсионного  формообразования  нашли  отражение  в  проектных  работах  2005  года,  представленных  на  рис.  1  [1—2].

Рисунок  1.  Торсионное  формообразование  А.В.  Коротича

Торсионное  формообразование  было  использовано  в  2007  году  С.  Калатравой  при  проектировании  высотного  здания  «Чикагский  шпиль»  (рис.  2).

Рисунок  2.  Чикагский  шпиль  С.  Калатравы  [4]

В  основу  торсионного  формообразования  может  быть  положен  математический  метод  нелинейного  преобразования  трехмерного  евклидова  пространства,  представленный  матричным  равенством:

  .  (1)

Здесь    —  вектор-столбец,  задающий  структурный  элемент  здания  до  его  закручивания,    —  вектор-столбец,  задающий  структурный  элемент  здания  в  окончательной  композиции,    —  непрерывная  функция,  определяющая  угол  поворота  произвольного  горизонтального  сечения  здания.

В  качестве  иллюстрации  применения  матрицы  торсионного  преобразования  рассмотрим  формообразование  четырехгранного  высотного  здания,  боковые  поверхности  которого  получаются  закручиванием  линейчатых  поверхностей,  имеющих  первоначально  форму  эллиптических  цилиндров  (рис.  3).

Рисунок  3.  Модель  четырёхгранного  здания  до  торсионного  преобразования

Исходным  структурным  элементом  здания  является  клиновидная  поверхность,  которая  задается  уравнением  эллиптического  цилиндра

ограниченного  плоскостями 

,  ,

где:    —  радиус  окружности,  описанной  около  основания  здания, 

  и    —  полуоси  эллипса, 

  —  половина  внутреннего  угла  сектора  здания  (см.  рис.  4), 

  —  количество  сторон  основания  здания.

Рисунок  4.  Схема  основания  здания

Полуоси  эллипса  (см.  рис.  5)  можно  выразить  через  конструктивные  параметры  здания,  подставляя  в  уравнение  (2)  координаты  точки  A  и  вводя  обозначение  :

.

Рисунок  5.  Сечение  эллиптического  цилиндра

Отсюда 

  и  .

Математическая  модель  клина  в  форме  элемента  линейчатой  цилиндрической  поверхности  описывается  уравнением

,  ,  ,

где    

и    —  функции,  задающие  направляющие  кривые  элемента  линейчатой  поверхности. 

Элементы  остальных  клиньев  здания  получены  поворотом  первого  клина  относительно  оси  Oz  на  углы  ,    и    с  помощью  соответствующих  матриц  аффинного  преобразования:

,  ,  .

Боковые  поверхности  здания  до  его  торсионного  закручивания  определяются  следующими  матричными  уравнениями:

.

Вводя  в  уравнение  (1)  матрицу  торсионного  преобразования,  обеспечивающую  постоянный  угол  закручивания  на  каждую  единицу  высоты  здания

, 

где:  —    —  полный  угол  закручивания;

уравнения  структурных  элементов  здания  можно  записать  в  следующем  виде:

.

Модель  здания  после  торсионного  закручивания  представлена  на  рис.6.  При  необходимости  закручивания  в  противоположном  направлении  матрица  торсионного  преобразования  транспонируется.

Рисунок  6.  Модель  четырехгранного  здания  после  торсионного  преобразования

Предложенный  алгоритм  формообразования  структурных  элементов  высотных  зданий  позволяет  путем  применения  матриц  торсионных  преобразований  достаточно  быстро  выполнить  геометрическое  моделирование  в  одном  из  пакетов  символьной  математики  с  встроенным  графическим  редактором,  предваряющее  дизайнерскую  и  архитектурную  проработку.  Кроме  того,  это  позволяет  в  дальнейшем  удешевить  проектные  работза  счет  возможностей  получения  цифровых  массивов,  определяющих  конструктивные  параметры  элементов  здания. 

Применение  матрицы  торсионного  преобразования  нашло  отражение  в  призовом  проекте  реконструкции  телевизионной  башни  г.  Екатеринбурга  (рис.  7)  . 

Рисунок  7.  Призовой  проект  реконструкции  телебашни  г.  Екатеринбурга

Список  литературы:

1.История  тентовой  архитектуры//  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL  режим  доступа  http://www.tentmax.ru/information/history/  (дата  обращения15.09.2013).

2.Коротич  М.А.  Композиционное  развитие  высотной  архитектуры//  Академический  вестник  УРАЛНИИПРОЕКТ  РААСН  —  2010  —  №  4,  —  с.  96—101. 

3.Коротич  М.И.  Торсионное  и  фрактальное  формообразование  в  архитектуре  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа.  —  URL:  http://www.raasn.ru/persons/o_arch/korotich.htm(дата  обращения  20.10.2013).

4.Santiago  Calatrava  [Электронный  ресурс]  —  Режим  доступа  —  URL:  http://www.chicagoarchitecture.info/Building/357/The-Chicago-Spire.php&usg  (  дата  обращения  01.11.2013).