О ВОЗМОЖНОЙ СВЯЗИ ДЛИНЫ ПУТИ СМЕШЕНИЯ И ПОПЕРЕЧНЫХ МАСШТАБОВ ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ПСЕВДОИЗОТРОПНОМ ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ ВОДЫ

ABOUT POSSIBLE COMMUNICATION OF LENGTH OF THE WAY OF MIXTURE AND CROSS SCALES OF TURBULENCE IN PSEUDO-ISOTROPIC TURBULENT WATER FLOW

Presnyakov Konstantin

doctor of Engineering, chief researcher

Institute automatic equipment and information technologies

National academy of Sciences of the Kyrgyz Republic

Kyrgyz Republic, Bishkek

Askalieva Gulzada

junior researcher Institute automatic equipment and information technologies National academy of Sciences of the Kyrgyz Republic

Kyrgyz Republic, Bishkek

АННОТАЦИЯ

Получены формулы длины пути смешения с использованием логарифмического (гладкая стенка) и показательного профилей скорости воды. Предложена схематическая картина турбулентного перемешивания потока воды, которое начинается в турбулентном пограничном слое, наиболее интенсивно развивается в центральной зоне и завершается ближе к поверхности потока.

ABSTRACT

Formulas of length of a way of mixture with use logarithmic (a smooth wall) and indicative water speed profiles are received. The schematic picture of turbulent mixing of water flow which begins in a turbulent interface is offered, most intensively develops in the central area and comes to the end closer to a stream surface.

Ключевые слова: коэффициент турбулентной диффузии, длина пути смешения, поперечные масштабы турбулентности.

Keywords: coefficient of turbulent diffusion, length of a way of mixture, cross scales of turbulence.

Введение. Длина пути смешения является ключевой характеристикой в полуэмпирических теориях и моделях турбулентного течения жидкости [1]. Существует аналогия между длиной пути смешения и поперечными масштабами турбулентности: пропорциональность (М.А. Великанов) или равносильность (Е.М. Минский [2]) указанных понятий. Кроме того, отмечается слабость позиций Кармана и Никурадзе, которая заключена при оценке пути смешения в графическом дифференцировании эмпирических распределений скорости воды.

Информация о рассматриваемых параметрах приведена в таблице 1.

Можно обойти выявленную трудность, не проводя графическое дифференцирование, а используя аналитические выражения распределений скорости воды по глубине потока.

Постановка задачи исследований

Модели турбулентного течения жидкости являются достаточно сложными и в то же время удаленными от реальной картины течения воды в открытых водотоках.

Таблица 1

Длина пути смешения и поперечные масштабы турбулентности по литературным данным

Примечания: 1. Все средние значения указанных характеристик получены нами на основе указанных литературных материалов.

2. Значения длины пути смешения в случаях использования данных [2, р.36] и интерполяционной кривой [2, с. 114, ф.4.16], указанные в точке максимума, на самом деле не являются максимумами в строгом смысле этого математического понятия.

3. Отклонения, указанные к средним значениям характеристик, являются следствием вида соответствующих зависимостей.

Например, в условиях изотропной турбулентности все производные осредненных скоростей воды по координатам равны нулю. В то же время при выводе формулы характерной длины Тэйлора и выражения для диссипации энергии отдельные авторы (например, [1, с. 252]) активно используют производные

.

Такое возможно в двух случаях:

1. работа с указанными производными проводится вне рамок изотропной модели, а результаты используются в этой модели;
2. упомянутый анализ осуществляется в границах рассматриваемой модели, но в предположении о достаточной малости указанных производных.

К сожалению, при изложении основных положений модели изотропной турбулентности никаких оговорок или пояснений по поводу упомянутого факта не имеется.

Обобщенно (одной фразой) изотропную турбулентность можно представить как движение жидкости с одинаковыми скоростями во всех ее точках [1, с.261].

Заменим реальный поток воды на некоторый фиктивный, для которого все скоростные характеристики, в частности  заменены на их средние значения, соответствующие реальному потоку жидкости. Тогда указанный фиктивный поток (псевдоизотропный) можно рассматривать как согласующийся с понятием изотропной турбулентности.

Наряду с этим, необходимым и достаточным условием формальной аналогии между турбулентной и физической диффузией являются равенства:  выполняющиеся для всего потока жидкости.

Если это так, то тогда мы имеем возможность использования выражения для коэффициента турбулентной диффузии, равного произведению длины пути смешения на среднеквадратичное значение вертикальной компоненты скорости воды.

Далее воспользуемся тем фактом, что вертикальная компонента скорости и ее пульсации близки друг к другу, т.е. . Тогда с учетом подобной замены формула длины пути смешения (с учетом наших обозначений) запишется в виде

.                                            (1)

Задача исследований. Установить (на основе формальной аналогии между турбулентной и физической диффузией в случае псевдоизотропной турбулентности) формулы для длины пути смешения (с использованием логарифмического (гладкая стенка) и показательного профилей скорости воды), исследовать зависимости ее от глубины потока и провести сравнительный анализ полученных результатов с литературными данными.

Решение поставленной задачи

В работе [4] нами были получены формулы для относительного коэффициента турбулентной диффузии, согласующиеся с литературными данными, в случаях применения логарифмического (гладкая стенка)

                               (2)

и показательного профилей скорости воды

                                  (3)

Воспользуемся формулой И.К. Никитина для распределения пульсаций вертикальной компоненты скорости воды [3, с. 109, ф.46]

                         (4)

Подставляя формулы (2), (3) и (4) в выражение (1), получим формулы для длины пути смешения:

логарифмика (гладкая стенка)

;                                  (5)

показательный профиль

                          (6)

Построим графики этих зависимостей (рисунок 1)

Рисунок 1. Длина пути смешения: а) – при использовании логарифмического профиля скорости воды (гладкая стенка), б) – показательного распределения скорости воды (счет начинается с относительной шероховатости , опыт {8, 10} ПК р. Тору-Айгыр).

Приведенные графики имеют вид, подобный распределениям поперечных масштабов турбулентности  и .

Найдем граничные значения длины пути смешения:

• при (дно потока)

(логарифмика;

расходится (показательный профиль);

• при

(логарифмика);

(показательный профиль).

Определим средние значения длины пути смешения:

(логарифмика);     (7)

                                 (8)

– по Симпсону (показательный профиль).

Найдем координаты максимума длины пути смешения:

.                             (9)

Исследуем знаменатель формулы (9) на возможные нулевые значения признаменатель .

Тогда числитель формулы (9):

Первый корень не отвечает реальным значениям координаты  .

 (логарифмика).                      (10)

 (11)

Исследуем знаменатель формулы (11) на возможные нулевые значения признаменатель .

Тогда числитель формулы (11):

    (показательный профиль)      (12)

Обсуждение полученных результатов

Как было отмечено выше, кривые  имеют вид, подобный кривым поперечных масштабов турбулентности:

первое – имеются максимумы рассматриваемых показателей:  при ,  при , а для поперечных масштабов турбулентности: при и  при ;

второе – средние значения рассматриваемых показателей: : , , а для поперечных масштабов турбулентности: , ;

третье – граничные значения рассматриваемых характеристик ,  – расходится; , , а для поперечных масштабов турбулентности:  и на дне и на поверхности потока.

Вернемся к рассмотрению кривых длины пути смешения по Карману и Никурадзе [2, с. 111, р.36]. Самым важным является выполнение гипотезы Прандтля о пропорциональности пути смешения вертикальной координате.

М.А. Великанов [1, с. 288] высказывал мнение о пропорциональности пути смешения поперечным масштабам турбулентности, а Е.М. Минский говорил о равенстве длины пути смешения масштабам турбулентности [2, с. 114].

С этой точки зрения кривые Кармана и Никурадзе противоречат суждениям М.А. Великанова и Е.М. Минского. В самом деле, сравнение графиков кривых Кармана и Никурадзе с кривыми масштабов турбулентности свидетельствует о том, что указанные графики длин пути смешения не являются строгими и к ним требуется относиться с известной осторожностью.

Кроме того, М.А. Великанов указывал недостатки полуэмпирических расчетов Кармана и Никурадзе, связанные с графическим дифференцированием эмпирических кривых распределений осредненных скоростей воды.

По крайне мере мы склоняемся к мнению, что кривые Кармана и Никурадзе можно рассматривать лишь в нулевом приближении.

Следовательно, в дальнейшем мы будем проводить анализ наших данных о пути смешения и литературных сведений о масштабах турбулентности.

Сопоставление упомянутых данных показывает, что длина пути смешения, вычисленная по формуле (5) с опорой на логарифмику, близка к поперечному масштабу турбулентности  (по продольной скорости), а длина пути смешения, рассчитанная по формуле (6) с использованием показательного профиля скорости, близка к поперечному масштабу турбулентности . Это является подтверждением мнения М.А. Великанова о пропорциональности указанных величин.

Подсчитаем соответствующие коэффициенты пропорциональности:

 – для логарифмики;                                (13)

 – для показательного профиля.             (14)

Результаты указанных вычислений приведены в таблицах 2…5.

Таблица 2

К вычислению коэффициента пропорциональности

Таблица 3

К вычислению отклонений от

Таблица 4

К вычислению коэффициента пропорциональности

Таблица 5

К вычислению отклонений от

Результаты указанных расчетов свидетельствуют о нижеследующем:

• в случае использования логарифмического профиля скорости воды обсуждаемый коэффициент пропорциональности , что в свою очередь говорит в пользу утверждения Е.М. Минского о равносильности длины пути смешения и масштаба турбулентности;
• в случае применения показательного распределения скорости воды коэффициент пропорциональности , что свидетельствует в пользу суждения М.А. Великанова о пропорциональности длины пути смешения и масштаба турбулентности.

Установленный факт взаимоотношения длины пути смешения и поперечных масштабов турбулентности однозначным образом объяснить не представляется возможным, поэтому необходимо проведение дополнительных исследований этого вопроса.

Из выражения для максимума длины пути смешения (12) с применением показательного профиля скорости воды следует, что указанное значение зависит от параметра показательного закона (рисунок 2).

Рисунок 2. Зависимость максимального значения длины пути смешения (показательный профиль скорости воды) от параметра m.

Выявляется обратно пропорциональная зависимость между длиной пути смешения и шероховатостью дна водотока (потерями энергии): чем больше шероховатость русла или потери энергии (меньше коэффициент Шези), тем меньше максимум длины пути смешения; чем меньше шероховатость русла и потери энергии (больше коэффициент Шези), тем выше максимальное значение длины пути смешения. Это обстоятельство является установленным новым фактом. Кстати, подобная качественная связь между  и m была ранее выявлена нами для случая относительного коэффициента турбулентной диффузии [4].

Обобщая данные работы [4] и настоящих исследований можно представить следующую схематическую картину турбулентного перемешивания:

• первое – установлена зона (центральная часть потока воды), где наблюдается интенсивное турбулентное перемешивание потока воды, характеризуемая наличием максимальных значений относительного коэффициента турбулентной диффузии ( (логарифмика) и 0,43 (показательный профиль) – наши данные; значение координаты максимума равно 0,5 – литературные данные; максимальные значения длины пути смешения:  (логарифмика),  (показательный профиль) – наши данные и подобное значение  – литературные данные);
• второе – само перемешивание начинается не со дна потока, где находится тончайший ламинарный слой воды, в котором мельчайшие ламинарные вихри диссипируют механическую энергию в теплоту (кстати, значениям длины пути смешения на дне потока 0,010 (логарифмика) и расходящееся значение (показательный профиль) придавать особого значения не стоит, так как серьёзно говорить о турбулентном перемешивании в условиях ламинарного течения воды не имеет смысла).

Само турбулентное перемешивание начинается в области турбулентного пограничного слоя, достигает наиболее интенсивных значений в указанной центральной зоне потока, а завершается у его поверхности, где длина пути смешения и поперечные масштабы турбулентности равны нулю.

Заключение. Получены формулы длины пути смешения с использованием логарифмического (гладкая стенка) и показательного профилей скорости воды. Установлены практическое равенство длины пути смешения (с применением логарифмического профиля скорости) поперечному масштабу турбулентности (по продольной скорости) и пропорциональность длины пути смешения (с использованием показательного профиля скорости) поперечному масштабу турбулентности (по вертикальной скорости).

Выявлена схематическая картина турбулентного перемешивания потока воды, которое начинается в турбулентном пограничном слое, наиболее интенсивно развивается в центральной  () зоне (где наблюдаются максимальные значения , , а на нижней границе – средние по сечению потока значения скорости воды) и завершается ближе к поверхности потока (где длина пути смешения и поперечные масштабы турбулентности принимают нулевые значения).

Список литературы:

1. Великанов М.А. Динамика русловых потоков. Т.1.Структура потока. – М.: Госиздат техн.– теор. лит., 1954. – 323с.
2. Минский Е.М. Турбулентность руслового потока. – Л.:ГИМИЗ, 1952. – 164с.
3. Никитин И.К. Турбулентный русловой поток и процессы в придонной области. – Киев: Изд-во АН УССР, 1963. – 138с.
4. Пресняков К.А., Аскалиева Г.О. К вопросу о распределении относительного коэффициента турбулентной диффузии по глубине потока (на основе эллиптического профиля и распределения скорости воды Ю.А. Ибад-Заде) // «Естественные и математические наук в современном мире». – г. Новосибирск, 2016. – №7(42). – С.62-72.