ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ В МЕДИКО-БИОЛОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ

INVERSE PROBLEMS IN MEDICAL AND BIOLOGICAL PRACTICE

Anastasiia Grigoriian

 trainee teacher, Belarussian Medical State University,

Belarus, Minsk

Dariia Sakhno

student, N.V. Sklifosovskiy Institute of Clinical Medicine,

Russia, Moscow

Olga Grigoriian

student, Voronezh State Medical University named after N.N. Burdenko,

Russia, Voronezh

АННОТАЦИЯ

В работе приводятся результаты исследования практического применения математического моделирования – решения обратных задач в биологии и медицине. Практика применения моделирования имеют множество неизвестных или неявно заданных параметров, что усложняет процесс поиска оптимального решения и приводит к нелинейным результатам, поэтому в работе проведен анализ поиска достоверности в решении сложных задач.

ABSTRACT

The paper presents the results of a study of the practical application of mathematical modeling - solving inverse problems in biology and medicine. The practice of applying modeling has many unknown or implicitly specified parameters, which complicates the process of finding the optimal solution and leads to non-linear results, therefore, the paper analyzes the search for reliability in solving complex problems.

Ключевые слова: обратная задача, некорректная задача, математическая модель, медико-биологическая практика.

Keywords: inverse problem, ill-posed problem, mathematical model, biomedical practice.

Обратные прикладные задачи в медицинской практике — явление не редкое, и представляют собой крайне эффективный инструмент решения многих задач. В процессе развития вычислительной техники задача моделирования сложных процессов, в том числе и биологических, посредством решения обратных задач, становится все более популярной.

Цель исследования: является актуализация методологии применения аппарата обратных задач в медико-биологических исследованиях.

Задачи исследования:

- изучение и обработка актуального теоретического материала по математическому моделированию;

- исследование способов математического моделирования обратных задач.

Известно, что большинство методов диагностики заболеваний и травм, по сути, являются решением обратной задачи, например вся компьютерная томографии основана на решение обратных задач.

Однако большинство процессов в медико‑биологической практики имеют множество неизвестных или неявно заданных параметров, что усложняет их моделирование и приводит к нелинейным результатам. Неточность в решении сложных задач является основной проблемой обратных задач.

Целью исследования является актуализация методологии применения аппарата обратных задач в медико-биологических исследованиях.

Аппарат обратных задач представляет собой процесс исследования поведения системы, в процессе которого наблюдатель изучает реагирование системы на внешнее воздействие. Оценка получаемого отклика системы позволяет устанавливать исходные параметры системы. Такие типы решений являются частью решения обратных задач, в ходе которых происходит обратный анализ по причинно-следственной связи. В данном случае проводится поиск неизвестных причин по известным следствиям. При этом чаще всего, поиск идет неизвестных коэффициентов правой части решения – начальных условий дифференциальных уравнений. А в качестве «следствий» (фактически отклик системы) выступают функционалы от решения дифференциального уравнения. Область применения обратных задач обширна ввиду их актуальности для решения множества научных проблем. В силу активного роста вычислительных возможностей современной компьютерной техники (в том числе и применение суперкомпьютеров) обозначенная область значительно расширяется. Данный процесс обусловлен тем, что одним из самых доступных решений обратной задачи является – метод подбора (метод палеток). Фактически, исследователь, имея четкую и адекватную модель изучаемого явления (математически - численный метод решения прямой задачи поведения системы), используя метод подбора и меняя интересующие параметры модели, может целенаправленно решить обратную задачу удовлетворяющим его решением.

Биологические системы на всех уровнях организаций моделируются в целях тестирования гипотез или прогнозирования будущих состояний этих систем, как при нормальном развитии, так и вследствие внешних возмущений или экспериментов. В зависимости от поставленной задачи модели формулируются с разной степенью сложности. Моделирование применяется для получения некоторых вероятных вариантов развития события – прогнозов. В зависимости от характера модели эти прогнозы имеют различный уровень достоверности, который может поддаваться количественной оценке с помощью соответствующей методологии. Это прямая задача [1]. Прежде чем модель может быть использована для прогнозирования, она должна быть соответствующим образом параметризована. Параметризация модели, созданной по эмпирическим данным, включащим в себя различные задачи, зависящие от точности математической формулировки модели, представляет собой обратную задачу [2]. В зависимости от конкретной биологической системы и ее точного представления, решение обратной задачи варьируется от простой, до невозможной. Решения для обратных задач представляют значительные проблемы для любых, за исключением самых простых, биологических систем. В то время как большая часть усилий в области системной биологии была сосредоточена на интерфейсе сложных биологических систем и высокопроизводительных данных, биологические проблемы в других масштабах описания и триангулированные гораздо более рассеянными эмпирическими наборами данных получили относительно мало внимания [3].

Таким образом, для более точной формулировки обратной задачи в контексте биологических систем необходимо учитывать такие факторы как: имеющиеся данные и их граничные значения, учет предварительных знаний о системе, которую пытаются моделировать, а также представление о наиболее удобном способе моделирования. Огромный класс моделей предлагает линейное представление биологических систем. При наличии достаточных данных задачи оптимизации, возникающие из соответствующих обратных задач, являются выпуклыми, что допускает одну глобальную оптимальную параметризацию. Нужно понимать, что такие представления являются выбором, сделанным проектировщиком модели, и что фактическая система может быть приблизительно линейной при очень ограниченных биологических операционных условиях, что является конкретным примером общего факта, что любое математическое представление реальности будет включать в себя упрощение и допущений. Такое локальное линейное представление, выполненное явно или неявно в процессе моделирования, является полезным инструментом, если признается, что как только система отклоняется от действительности этого приближения, модель может потерять любую потенциальную ценность и, следовательно, полезность, что почти всегда адекватно соотноситься с изучением биологических систем при воздействии внешних факторов (например: в условиях стресса, вызванных изменениями окружающей среды, болезнями и т. д).

В более широком плане проектировщик модели может также предположить, что, несмотря на существование большого числа локальных оптимумов, среди них есть наиболее предпочтительный. Пример такой ситуации возникает в проблеме свертывания белка, где, как правило, лучший локальный оптимум (самая низкая энергия) продвигается к глобальному оптимуму в пределах диапазона конформаций, представляющих интерес, и прогнозирует трехмерную конформацию последовательности аминокислот. В этой конкретной ситуации свертывание представляет собой процесс, который сам по себе оптимизирован, благодаря наличию сопровождающих белков на разных стадиях растущей основной последовательности аминокислот, и, таким образом, конечный продукт «ориентируется» на локальный энергетический минимум. Поэтому приблизительная свертка в качестве локальной оптимизации проблемы является разумным решением. Несмотря на знание о существовании большого количества других минимумов, модель строится на основе биологического процесса, а не на основе математической функции. Такая конформация, хотя и стабильная при малых возмущениях, характерных для стандартной биологической функции, не связана с более крупными, биологически нерелевантными возмущениями, такими как нагрев за пределами температур, совместимых с жизнью.

Хотя методы оценки выпуклых или «почти» выпуклых систем многочисленны, хорошо поняты, описаны и внедрены в основные программные пакеты, они имеют ограниченное применение в оценке сложных биологических систем. Скорее, нас интересует класс проблем, в которых существует множество, потенциально бесконечно много решений обратной задачи, то есть некорректные проблемы, и при этом нет четкого биологического указания относительно того, какое из этих решений является биологически неправдоподобным. Существуют методы построения ансамблевых моделей, где каждый член ансамбля является параметрическим вектором для данной модельной структуры [1, 4]. Моделирование ансамблей, хотя и требует относительно больших вычислительных мощностей, представляет собой наиболее удовлетворительное решение некорректных обратных задач на сегодняшний день [3]. Этот комплекс методов активно развивается в контексте сложных биологических систем, хотя и остается ряд открытых проблем, которые еще предстоит решить.

Обратные задачи неразрывно связанны с медицинской и биологической практикой, любая постановка диагноза по сути своей является решением обратной, и зачастую некорректной задачи. В биологии эволюционная теория по сути своей является одной сложной обратной задачей. И пускай решение обратных задач в большинстве своём не даёт конкретного ответа на поставленные задачи, обратные задачи являются мощнейшим инструментом изучения разнообразных явлений. С развитием вычислительной техники наступил золотой век обратных задач и возможно при должном математическом аппарате, в будущем решение обратных задач позволит диагностировать патологии до того, как больной почувствует какой-либо дискомфорт.

Список литературы:

1. Кабанихин C. И. Обратные задачи естествознания и компьютерное моделирование / C. И Кабанихин // Информационные технологии. – 2013 – № 5 – C. 33–43.
2. Tarantola A. Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter Estimation / A. Tarantola – SIAM, 2005. – 352 p.
3. Clermont G. The inverse problem in mathematical biology / G. Clermont, S. Zenker // Mathematical Biosciences. – 2015. – Vol. 260 – P. 11–15.
4. Tony T. Parameter inference and model selection in signaling pathway models / T. Toni, M. P. Stumpf // Methods Mol. Biol. – 2010. – Vol. 673 – P. 283–295.