ОЦЕНКА  НЕКОТОРЫХ  ХАРАКТЕРЕСТИК  МОДЕЛИ  ЛЕОНТЬЕВА  В  УСЛОВИЯХ  НЕПОЛНОЙ  ИНФОРМАЦИИ

Воропанов  Сергей  Алексеевич

канд.  экон.  наук,  Самарский  государственный  экономический  университет  (филиал  в  г.  Тольятти),  доцент  кафедры  «Учет  и  финансы»,  г.  Тольятти

E-mail: 

ESTIMATION  OF  SOME  CHARACTERISTICS  OF  THE  LEONTIEF  MODELS:  CONDITIONS  OF  INCOMPLETE  INFORMATION

Voropanov  Sergey  Alekseevich

candidate  of  economic  Sciences,  Samara  State  University  of  Economics,  (Togliatti  branch),  associate  Professor  of  the  Department  «Accounting  and  Finance»,  Togliatti

АННОТАЦИЯ

В  работе  по  некоторым  заданным  показателям  технологической  матрицы  (вся  матрица  Леонтьева  не  доступна)  оценены  значения  мультипликаторов  для  модели  межотраслевого  баланса  (в  западной  терминологии  симметричная  таблица  «затраты-выпуск»).

Предложенный  метод,  основанный  на  теории  положительных  операторов  (операторов  в  пространствах  с  конусом),  позволил  получить  новым  способом  не  только  ранее  полученные  результаты,  но  и  улучшить  их. 

ABSTRACT

In  the  work  of  some  selected  indicators  technological  matrix  (all  Leontief  matrix  is  not  available)  estimated  values  of  the  multipliers  of  final  demand  for  input-output  models  (in  the  Western  terminology  symmetrical  table  of  input-output).

The  proposed  method  based  on  the  theory  of  positive  operators  (operators  in  spaces  with  cones)  provided  a  new  way  of  not  only  the  earlier  findings,  but  also  to  improve  them.

Ключевые  слова:  мультипликаторы,  модель  «затраты-выпуск».

Keywords:  multipliers,  the  model  of  «input-output».

Рассмотрим  уравнение  межотраслевого  баланса  ,  где  x  —  n-мерный  вектор  валовых  выпусков,  f  —  n-мерный  вектор  конечного  спроса,  ,  i,  j  =  1  ,…,  n  —  технологическая  матрица  (матрица  прямых  материальных  затрат),  n  –  количество  выделенных  в  балансе  отраслей. 

Матрица  полных  материальных  затрат    (в  западной  терминологии  обратная  Леонтьевская  матрица)  рассчитывается  по  известной  формуле 

,  где  I  —  единичная  матрица.

Одной  из  важных  синтетических  характеристик  межотраслевых  связей  является  вектор  µ  =  (,  …  ,)  мультипликаторов    ,  j=1,  …,  n.  В  случае,  когда  матрица  A  известна,  проблем  с  расчетом  мультипликаторов,  естественно,  не  возникает. 

Другое  дело,  когда  для  данной  территории  отчетный  межотраслевой  баланс  не  разрабатывался  или  разрабатывался  достаточно  давно.  И  если  на  уровне  национальной  экономики  отчетные  межотраслевые  балансы  с  той  или  иной  периодичностью  разрабатываются,  то  на  региональном  уровне  это  инициатива  отдельных  энтузиастов,  к  тому  же  достаточно  дорогостоящая  инициатива.

Возникает  проблема,  как  оценить  мультипликаторы  в  условиях  неполной  информации,  когда  исследователю  известны  лишь  некоторые  характеристики  матрицы  A.  К  таким  характеристикам,  в  частности,  можно  отнести  значения  отдельных  коэффициентов  прямых  материальных  затрат,  а  также  вектор  коэффициентов  материалоемкости  ,  j=1  ,  …,  n.  Материалоемкость  отраслей  может  быть  оценена  на  основе  данных  традиционной  статистики  без  проведения  дорогостоящих  сплошных  или  выборочных  обследований. 

Сформулируем  задачу:  по  некоторым  заданным  показателям  матрицы  A  оценить  значения  мультипликаторов.  Такого  рода  задача  возникает,  как  правило,  на  уровне  региональных  экономик,  в  случае,  когда  недостаток  сил  и  средств  не  позволяет  построить  полную  межотраслевую  таблицу.

По-видимому,  первые  попытки  оценить  мультипликатор  в  условиях  неполной  информации  были  предприняты  авторами  [2,  с.  5—9].  В  этих  же  публикациях  развернулась  дискуссия  по  теоретической  и  экспериментальной  оценке  эффективности  предложенных  методов.

В  частности,  в  [2]  получено  соотношение 

1+  /(  )        1+  /(  ),  j=1,  …  ,  n,  (1)

и  в  качестве  оценки    рекомендуется  использовать  формулу 

    1+  /(  ),  j=1,  …  ,  n,  (2)

где    ,  т.  е.  средняя  арифметическая  из  отраслевых  материалоемкостей. 

В  [7]  оценка  (2)  улучшена  для  j-й  компоненты  вектора    исходя  из  предположения,  что  кроме  вектора    известен  еще  и  столбец  j  (и  только  он  один)  матрицы  A.  Такой  подход,  очевидно,  приемлем  для  отраслей  с  относительно  простой  структурой  материальных  затрат  или  для  отраслей,  структура  материальных  затрат  которых  может  быть  оценена,  исходя  из  данных  традиционной  статистической  отчетности.

Формула  (3)  в  целях  компактности  записи  приведена  в  несколько  отличном  от  оригинала  виде

    1+  +    /)  /  (1-  -    ,  j=1,  …  ,  n,  (3)

где    , 

В  [4]  получена  оценка  мультипликаторов  в  предположении,  что  кроме  вектора  материалоемкости  известны  все  диагональные  коэффициенты    матрицы  A.  Полученная  формула  весьма  неточна  (см.  [5]  и  пригодна  лишь  для  небольших  регионов  с  малым  количеством  выделенных  в  межотраслевом  балансе  отраслей  (см.  [8,  9]). 

Более  точные  оценки  в  тех  же  предположениях,  что  и  [9]  (т.  е.  известны  вектор  материалоемкости  и  все  диагональные  коэффициенты    матрицы  A)  даны  в  [5].

Мы  не  приводим  оценки,  предложенные  в  [5,  9]  ввиду,  во-первых,  их  громоздкости  и,  во-вторых,  отсутствия  необходимости  в  дальнейшем  их  использовании  в  настоящей  работе.

При  доказательствах  в  [2]  использовано  предположение  о  равномерности  распределения  технологических  коэффициентов  в  каждом  столбце  матрицы  A.  На  самом  деле,  о  структуре  затрат  известно  больше  —  по  крайней  мере  часть  коэффициентов  прямых  материальных  затрат  a  priori  равна  нулю.

В  [3]  предложено  для  оценки  распределения  элементов  матрицы  A  применять  межотраслевые  таблицы-аналоги,  в  качестве  которых  могут  фигурировать  балансы  данного  региона  за  предшествующие  годы,  таблицы  других  регионов  со  схожей  структурой  экономики  или  страны  в  целом.  Эмпирические  расчеты,  проведенные  на  материалах  межотраслевого  баланса  Шотландии  (аналогом  служил  межотраслевой  баланс  Великобритании),  дали  более  точные  в  сравнении  с  формулой  (2)  результаты.

Недавний  весьма  обширный  обзор  работ  [4],  выполненных  в  этой  области,  показывает,  что  с  80х  годов  существенных  теоретических  результатов,  улучшающих  ранее  полученные  оценки  мультипликаторов  не  получено.  Исследователи,  как  правило,  занимались  эмпирическими  расчетами.

Приведем  необходимые  для  дальнейших  доказательств  теоремы. 

Пусть  в    задано  уравнение

z=  zA+d  ,  (4)

где  z,  d    ,  0,  ,  0,  i,  j=1  ,  …,  n. 

Для  x,  y      будем  писать  x  y,  если    для  всех  i  =1,  …  ,  n. 

Пусть  найдутся  векторы  и    такие,  что  выполняются  соотношения

    A+  d,  (5)

    A+  d  (6)

Организуем  далее  два  итерационных  процесса  по  формулам

    A+  d,  (7)

    A+  d.  (8)

Имеют  место  следующие  теоремы.  Заметим,  что  теоремы  1  и  2  приведены  в  измененной  формулировке  для  частного  случая,  когда  (4)  задано  в  .

Теорема  1.  Последовательные  приближения  (7),  (8)  монотонно,  соответственно,  по  недостатку  и  по  избытку,  сходятся  к    -  решению  уравнения  (4)  [1].

.

Теорема  2.  Элементы

  ,  ,

где

e  =  (1,  …  ,  1)  -  единичный  вектор,  удовлетворяют  соотношениям  (5)  и  (6)  [1]. 

Таким  образом,  используя  теоремы  1  и  2,  можно  получать  двухсторонние  оценки  решения  уравнения  (4).  Причем  на  первых  итерациях  не  требуется  знание  всех  элементов  матрицы  A.

Легко  показать,  что  вектор  µ  мультипликаторов  удовлетворяет  уравнению  µ=  µA+e. 

Используя  теорему  2,  построим  начальные  приближения

Далее  по  (7)  и  (8)  построим  первые  итерации

  ,  j=1  ,  …,  n.

  ,  j=1  ,  …,  n.

В  силу  теоремы  1  верны  оценки

          ,  j=1  ,  …,  n,  (9)

что  совпадает  с  результатом  [2].  Таким  образом,  другим  способом  доказан  ранее  полученный  результат.

Проведем  следующую  итерацию,  и  в  соответствии  с  (7)  и  (8)  построим  элементы

  ,  j=1,  …,  n.

  ,  j=1,  …,  n.

Согласно  теореме  1  для  всех  j=1  ,  …,  n  верны  соотношения 

1+1+,  (10)

и  точечная  оценка    может  быть  рассчитана  следующим  образом

  ,  j=1,  …,  n,  (11)

где  ,  т.е.  средняя  арифметическая  из  отраслевых  материалоемкостей. 

Очевидно,  что  использование  оценок  (10)  и  (11)  возможно  лишь  в  случае,  когда  известен  хотя  бы  один  столбец  j  матрицы  A.

Попробуем  теперь  получить  точечную  оценку  µ,  применив  следующую  геометрическую  идею.  Ясно,  что  (9)  и  (10)  задают  отрезки,  которым  принадлежат  истинные  значения 

  j=1,  …,  n.  (12)

где  )  –  нижняя  (верхняя)  оценка  .  Соотношение  (12)  наталкивает  на  мысль  оценивать    в  виде

  j=1,  …,  n,  (13)

где  0  ;  при      имеем  крайние  точки  отрезка.

Для  определения  коэффициентов  при    может  быть  использована  межотраслевая  таблица-аналог.  Итак,  алгоритм  уточнения  («подстройки»)  оценок  мультипликаторов  включает  следующие  этапы: 

1.  вычисление  векторов    для  межотраслевой  таблицы-аналога; 

2.  расчет  «подстрочных»  коэффициентов    путем  решения  уравнения 

  j=1,  …,  n.  (14)

относительно    на  таблице-аналоге; 

3.  определение  векторов    для  анализируемой  таблицы;

4.    расчет  искомого  вектора  µ  по  (13)  с  коэффициентами  ,  построенными  на  таблице-аналоге. 

Для  вычисления  векторов    могут  служить  как  (9),  так  и  (10),  причем  последнее  уравнение  применимо  лишь  для  отдельных  отраслей  с  известной  структурой  затрат.

Понятно,  что  в  ряде  случаев  прямое  сравнение  эффективности  предложенного  метода  невозможно,  в  том  числе  и  с  другими  методами,  не  представленными  в  данной  публикации.  В  настоящее  время  автор  занят  их  эмпирическим  сопоставлением  для  таблиц  «затраты-выпуск»  различных  стран.

Список  литературы:

1.Красносельский  М.А.,  Вайникко  Г.М.,  Забрейко  П.П.,  Рутицкий  Я.Б.,  Стеценко  В.Я.,  Приближенное  решение  операторных  уравнений.  Издательство  ``Наука,  Главная  редакция  физико-математической  литературы,  Москва,  1969,  —  456  с.

2.BURFORD  R.L  and  KATZ  J.L.  A  Method  of  estimation  of  input-output  type  output  multipliers  when  no  I-O  model  exists.  //  Journal  of  Regional  Science.  —  1981.  —  Vol.  21.  —  №  2.

3.HARRIGAN  F.J.  The  estimation  of  input-output  type  output  multipliers  when  no  input-output  model  exists:  a  comment.  //  Journal  of  Regional  Science.  —  1982.  —  Vol.  22.  —  pp.  375—381.

4.HUSSAIN  ALI  BEKHET  Output,  Income  and  Employment  Multipliers  in  Malaysian  Economy:  Input-Output  Approach.  //  International  Business  Research.  —  2011.  —  Vol.  4.  —  №  1;  January  2011  —  p.  208—223.

5.KATZ  J.L.  A  Shortcut  Method  for  Computing  Final  Demand  Multipliers  for  Small  Regions:  Comment.  //  Environment  and  Planning,  A.  —  1983.  —  Vol.  15,  —  №  4.

6.KATZ  J.L.  and  BURFORD  R.L.  A  comparison  of  estimators  of  output  multipliers  from  incomplete  input-output  data.  //  The  Annals  of  Regional  Science  —  1981.  —  Vol.  15,  —  №  2,  —  pp.  39—54.

7.KATZ  J.L.  and  BURFORD  R.L.  The  estimation  of  input-output  type  output  multipliers  when  no  input-output  model  exists:  a  reply.  //  Journal  of  Regional  Science.  —  1982.  —  Vol.  22.  —  №  2.  —  pp.  383—387.

8.PIBBS  P.J.,  and  HOLSMAN  A.J.  A  Reply  to  Katz’s  Comment.  //Environment  and  Planning,  A.  —  1983.  —  Vol.  15,  —  №  4.

9.PIBBS  P.J.,  and  HOLSMAN  A.J.  A  Shortcut  Method  for  Computing  Final  Demand  Multipliers  for  Small  Regions.  //  Environment  and  Planning,  A.  —  1980.  —  Vol.  12,  —  №  9.