ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИЧЕСКОЙ ПРОВОДИМОСТИ МИКРОКАНАЛОВ В КНУДСЕНОВСКОМ ПРЕДЕЛЕ С УЧЕТОМ СТРУКТУРЫ ПОВЕРХНОСТИ

Белов Антон Александрович

аспирант, кафедра Молекулярной физики, УрФУ, г. Екатеринбург

E-mail: fortoha@gmail.com

Борисов Сергей Федорович

д-р физ. - мат. наук, профессор, УрФУ, г. Екатеринбург

Е-mail: sergei.borisov@usu.ru

Кузнецов Максим Алексеевич

студент, кафедра Молекулярной физики, УрФУ, г. Екатеринбург

E-mail: maxbsp@mail.ru

Породнов Борис Трифонович

д-р физ. - мат. наук, профессор, УрФУ, г. Екатеринбург

Е-mail: porodnov@dpt.ustu.ru

Ухов Александр Ильич

студент, кафедра Молекулярной физики, УрФУ, г. Екатеринбург

Е-mail: sanek_uhov@mail.ru

В настоящее время потребности науки и практики при решении таких проблем, например, как создание высоковакуумных производств со сверхчистой атмосферой, обеспечение режима заданного теплообмена летательных аппаратов или расчета газодинамического сопротивления при внешнем и внутреннем обтеканиях различных объектов требуют учета параметров, характеризующих структуру и химический состав рабочей поверхности. Влияние эти параметров на газодинамические характеристики потоков вблизи поверхности в существенной мере зависит от степени разреженности газа, характеризуемой числом Кнудсена Кn. При увеличении Кn роль взаимодействия газ-поверхность и эффективность переноса энергии и импульса значительно возрастает, так как в этом случае межмолекулярные столкновения становятся несущественными по сравнению со столкновениями частиц с поверхностью. В так называемом кнудсеновском пределе (свободно-молекулярный режим течения или теплообмена, когда Кп →∞) эффективность переноса энергии и импульса в системе газ — поверхность полностью определяется процессами, происходящими на этой поверхности. Проблема учета взаимодействия газовых частиц с поверхностью при течении и теплообмене разреженного газа становится особенно актуальной в связи с разработкой в последние годы так называемых GASMEMS устройств и кнудсеновских компрессоров [4]. Это связано с тем, что при уменьшении габаритов подобных устройств параметры, характеризующие режим течения и теплообмена газа, также уменьшаются. При этом режим больших чисел Кнудсена достигается уже при сравнительно более высоких давлениях газа, когда адсорбционные процессы играют существенную роль в поверхностных взаимодействиях.

В [4] исследован процесс рассеяния молекулярного пучка, падающего на моделируемую шероховатую поверхность под заданным углом. Моделирование неровностей осуществлялось статистическими методами, что приближает получаемую структуру к тем, которые наблюдаются при атомно-силовой микроскопии реальных образцов. Разработанная процедура расчета позволила найти аналитический вид функций распределения по компонентам скоростей отраженных от поверхности частиц, получить лепестковые индикатрисы рассеяния, известные из экспериментов по рассеянию на поверхности моноэнергетических пучков частиц. Были также представлены результаты первых тестовых расчетов вероятности прохождения газовых частиц через короткие каналы с микрошероховатой поверхностью.

В данной работе представлены результаты систематического исследования влияния параметров микрошероховатости поверхности и доли диффузно-зеркального рассеяния частиц каждым элементом шероховатости на величину газодинамической проводимости цилиндрических капилляров произвольной относительной длины в кнудсеновском пределе.

Задача данной работы заключалась в усовершенствовании и модернизации программы моделирования прохождения разреженного газа через микроканал [4] заданной относительной длины L =l /R (l и R — длина и радиус соответственно). Это позволило существенно (до десятка раз) сократить затраты машинного времени при проведении численного эксперимента по определению зависимости проводимости микроканала от его относительной длины L, относительной средней высоты микрошероховатости h/R и доли ε диффузно- и доли 1 — ε зеркально-рассеянных частиц на поверхности. Использовался один из методов статистических испытаний Монте-Карло — метод пробной частицы [1].

Одним из основных этапов расчетной программы является моделирование поверхности на основе реальных образцов шероховатых материалов. Известно, что форма микронеровностей поверхности оказывает первостепенное влияние на характер движения разреженного газа вблизи поверхности. Однако, статистическое моделирование поверхности не всегда пригодно для решения подобной задачи, например, по методике в [3], пригодной больше для описания искусственной шероховатости регулярной структуры. В работе были использованы данные атомно-силовой микроскопии реального кремниевого образца размером 20х20 мкм (с базой данных N=400х400= 1,6-10⁵ измерений высоты) с высотой микронеровностей от нескольких до ~ 2000нм. По этим данным строилась карта высот с покрытием каждой из трёх соседних высот треугольником, который отождествлялся с элементом поверхности с диффузно-зеркальным рассеянием газовых частиц. Затем путём моделирования осуществлялось увеличение площади поверхности путем повторных зеркальных отражений имеющегося кремниевого образца до необходимой величины. Эта величина поверхности определялась относительной длиной I круглого капилляра, и затем она сворачивалась в цилиндр. Среднее значение радиуса капилляра вычислялось по выбранной относительной длине L с учётом среднего значения высоты шероховатости по формуле

                                                                                                     (1)

Длина l капилляра в (1) выбиралась из условия, чтобы она была на порядок больше средней длины свободного пробега газовых частиц, равной, напри­мер, для воздуха при нормальных условиях ~ 10^-4 см. В выбранном диапазоне расчётных значений относительных длин L=0-400 при абсолютных давлениях на порядок ниже атмосферного режим течения в таких каналах можно рассматривать свободномолекулярным (или кнудсеновским пределом, когда Кп››1 и расход газа при единичной разности давлений остается постоянным при изменении Кп).

Схематичное изображение шероховатой поверхности цилиндра с относительной длиной L и радиусом R (1), полученного описанным выше способом и имеющегося плоского кремниевого образца, представлено на рис. 1.

Рисунок 1. Схематическое изображение шероховатой поверхности цилиндра

Принято характеризовать шероховатость поверхности относительной шероховатостью , где  — средняя высота неровностей образца. Оценка влияния средней высоты неровностей на вероятность прохождения частиц в канале проводилась для значений  = 0,1, 0,2. Наибольшее значение  ограничено требованием выполнения неравенства h_макс < R (таких высот наблюдалось около 10 из ~ 10⁵). Кроме того, при выбранных значениях  можно полагать, что поправка на кривизну поверхности, связанную с переходом от плоской шероховатой поверхности к цилиндрической с теми же параметрами шероховатости является величиной второго порядка малости по сравнению с основным вкладом и меньшей по сравнению с расчетной погрешностью (~ 0,2 - 0,5 %).

Моделирование движения газовых частиц по траекториям содержит два существенно отличающихся по затратам машинного времени этапам. Первый из них состоит в определении места старта частицы с поверхности, разграничивающей области равновесного и неравновесного состояния газа (это может быть площадь входного и выходного сечений канала или замкнутые поверхности, ограничивающие области перед ними). Розыгрыш старта частиц с таких поверхностей известен [1], и он не занимает много времени и оперативной памяти используемой вычислительной техники.

Что касается второго этапа — определения точек столкновения частицы с шероховатой поверхностью и последующего рассеяния частиц, то, как показал опыт численного эксперимента в [4], использование стандартного, известного в компьютерной графике метода оболочек для определения этих точек связано с необходимостью последующего покрытия поверх­ности триангуляционной сеткой с элементарными ячейками в виде треугольников, пространственные координаты вершин которых должны хранится в оперативной памяти. Всё это приводит к резкому увеличению затрат машинного времени.

В настоящей работе использовалась специальная программа для расчета точки столкновения частицы с элементом поверхности, основанная на после­довательном делении траектории полета частицы пополам, определении высоты точки деления и сравнения её с ближайшими тремя высотами микронеровностей поверхности. В случае, если она оказывалась меньше наибольшей из трех ближайших высот, то по их пространственным координатам составлялось уравнение элемента поверхности, и оно решалось совместно с уравнением последней высоты из последовательности деления траектории полета частицы пополам для определения координат точки столкновения частицы с поверхностью и последующего рассеяния её по диффузно-зеркальному закону. Такая процедура моделирования существенно (в десятки и сотни раз) сокращает потребности в оперативной памяти и уменьшает затраты машинного времени на два порядка. Эти приёмы модели­рования позволили уменьшить погрешность вычислений до ~ 0,2 %. В каждом численном эксперименте для определения вероятности прохождения w(L, , ε) частицы (или газодинамической проводимости) в цилиндрическом канале относительной длины L с относительной шероховатостью стенок  при доле ε диффузно-зеркального рассеяния частиц на стенке использовалось не менее 10⁶ пробных частиц. Температура газа и стенок капилляра предполагалась постоянной и равной 300 К.

Результаты численного эксперимента по определению зависимости вероятности w прохождения газовых частиц в цилиндрическом капилляре от относительной длины L, относительной шероховатости стенок  и доли е диффузно-зеркального рассеяния частиц на стенке представлены в табл. 1 и 2, на рис. 2, 3 и 4. Как видно в табл. 1, величина w при полностью диффузном (ε = 1) рассеянии частиц гладкими стенками с увеличением относительной длины L уменьшается. Это происходит, прежде всего, за счёт уменьшения потока частиц, прошедших канал без столкновений с его стенками и чей вклад в общий поток становится пренебрежимо малым (в пределах расчетной погрешности) при L››1.

Для сравнения в табл. 2 приведены данные, полученные другими методами расчёта газодинамической проводимости: w_c — вариационный метод решения интегро-дифференциального уравнения для частоты столкновений частиц на стенке [3]; w₂ — метод Монте-Карло с разделением пространства с неравновесным состоянием газа на ячейки [2]; w(ε=1) — метод пробных частиц; w₁(ε=0,8) — кинетические методы для длинных каналов (L››1), определяющие w с известным множителем (2-ε)/ε в кнудсеновском пределе Kn››1 и поток скольжения вблизи стенки в вязком со скольжением течении газа (Kn‹‹1). Как видно в табл.2, данные, полученные по методам Клаузинга в [3], Монте-Карло [2] и пробных частиц в настоящей работе, совпадают в пределах расчетных погрешностей практически для всех L.

Таблица 1

Вероятность прохождения частиц в цилиндрическом капилляре w как функция относительной длины L и доли ε диффузно рассеянных частиц

Таблица 2.

Вероятность прохождения частиц w как функция относительной длины L, доли ε диффузно рассеянных частиц и относительной шероховатости стенок

Рисунок 2. Газодинамическая проводимость как функция относительных длины и доли диффузно рассеянных частиц при относительной высоте неровностей  = 0,2. 1,2,3 — ε = 1, 0,8, 0,6 соответственно.

Рисунок 3. Газодинамическая проводимость как функция относительных длины и шероховатости при диффузном рассеянии частиц 1,2 и 3 —  =0, 0,1, 0,2 соответственно.

Таблица 3

Сравнение результатов с данными, полученными другими методами

В [1] показано, что это отличие очевидно и связано с тем, что равновесная плотность n₀ наблюдается на границе расчетной области, разделяющей область равновесного и неравновесного состояний газа и расположенной на расстоянии в (0,5-2)d от входного или выходного сечений в зависимости от относительной длины L канала.

Увеличение доли зеркально-отраженных частиц (1-ε) гладкими стенками увеличивает вероятность прохождения w цилиндрического канала любой длины (табл. 1 и 2). Причем, для длинных капилляров (L››1) она увеличивается на величину, приближающуюся к известному множителю (2-ε)/ε с увеличением L>100.

Рисунок 4. Газодинамическая проводимость как функция относительных длины и доли диффузно рассеянных частиц при относительной высоте неровностей  = 0,2. 1,2,3 — ε = 1, 0.9, 0.8 соответственно.

Что касается влияния микрошероховатости стенок на газодинамическую проводимость , то как видно в табл.1 и 2, а также на рис. 3, она с увеличением относительной шероховатости стенок  уменьшается в случае полного (ε=1) диффузного рассеяния частиц каждой элементарной площадкой шероховатой поверхности. Но она увеличивается с увеличением с увеличением доли зеркально (ε=0) отраженных частиц и относительной длины L до  для цилиндрических капилляров с L››1. На первый взгляд результат взаимодействия газовых частиц с микрошероховатой поверхностью кажется парадоксален, однако он аналогичен по физической природе взаимодействию светового луча с поверхностью, который отражается зеркально от гладкой поверхности и диффузно от шероховатой.

С помощью усовершенствованной программы, позволившей сократить машинное время счета на два порядка и более, рассчитана газодинамическая проводимость цилиндрических капилляров относительной длины 0<L<400 с микрошероховатыми стенками и с относительной высотой неровностей 0<<0,2 с долей диффузно рассеянных частиц ε=1-0,6. Сравнение показывает удовлетворительное согласие результатов с имеющимися данными других авторов, полученных для капилляров с гладкими стенками, а также увеличения вероятности прохождения с увеличением доли зеркально отраженных частиц.

Обнаружено численным экспериментом, что наличие микрошероховатостей на стенке каналов уменьшает его газодинамическую проводимость с увеличением величины относительной шероховатости стенок при полностью диффузном рассеянии частиц на каждой элементарной площадке шероховатой поверхности. Увеличение же доли зеркально отраженных частиц с увеличением относительной шероховатости приводит к еще большему уменьшению газодинамической проводимости.

Список литературы:

1.Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981, 319 с.

2.Породнов Б.Т. и др. Разработка пакета прикладных программ расчета проводимостей и распределений газодинамических параметров в различных элементах вакуумных систем при произвольном режиме течения. Екатеринбург. УГТУ-УПИ. Отчет по НИР №52/16/3226, 2004. 40 с.

3.Саксаганский Г.Л. Молекулярные потоки в сложных вакуумных структурах. М.: Атомиздат, 1980, 216 с

4. Ухов А.И., Породнов Б.Т., Борисов С.Ф. Аккоммодация энергии тепла гелия на чистой и частично заполненной адсорбатом поверхности вольфрама. Перспективные материалы. Специальный выпуск № 8. Февраль 2010, 42 — 48 с.