ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА СЛИЯНИЯ ДВУХ КАПЕЛЬ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Вагнер Сергей Александрович

магистрант, ТГУ,

 г. Томск

E-mail: vagnerserge@gmail.com

Пономарева Мария Андреевна

канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник, ТГУ,

 г. Томск

Процесс слияния вязких капель имеет широкое распространение в различных областях науки и техники: в порошковой и химической технологиях, астрофизике, космонавтике, метеорологии, атомной промышленности и т. д.

Особенность задачи о слиянии капель состоит в необходимости удовлетворения граничных условий в окрестности контактного перешейка на начальной стадии слияния, когда граница области решения сильно искривлена. При численном моделировании данная проблема решается путем задания в начальный момент уже сформировавшегося контактного перешейка малого радиуса, что обеспечивает достаточную гладкость границы [3]. Такое допущение является обоснованным, так как согласно многим экспериментальным оценкам, в частности [4, 8], время образования начального перешейка при соприкосновении капель чрезвычайно мало по сравнению со временем процесса.

В настоящей работе в плоской постановке с использованием модели ползущего течения решена задача о слиянии двух капель вязкой жидкости. Для решения задачи используется непрямой метод граничных элементов, хорошо зарекомендовавший себя при иссле­довании течений жидкости в присутствии больших деформаций свободной границы.

1. Постановка задачи и метод решения. Рассматривается процесс слияния двух вязких капель одной и тоже жидкости. Задача формулируется в плоской постановке, в приближении ползущего течения, без учета силы тяжести. Математическая постановка, включающая уравнения движения и уравнения неразрывности в безразмерном виде записывается следующим образом:

                                    (1)

где: ,

p — давление,

δ_ij — символ Кронекера, ,

 — компоненты вектора скорости,

 — декартовы координаты.

Граница области решения Г включает в себя только свободную поверхность. Формы границы в начальный и конечный моменты времени показаны на рис. 1, где  и  соответственно радиусы верхней и нижней капель, R — радиус результирующей капли. В соответствии с выше описанным допущением, в начальный момент времени уже существует контактный перешеек малого радиуса.

Динамичное граничное условие на свободной поверхности заключается в отсутствии касательных напряжений и равенстве скачка нормальных напряжений давлению Лапласа, и записывается в виде

, x_iÎ Г                                             (2)

где:  — компоненты усилий на свободной поверхности,

n_i — компоненты внешнего нормального к поверхности единичного вектора,

k — значение кривизны свободной поверхности.

Рисунок 1. Формы свободной поверхности:
а — в процессе слияния, б — образовавшаяся в результате слияния

Деформация формы свободной поверхности с течением времени происходит в соответствии с кинематическим условием, которое в лагранжевом представлении записывается в форме

, x_iÎ Г                                         (3)

Таким образом, задача рассматривается в квазистационарной постановке. После решения уравнений (1), для найденной формы свободной границы (или заданной при t=0) с краевым условием (2) в соответствии с вычисленными значениями скоростей на свободной поверхности и кинематическим условием (3) рассчитывается новое положение границы.

Для решения задачи используется непрямой метод граничных элементов [2]. Исходная система дифференциальных уравнений (1), заменяется эквивалентной системой граничных интегральных уравнений

  (1.4)

где dГ(x) означает интегрирование по свободной поверхности S; плотность фиктивных источников φ_j(ξ) находится, исходя из граничных условий; F_ij(x,ξ) и G _ij(x,ξ) — фундаментальные сингулярные решения линеаризованной системы уравнений Навье-Стокса, x — точка наблюдения, ξ — точка приложения нагрузки.

Граница области разбивается на N прямолинейных отрезков (элементов), вдоль которых искомая функция φ_j(ξ) считается постоянной. Полученная система алгебраических уравнений решается методом Гаусса. Значение скоростей и напряжений на границе области находятся численным интегрированием. Для вычисления новой формы свободной границы в соответствии с (3) используется схема Эйлера. Шаг по времени выбирается из условия Куранта.

2. Результаты численного исследования. Рис. 2—5 относятся к случаю слияния капель одинакового размера. На рис. 2 представлена эволюция форм свободной поверхности в процессе слияния двух капель одинакового размера. Видно, что граница области решения стремится принять форму окружности, то есть, форму, которая соответствует минимуму потенциальной энергии. Этап, характе­ризующийся затухающими колебаниями, отсутствует, так как инер­ционные эффекты не учитываются. На рис. 3 представлено соответствующее поле вектора скорости в процессе слияния, по которому можно судить о степени интенсивности движения жидкости в различных частях капель.

Рисунок 2. Формы свободной поверхности при слиянии двух капель с одинаковыми начальными радиусами
в различные моменты времени:
а — t=0.0, б — 0.2, в — 0.4, г — 0.6, д — 0.8,
е — 1.6, ж — 2.8, з — 5.2

На начальном этапе скорость значительна во всей области течения, далее она убывает. На рис. 4 изображены формы свободной границы рассматриваемой области, которые принимает свободная поверхность через одинаковый промежуток времени. Таким образом, по расстояниям между кривыми можно судить о скорости движения свободной поверхности в различных ее частях, в ходе всего процесса слияния. Видно, что скорость свободной поверхности значительна как в области контактного перешейка, так и на верхней и нижней частях фигуры слияния. Также можно заметить, что существуют четыре точки на свободной поверхности (координаты по оси Оy, соответствуют центрам капель в начальный момент времени), которые остаются неподвижными в течение всего процесса. Математически этот факт доказывается в следующих работах [5—7].

Рисунок 3. Поле вектора скорости в процесс слияния двух капель одинакового размера: a — 0.0, б — 0.4, в — 0.8, г — 1.4, д — 4.0

Рисунок 4. Эволюция свободной поверхности в случае слияния двух капель одинакового размера (промежуток времени Δt=0.2)

Весь процесс условно можно разделить на два этапа. Начальный быстрый этап, который длится около 2 двух единиц безразмерного времени, отличается наибольшими скоростями движения, как свободной поверхности, так и жидкости внутри капель. Основная часть процесса слияния проходит именно за этот период. Второй медленный этап, который характеризуется малыми скоростями, как свободной поверхности, так и жидкости внутри капель. Этап продолжается около трех единиц времени. За это форма свободной поверхности из овала медленно принимает форму окружности.

Графики на рис. 5 показывают сравнения с уже известными результатами. Из сравнения зависимостей контактного перешейка от времени, можно сделать вывод о качественном отличии плоского и осесимметричного случаев (сравнение с [7]) и соответствие с теоретическими исследованиями в плоском случае (сравнение с [4]).

Рисунок 5. Зависимость радиуса контактного перешейка r от времени t при слиянии капель одинаковых размеров: сплошная линия — расчет, пунктирная — в соответствии с [5], штрихпунктирная — в соответствии с [1]

Рис. 6—8 относятся к случаю слияния капель разного размера. В данной работе рассматриваются процессы слияния капель с отношениями радиусов в начальный момент времени =1/2 и =1/3. На рис. 6 представлена последовательность форм свободной поверхности в течение всего процесса для =1/2. Также на этом рисунке показана эволюция границы раздела двух капель.

Рисунок 6. Формы свободной поверхности при слиянии двух капель с разными начальными радиусами в различные моменты времени (Отношение радиусов =1/2):
а — t=0.0, б — 0.2, г — 0.6, е — 1.0, ж — 1.4, и — 2.2

На рис. 7 изображено поле вектора скорости внутри сливающихся капель для случая =1/3. Рис. 8 демонстрирует эволюцию форм свободной поверхности через одинаковый промежуток времени. Исследования показали следующие результаты. Весь процесс слияния можно условно разделить на три этапа. Первый этап, самый динамичный, характеризуется значительными скоростями во всей области течения. Причем, основные изменения свободная поверхность претерпевает в области контактного перешейка и нижней части рассматриваемой области, в то время как верхняя часть остается практически неподвижной. На втором этапе течение в области, соответствующей в начальные моменты времени большой капле замедляется, тогда как в верхней части области, течение остается существенным. На третьем этапе течение во всей области замедляется, и фигура медленно принимает форму окружности. Первые два этапа длятся около половины единицы безразмерного времени, а третий этап длится около 1.5 единицы. Данные наблюдения можно трактовать следующим образом. После того как капли различных размеров приходят в соприкосновение, большая приближается к ней, занимая окончательное положение. Затем малая капля вливается в общий объем, что сопровождается интенсивным течением в окрестности места вливания.

Рисунок 7. Поле вектора скорости в различные моменты времени для случая слияния двух капель = 1/3: а — 0.2, б — 0.4, в — 0.6, г — 0.8, д — 1.2, е — 1.8

Рисунок 8. Эволюция свободной поверхности в случае слияния двух капель различных начальных радиусов, =1/2 (промежуток времени Δt=0.2)

Заключение. В настоящей работе в плоской постановке с использованием модели ползущего течения решена задача о слиянии двух капель вязкой жидкости под действием сил поверхностного натяжения. Представлены картины слияния для различных начальных радиусов сливающихся капель. Показано распределение внутреннего поля вектора скорости. Проведена оценка времени слияния. Результаты расчетов сопоставлены с известными теоретическими и экспериментальными данными. Из анализа распределения поля вектора скорости внутри жидкости сделан вывод, что для случая слияния одинаковых капель, как на начальном этапе, так и в ходе всего процесса, скорости по абсолютной величине во всех частях капель, как в области перешейка, так и на удалении, соизмеримы. Для случая двух капель различных начальных радиусов, скорость в ходе процесса в различных частях капель может существенно отличаться. На основе полученных результатов предложено разбиение процесса слияния на этапы, в зависимости от поля скоростей внутри жидкости в различные моменты времени. Для случая слияния капель различных начальных радиусов представлены также эволюция границы раздела между каплями, что позволило увидеть, какое место занимает малая капля в объеме большой в результате слияния.

Список литературы:

1.Гегузин Я.Е.Слияние вязких сфер под действием сил поверхностного натяжения // Докл. АН СССР. — 1971. — Т. 200, № 5. — С. 1051—1054.

2.Козлобродов А.Н., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Моделирование гидромеханических течений в технологии переработки полимерных материалов. — Томск: изд-во ТГУ, 1999. — 230 с.

3.Сметанин С.В., Шрагер Г.Р., Якутенок В.А. Численное исследование слияния капель вязкой жидкости // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. — 2000. — № 6. — С. 27—33.

4.Beysens D.A., Andrieu C., Nikolayev V.S., Pomeau Y. Coalescence of sessile drops // J. Fluid Mech. — 2002. — Vol. 453. P. 427—438.

5.Hopper R.W. Coalescence of two-equal cylinders — exact results for creeping viscous plane flow driven by capillarity // J. Am. Ceram. Soc. — 1984. — Vol. 67. — P. 262—264.

6.Hopper R.W. Coalescence of two viscous cylinders by capillarity: part II, shape evolution // J. Am. Ceram. Soc. — 1993. — Vol. 76. — P. 2953—2960.

7.Hopper R.W. Plane stokes flow driven by capillarity on a free surface // J. Fluid Mech. — 1990. — Vol. 213. — P. 349—375.

8.Menchaka-Rocha A., Martinez-Davalos A., Nunez R., Popinet S., Zaleski S. Coalescence of liquid drops by surface tension// Phys. Rev. E. — 2001. —Vol. 63. — 046309.