ОЦЕНКА РИСКОВ В СТРАХОВАНИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОСТЕЙШИХ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МОДЕЛЕЙ

​RISK ASSESSMENT IN INSURANCE USING SIMPLE PROBABILITY MODELS

Zubar Vladislav Sergeevich

Student, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

 Republic of Belarus, Minsk

Matiukh Artemi Sergeevich

Student, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics,

 Republic of Belarus, Minsk

Fedosyuk Lyudmila Petrovna

Associate professor, Belarusian State University of Informatics and Radioelectronics, Republic of Belarus, Minsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены основные вероятностные модели, применяемые при оценке страховых рисков: биномиальное, пуассоновское и экспоненциальное распределения. Показано, как данные модели используются для количественного анализа вероятности наступления страховых событий, их частоты и размера убытков. Приведены примеры расчётов математического ожидания, дисперсии и вероятностей, иллюстрирующие практическое применение моделей в страховании. Отмечена роль теории вероятностей как основы актуарной деятельности и инструментов управления рисками. Работа демонстрирует взаимосвязь между статистическими методами и финансовыми решениями страховщиков.

ABSTRACT

The article discusses the main probability models used in assessing insurance risks: binomial, Poisson, and exponential distributions. It shows how these models are used for quantitative analysis of the probability of insurance events, their frequency, and the size of losses. Examples of calculations of mathematical expectation, variance, and probabilities are given to illustrate the practical application of models in insurance. The role of probability theory as the basis of actuarial activities and risk management tools is noted. The work demonstrates the relationship between statistical methods and financial decisions of insurers.

Ключевые слова: биномиальное распределение, пуассоновское распределение, экспоненциальное распределение, актуарная деятельность.

Keywords: binomial distribution, Poisson distribution, exponential distribution, actuarial science.

Введение. Страхование – это отношения по защите интересов физических и юридических лиц, а также государства при наступлении определенных страховых случаев за счет денежных фондов, формируемых страховщиками из уплаченных страховых премий. Риск является основополагающим аспектом страхования, выступая в качестве краеугольного камня для понимания потенциальных угроз и возможностей. Актуарная деятельность – это анализ и количественная финансовая оценка рисков и связанных с ними финансовых обязательств, а также разработка и оценка методов управления этими рисками. Актуарии используют математические и статистические методы для расчета тарифов, оценки финансовых обязательств. Основу для актуарной деятельности составляет теория вероятностей. Понимание основ вероятности позволяет страховщикам принимать решения на основе данных и разрабатывать более точные модели ценообразования.

Основная часть.  Оценка страхового риска базируется на математическом фундаменте теории вероятностей, поскольку страхование по своей сути представляет собой управление случайным накоплением исходов. В страховании риск означает вероятность наступления страхового события и связанных с этим финансовых потерь. Для количественной оценки риска строят вероятностные модели, описывающие количество и размер убытков. При этом различают модели индивидуального риска (по каждому договору) и коллективного риска (по портфелю договоров). В простых случаях предполагается, что каждый договор ведёт себя независимо, и используют стандартные законы распределения из теории вероятностей. Например, при страховании жизни обычно может произойти не более одного страхового случая за период действия договора, а при страховании автомобилей (автокаско, ОСАГО) – несколько. Теория рисков начинается с построения моделей числа страховых случаев и их размеров.

Различают простые и более сложные модели для оценки рисков в страховании. К простым можно отнести биномиальное распределение, распределение Пуассона, экспоненциальное распределение. Примером сложных моделей являются коллективная модель риска, логнормальная модель ущерба. Простые модели, в отличие от сложных, предполагают независимость событий и одинаковую вероятность для всех клиентов. Рассмотрим каждую простейшую модель по отдельности.

Биномиальное распределение описывает число наступлений события в серии из n независимых испытаний при одинаковой малой вероятности наступления события p в каждом испытании. В страховом контексте такое распределение применимо, если в каждом договоре событие может произойти не более одного раза, и все договоры однородны. Например, страхование автомобиля от угона или страхование жизни предполагает фиксированный ущерб при наступлении события, и каждый договор либо порождает один случай (успех), либо нет (неудача). В этом случае число X наступивших событий (исков) в портфеле из n независимых договоров распределено биномиально:

где k – количество наступивших событий;

n – количество независимых событий.

Его математическое ожидание и дисперсия равны соответственно M(X) = np, D(X) = np(1-p). Биномиальная модель предполагает, что страховой случай может реализоваться в каждом договоре лишь один раз, и вероятность его одинакова для всех договоров.

Когда в коллективе много договоров, а вероятность события по каждому очень мала, биномиальное распределение хорошо аппроксимируется распределением Пуассона. Пуассоновскую модель обычно применяют к числу страховых случаев за фиксированный промежуток времени при условии, что события «редкие» и происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью. Если предположить, что n договоров очень велико, p стремится к нулю и l = np фиксировано, то число исходов X имеет распределение Пуассона с параметром l:Вероятности при таком распределении задаются формулой:

где k – количество наступивших событий;

l – ожидаемое количество событий в заданном интервале.

Ключевое ограничение Пуассона – равенство математического ожидания и дисперсии M(X) = D(X) = l. Если в эмпирических данных дисперсия существенно больше математического ожидания, используют обобщения (например, отрицательное биномиальное).

Экспоненциальное распределение – непрерывное распределение, моделирующее время между последовательными событиями или величину убытков при «памяти без памяти». Случайная величина X имеет экспоненциальный закон с параметром l > 0 (интенсивностью), если её плотность:

где f_X(x) - функция плотности вероятности;

l – интенсивность (среднее число событий в единицу времени);

x – случайная величина.

В этом случае , . Известно, что экспоненциальное распределение – основной закон для времени до следующего события при постоянной интенсивности. В страховании его применяют, например, для описания размера выплаты по одному случаю (установка «среднего» ущерба) или времени между авариями.

Для того чтобы полностью понять, каким образом данные модели используются при оценке рисков страхования, разберём следующие примеры.

Допустим, страховая компания обслуживает n = 200 домовладельцев, и вероятность пожара в каждом доме за год оценивается как p = 0.02. Тогда число домов, в которых может произойти пожар, X имеет биномиальное распределение с параметрами 200 и 0.02. Его математическое ожидание M(X)=200*0.02=4, дисперсия D(X)=200*0.02*0.98=3.92. Вероятность того, что ни в одном доме пожара не будет (т.е. X=0), равна:

Соответственно, вероятность хотя бы одного пожара в портфеле равна 1 - P(X=0) = 0.9823. Такие вычисления позволяют оценить риск массового неблагоприятного события (в данном случае массового возгорания). Также с их помощью можно оценить вероятности наступления определённого числа страховых случаев в портфеле договоров.

Используя пуассоновскую оценку риска, предположим, что страховая компания страхует 1000 домов, и вероятность пожара для одного дома равна p = 0.005. Тогда среднее число пожаров за год равно:

Зная данную величину, можно рассчитать, например, вероятность, что произойдет ровно k событий, или же, что произойдет не меньше k событий. Например, вычислим вероятность, что в этом году будет 8 и более пожаров:

Таким образом, вероятность повышенного убытка (много пожаров) составляет примерно 13%. Такой анализ позволяет страховщику оценить вероятность высокой нагрузки на выплаты. При расчёте чистой премии обычно предполагают, что ожидаемые выплаты пропорциональны λ, а резервируют дополнительно «запас по риску» на вариативность (которая равна   (по стандартному отклонению).

Применяя экспоненциальную модель, предположим, что средний размер возмещения по малым искам μ=1000 руб., т.е. . Тогда вероятность, что конкретный убыток превысит, например, 2000 руб., равна:

В таблице 1 показаны вероятности превышения для экспоненциальной модели с μ=1000 руб.

 Таблица 1.

Вероятности превышения для экспоненциальной модели с μ=1000 руб.

Такая оценка помогает страховой компании определять, как часто случаются «большие» убытки, и сколько средств нужно зарезервировать.

Выводы. Биномиальное, пуассоновское и экспоненциальное распределения – простейшие модели, широко используемые для оценки страховых рисков. Биномиальное описывает число событий при конечном числе испытаний, пуассоновское – число событий в непрерывном потоке при заданной интенсивности, а экспоненциальное – время между событиями (или размер убытка при допущении без памяти). Каждая модель имеет понятную формулу для вероятностей и простые параметры (см. формулы выше). Приведённые примеры показывают, как с конкретными данными (число полисов, вероятность события, среднее число событий λ или средний размер μ) можно вычислить вероятности различных сценариев и, таким образом, оценить риск (вероятности «разорительных» результатов, оценить средние потери и их разброс).

Список литературы:

1. Миронкина Ю. Н. К вопросу статистического исследования риска в автотранспортном страховании [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/k-voprosu-statisticheskogo-issledovaniya-riska-v-avtotransportnom-strahovanii (дата обращения: 10.11.2025
2. Орлов А. И. Подходы к общей теории риска [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=ubs&paperid=633&what=fullt (дата обращения: 10.11.2025)
3. Романова Е. М. Теории вероятности и полезности в страховании [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://cyberleninka.ru/article/n/teorii-veroyatnosti-i-poleznosti-v-strahovanii (дата обращения: 10.11.2025)
4. Чернова Н.И. «Теория вероятностей: Учебное пособие» [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://tvims.nsu.ru/chernova/sibguti/tv-sibguti.pdf (дата обращения: 09.11.2025)