РАСЧЕТ ГИБКИ ТРУБЫ ТОЛКАЮЩЕЙ СИЛОЙ НЕПРИВОДНЫМ ВОДИЛОМ

THE CALCULATION OF THE FLEXIBLE TUBE PUSHING FORCE NON-CARRIER

Alexey Zaitsev

аssistant of mechanical engineering technology OSU they. I.S. Turgenev

АННОТАЦИЯ

Предложена аппроксимация формы изогнутой оси трубы, отвечающая условию равенства внешнего момента моменту внутренних сил, которая используется для расчета силы, проталкивающей заготовку через зону гибки; представлены уравнения, связывающие параметры водила с получаемыми размерами изделий.

ABSTRACT

An approximation of the shape of the curved axis of the pipe is proposed, which meets the condition of equality of the external moment to the moment of internal forces, which is used to calculate the force pushing the workpiece through the bending zone; equations relating the parameters of the carrier with the resulting dimensions of the products are presented.

Ключевые слова: холодная гибка труб, неизвестная форма изогнутой оси, статическая неопределимость сил, энергетические методы расчета.

Keywords: cold bending of pipes, unknown shape of the curved axis, static uncertainty of forces, energy calculation methods.

Гибке водилом обычно подвергают трубы из малопластичных материалов, нагревая узкую зону токами высокой частоты [1 – 3]. Гибка водилом для холодного деформирования, оправдывается малыми затратами на технологическую оснастку, в составе которой отсутствуют традиционные копиры для наматывания, придающие изгибаемому участку трубы заданную форму [4 – 5]. При большом диаметре трубы их изготовление не рентабельно, в связи с этим возникает необходимость математического моделирования свободного изгиба и расчета размеров изделия. Важное значение имеет также определение внешней силы, прикладываемой к водилу через трубу [6 – 8].

Наличие водила, жестко связанного с изгибаемой заготовкой на выходе из роликового устройства, намного усложняет определение силовых и геометрических параметров процесса. Так как добавляются компоненты внешней нагрузки N₂ и M₂, что делает их статически неопределимыми. Зона 1-2, увеличивается одновременно с поворотом водила, рисунок 1.

Рисунок 1. Расчетная схема силовых параметров с Г-образной формой поворотного звена водила

Изогнутая ось трубы состоит из участков 0-1 и 1-2, первый из них при малых значениях φ₁, не превышающих 0,1, практически сливается с осью абсцисс. К нему применимо уравнение

                                                           (1)

Интегрирование этого уравнения дает формулы геометрических параметров точки 1:

;  ; .                (2)

Использование аналогичного решения в параметрах участка 1-2 невозможно по двум причинам. Во-первых, неизвестен момент М₂; Во-вторых на участке 1-2 имеет место большое изменения производной прогиба оси трубы у по х, что не позволяет пренебрегать ею – как это делалось ранее – в формуле кривизны:

.                                                              (3)

В подобных ситуациях остается лишь прибегнуть к аппроксимации координатной функции одного из геометрических параметров, в данном случае аппроксимируем зависимость радиуса оси R от координаты φ – угла поворота сечений трубы на участке 1-2:

 .                                                    (4)

Сочетание линейной и логарифмической компонент предлагаемой функции сообщает монотонное изменение R по φ (в этом отношении она выгодно отличается от полиномиальной). Выбор в качестве аргумента угловой координаты φ вместо линейной х позволяет обойти проблему интегрирования зависимости (3), которое становится ненужным.

Значение R₁ радиуса оси в точке 1 фигурирует в формулах (2). Для определения прочих параметров p и q аппроксимирующей функции используем систему уравнений:

;     .                               (5)

Они основаны на соотношениях: dx = Rcosφdφ; dy = Rsinφdφ и представлены в программе MathCAD в развернутом виде согласно (4). При заданных углах φ₀ и φ₂ начального и конечного положений водила координаты точки 2 известны:

;

.                                                  (6)

Реализация вычислений х₁, у₁, φ₁ по формулам (2) и параметров функции (4) из уравнений (5) связана с подбором неизвестного значения радиуса R₁ оси трубы в точке 1, удовлетворяющего некоторому условию, подтверждающему корректность предложенной аппроксимации. В качестве такового принимаем равенство внешнего момента М₂ (см. рисунок 1) моменту  внутренних сил, который выражается интегралом . Его значение подсчитывается согласно принятому выражению  интегрированием по половине площади поперечного сечения с неотрицательным синусом:

.                                                    (7)

Радиус оси трубы в точке 2 согласно (4): .

Процедура подбора значения R₁, удовлетворяющего условию , содержит повторяющиеся циклы, результаты расчетов, содержащихся в каждом из них, служат основанием для корректировки подбираемой величины: при  требуется увеличивать R₁, и наоборот.

В каждом цикле вышеупомянутой процедуры подбора радиуса R₁ происходит вычисление внешнего момента М₂ из уравнений статического равновесия. Согласно схеме на рисунке 1:

;                                   

;                             (8)

.                           

Система содержит 6 неизвестных N₀, N₂, Q₀, Q₁, Q₂ и М₂, число это сокращается благодаря фиксированному (в рамках цикла) значению радиуса R₁. Вычисляем  аналогично (см. формулу (7)) и заменяем реакцию Q₀ отношением .  Не столь очевидную связь силы N₂ с моментом М₂ обнаруживает следующее рассуждение. Поворотное звено водила упрощенной формы в виде отрезка прямой, жестко соединенного с очертанием зажима, подобно консольной балке, изгибаемой моментом и поперечной силой. Они равны по величине и обратны по направлению М₂ и N₂, см. рисунок 1. Суммарный изгибающий момент уменьшается по длине балки R_В и должен равняться нулю в центре шарнира поворотного звена, следовательно, N₂ = М₂/R_В.

С учетом изложенного число неизвестных системы уравнений (8) сократилось до четырех – это N₀, Q₁, Q₂ и М₂. Силу N₀ определяем, исходя из ее работы W на пути

,                                                     (9)

где R – принятая функция (49).

Работу внешней силы приравниваем энергии пластического деформирования в пределах объема V изгибаемой трубы , или – в развернутом виде

.        (10)

В предлагаемом ниже примере расчета гибки трубы с водилом использовали исходные данные: = 60°; = 0,2 (11,5°); L₀ = 300 мм; L = 250 мм, радиус водила R_В = 900 мм; размеры трубы: d = 300 мм; t = 5 мм, материал сталь 20, механические характеристики: n = 0,161; А =748 МПа; σ₀₂ = 300 МПа.

Последовательность действий и промежуточные результаты:

- расчет координат точки 2 при  = 60° по формулам (6);

- задание радиуса R₁ и вычисление геометрических параметров участка 0-1: х₁, у₁,  по формулам (2);

- определение параметров р, q аппроксимации участка 1-2 изогнутой оси трубы из уравнений (5), их развернутая форма:

;                             

;                              

- определение пути внешней силы S по формуле (9) и энергии пластического деформирования U согласно выражению (10);

- расчет внешней силы N₀ = U/S и решение системы уравнений равновесия (8) относительно силовых параметров Q₁, Q₂ и М₂;

- сравнение найденного значения момента М₂ с подсчитанным  по формуле (7) и – при необходимости – корректировка R₁ с повторным выполнением перечисленных действий, исключая первое.

Момент  слабо коррелирует подбираемому значению радиуса R₁ оси в точке 1, тогда как М₂ может изменяться в разы. Соблюдение равенства  с погрешностью до 5% достигается при определенном навыке за 3-4 итерации. Возможно ее дальнейшее уменьшение – до 1% и менее, как будет показано ниже. Однако это не имеет практического смысла из-за приближенного характера решением задачи в целом. Помимо произвольного задания функции (4), позволяющей связать силовые факторы процесса с геометрическими, отметим также не лишенный произвола выбор точки 2 в вышеуказанном условии . Соблюдая его, мы игнорируем соотношение аналогичных моментов в других точках участка оси трубы 1-2.

Итоговые результаты расчета по исходным данным, приведенным выше: R₁ = 730 мм; R₂ = 1232 мм;  = 2,206∙10⁵ Нм; М₂ = 2,206∙10⁵ Нм; момент в точке 1  = 2,4∙10⁵ Нм; внешняя сила N₀ = 246,8 кН; геометрические параметры участка 0-1 изогнутой оси: х₁ = 314,9 мм; у₁ = 2,3 мм;  = 0,06 рад. Параметры аппроксимации участка 1-2: а = -268,19 мм; q = 268,86 мм.

На рисунке 2 приведены графики, отражающие зависимости силовых факторов от угла гибки, кривая 1 приблизительно соответствует трем из них: толкающей силе N₀, отнесенной к максимальному упругому сопротивлению трубы осевому сжатию σ₀₂πdt, примерно такой же силе N₂ и пропорциональному ей моменту М₂; реакции Q₁ и Q₂ отнесены к той же величине, что и прочие силы.

Рисунок 2. Изменение относительных значений N0, N2, М2 (1), Q2 (2) и Q1 (3)  в процессе гибки трубы из стали 20 диаметром 300 мм, с толщиной стенки 5 мм, вылетом L = 250 мм, радиус траектории водила 900 мм

Сплошными линиями показаны зависимости в промежутке значений  от 15° до 65°. Дальнейшее увеличение φ сопровождается уменьшением рассчитанного значения момента М₂, что означает появление очага разгрузки и требует корректировки математической модели. Пунктирные продолжения кривых условны, они должны соответствовать условиям статического равновесия. Сила N₀ уравновешивалась реакциями N₂ и Q₂, последняя будет увеличиваться, поскольку ее горизонтальная составляющая станет единственным противовесом факторам, обратного направления. Уменьшение реакции Q₁ очевидным образом обусловлено изменением направлений N₂ и Q₂.

Предлагаемая упрощенная математическая модель позволяет подбирать параметры водила, обеспечивающие заданные размеры изделия, рассчитывать подачу трубы в зону гибки и требуемую для этого силу. Она реализуется в вычислительной среде типа MathCAD и может найти практическое применение в различных отраслях машиностроения.

Список литературы:

1. Альбов, И.Н. Гнутье труб с местным зональным нагревом / И.Н. Альбов, А.И. Гальперин // М.: ВНИИЭГАЗПРОМ, 1969. – 50 с.
2. Долгополов, М.И. Методы борьбы с основными дефектами при гибке труб с узкозональным индукционным нагревом / М.И. Долгополов,  В.А. Корнилов // Технология машиностроения, 2016, №12. – С. 15 – 19.
3. Гальперин, А.И. Машины и оборудование для изготовления криволинейных участков трубопроводов / А.И. Гальперин // М.: НЕДРА, 1983. – 203 c.
4. Марьин, Б.Н. Изготовление трубопроводов гидрогазовых систем летательных аппаратов / Б.Н.Марьин, В.М.Сапожников, Ю.Л.Иванов и др. // М.: Машиностроение, 1998. –  400 с.
5. Никитин, В.А. Проектирование станков холодной и горячей гибки труб / В.А. Никитин // СПб.: ОАО «ЦТСС», 2011. – 236 с.
6. Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести / Н.И. Безухов // М.: «Высшая школа», 1968. – 512 с.
7. Муштари, Х.М. Нелинейная теория упругих оболочек / Х.М. Муштари, К.З. Галимов // Казань: Физико-технический институт Казанского филиала АН СССР, 1957.
8. Власов, В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике / В.З. Власов // М. – Л.: ГИТТЛ, 1949. – 784 с.