ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ РЕШЕТОЧНЫХ СИСТЕМ

DISTRIBUTION FUNCTIONS OF SIMPLE LATTICE SYSTEMS

Vladimir Pilipenko

candidate of Science, professor of Tyumen State University,

Russia, Tyumen

АННОТАЦИЯ

Методом перехода к сопряженному уравнению Боголюбова получены уравнения для частичных функций распределения решеточного газа с бинарным взаимодействием ближайших соседей. Приведены точные решения этих уравнений для унарной, бинарной и трехчастичной функций распределения системы в отсутствии внешнего поля.

ABSTRACT

Using Bogolyubov adjoint equation method, the result was obtained in form of equations for partical distribution functions of lattice gas with binary interaction of adjacent elements. For these equations, the accurate solution was calculated for unary, binary and three-particle distribution functions in case of external field absence.

Ключевые слова: решеточные системы; производящий функционал; частичные функции распределения. 

Keywords: lattice systems, generating functional, particle distribution functions.

Простые решеточные системы характеризуются тем, что в одном узле решетки находится не более одной частицы. В зависимости от типа и размерности решетки, характера взаимодействия, решеточные модели имеют различную физическую интерпретацию. Модель решеточного газа применялась для изучения фазового перехода жидкость - газ [1], для изучения явления локализованной адсорбции на подложке, имеющей регулярную кристаллическую структуру [2]. Решеточная модель полимеров оказалась полезной для объяснения эффектов упорядочения сложных молекул в растворах и на поверхности кристалла.

Важными характеристиками статистических систем являются частичные функции распределения, через которые выражаются термодинамические свойства систем. Существующие методы решения уравнений для частичных функций распределения являются приближенными, основанными на диаграммных разложениях [2]. В настоящей работе получены точные выражения для частичных функций распределения ν-мерной решеточной системы с бинарным потенциалом взаимодействия ближайших соседей вдоль одного направления, когда в узле решетки может находиться не более одной частицы. Чтобы построить решение уравнения Боголюбова [3], которому удовлетворяет производящий функционал частичных функций распределения рассматриваемой системы, мы используем метод переход к сопряженному уравнению Боголюбова. Этот метод подробно изложен в работе [4].

Рассмотрим систему бесконечного числа одинаковых частиц классической статистической физики, которые находятся в узлах ν-мерной решетке . В узле может находиться не более одной частицы. Конфигурацию частиц на решетке опишем функцией N на решетке  со значениями из множества   Потенциальная энергия взаимодействия U(N) частиц имеет вид

где  – значение функции N в точке , потенциал внешнего поля  может принимать бесконечное значение и удовлетворяет условию 

а бинарный потенциал , когда расстояние между узлами вдоль первой координаты узлов равно единице, а остальные координаты узлов совпадают.  Если расстояние между узлами равно нулю, то бинарный потенциал равен бесконечности, что обеспечивает невозможность находиться в узле более одной частицы. В остальных случаях бинарный потенциал равен нулю. Для такого потенциала справедливо условие регулярности

Производящие функционалы гиббсовских распределений рассматриваемой решеточной системы лежат в банаховом пространстве  аналитических на  функционалов

с конечной нормой 

и удовлетворяют уравнению Боголюбова

с условием нормировки:

Здесь использованы обозначения: , z – активность,  , , ,  - функциональная производная,  – значение функции  в i-ом узле.

Уравнение Боголюбова (5) эквивалентно системе уравнений

Для рассматриваемых простых решеточных систем можно выбрать α таким, чтобы ограниченные операторы  действовали в одном и том же пространстве . Построим банахово пространство  двойственных функционалов

с нормой       , где    – значение функции   в i-ом узле. Двойственность пространств  задается билинейной формой

Используя определение сопряженного оператора

получим в явном виде сопряженные операторы уравнения Боголюбова

Здесь  - оператор обнуления i-ой переменной, .

Решения уравнения Боголюбова (5) лежат в пересечении ядер операторов  и ортогональны объединению образов сопряженных операторов

Достаточно рассматривать систему уравнений (12) на множестве, состоящем из собственных функций оператора   с ненулевыми собственными значениями, поскольку линейная оболочка этого множества совпадает с объединением образов сопряженных операторов .

Собственные значения и собственные функции операторов найдем, решая уравнение

Собственные значения равны: , где ,  а собственные функции имеют вид:

 n=0,1,2,3;  и равны:.

Носитель функции N для первой координаты узлов при совпадающих остальных координатах лежит во множестве

а функции  имеют вид

Явный вид функций   мы не приводим, поскольку в дальнейшем он нам не понадобится. Запишем уравнения для частичных функций распределения. Введем новые обозначения

Используем формулу (12) и следующие за этой формулой замечания, получим:

Здесь

Условие нормировки для уравнений (15) имеет вид

Рассмотрим случай бесконечной системы, когда внешние поля отсутствуют. В этом случае   и решение системы уравнений (15) будет трасляционно-инвариантным. Выпишем уравнения из (15) с произвольным узлом i и финитной функцией Функция равна единице в узле i+j и равна нулю в остальных узлах. В силу трансляционной инвариантности частичных функций распределения будем иметь Воспользуемся этим при выписывании уравнений:

В этих уравнениях введены обозначения: .  Выразим    и    через частичные функции распределения, записанные в правых частях уравнений

Преобразование от j к j+1 является неоднородным из-за  Чтобы исключить  в итерационном процессе, найдем  из этих уравнений и подставим в следующую итерацию от j+1 к j+2. Получим следующую систему уравнений

которую можно записать в виде преобразования в пятимерном пространстве

Здесь  - вектор в пятимерном пространстве, для компонент которого введены обозначения

а матрица оператора преобразования S имеет вид

Собственные значения и собственные векторы оператора S имеют вид

Здесь                                             ,

H и Q – произвольные константы. Собственные векторы S не образуют базиса, так как   линейно зависимы. Для построения базиса найдем в собственном подпространстве  корневой вектор 

Решение этого уравнения имеет вид .

Векторы   образуют базис в пятимерном пространстве, где действует оператор S.

Решение системы уравнений (19) будет определено, если известен начальный вектор . Разложим вектор по построенному базису

Из условия ограниченности частичных функций распределения следует обращение в нуль коэффициентов  и  , так как

Поэтому начальный вектор лежит в трехмерном подпространстве

Запишем уравнения, которым удовлетворяет начальный вектор  . Это уравнения системы (15) с N=0, а также уравнения (17) и (18), где нужно положить j=2. С учетом трансляционной инвариантности частичных функций распределения, нормировки (16) и обозначений вектора  получим

Подставим в эту систему уравнений разложение  по базису (20). Первые два уравнения становятся линейно зависимыми и остается четыре уравнения для определения четырех неизвестных величин  В результате решения полученной системы эти величины имеют вид

Решение системы уравнений (19) мы записали в виде

где вектор   определяется разложением (20) с найденными коэффициентами (21)-(24). Переходя в обозначениях к частичным функциям распределения, получим для них явные выражения

Здесь r – расстояние между узлами,

Решение (27)-(28) позволяет легко получить асимптотики при , а именно

Полученные асимптотики есть хорошо известное условие ослабления корреляций. Для построения термодинамики рассмотренной системы достаточно унарной (26) и бинарной (27) функций распределения. Поведение бинарной частичной функции распределения различно в зависимости от взаимодействия между частицами. В случае притяжения h>1 коэффициенты , . Поскольку вне зависимости от h коэффициенты  положительны, двухчастичная функция распределения  будет иметь максимальное значение при , а затем монотонно убывает, стремясь к асимтотическому значению . Если между частицами действуют силы отталкивания h<1, то коэффициенты  и бинарная функция распределения  осциллирует возле асимптотического значения . Максимальное значение функция достигает на расстоянии  между частицами.

Список литературы:

1. Yang C.N., Lee T.D. Statistical theory of equations of state and phase transitions. 1. Theory of condensation.-Phys. Rev., 1952, vol.87, p. 404- 409.
2. Шулепов Ю.В., Аксененко Е.В. Решеточный газ. - Киев, Наукова думка,  1981, - 268 с.
3. Пилипенко В.А. Метод производящего функционала в классической статистической физике //сб. статей «Естественные и математические науки в современном мире», №11-12(35), Новосибирск, «СибАК», 2015, с.112-116
4. Пилипенко В.А. Сопряженное уравнение Боголюбова для классических непрерывных систем //сб. статей «Естественные и математические науки: теория и практика», №1(1), Новосибирск, «СибАК», 2017, с.49-55