МОДЕЛИРОВАНИЕ УСТАНОВИВШЕГОСЯ НЕЛИНЕЙНО ТЕРМО-НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕПЛОИЗОЛИРОВАННОГО СТЕРЖНЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ДЛИНЫ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ТЕПЛОВОГО ПОТОКА И ТЕПЛООБМЕНА

Жумадиллаева Айнур Канадиловна

канд. техн. наук, ЕНУ им. Л. Гумилева, г. Астана

Кудайкулов Анарбай Кудайкулович

д-р физ.-мат. наук, профессор ЕНУ им. Л. Гумилева, г. Астана

Ташенова Жулдыз Мусагуловна

ст.преподаватель ЕНУ им. Л. Гумилева, г. Астана

Нурлыбаева Эльмира

докторант, КазНТУ им. К. Сатпаева, г. Алматы

Е-mail:ay8222@mail.ru

В качестве несущего элемента конструкций рассмотрим горизонтальный стержень ограниченной длины площадь поперечного сечения , которого постоянна по длине стержня. Оба конца стержня считаем защемленными. Боковая поверхность стержня по всей длине теплоизолирована. На площадь поперечного сечения левого конца стержня подведен тепловой поток, мощностью . Через площадь поперечного сечения правого конца происходит теплообмен с окружающей его средой. При этом коэффициент теплообмена , а температура окружающей среды . Требуется разработать математическую модель установившегося термо-напряженно-деформированного состояния исследуемого стержня. Расчетная схема задачи приводится на рисунке – 1.

Рисунок 1. Расчетная схема рассматриваемой задачи

Коэффициент теплопроводности и теплового расширения материала стержня обозначим соответственно через и . Модуль упругости материала будет . Здесь следует отметить, что  и . Также, при подведении теплового потока q на площадь поперечного сечения левого конца стержня, его значение берется с отрицательными законом. Сначала надо моделировать установившееся поле распределения температуры по длине исследуемого стержня. Для этого введем следующие обозначения

                                                          (1)

Далее с учетом физической сущности исследуемой задачи поле распределения температуры по длине исследуемого стержня аппроксимируем полным полиномом второго порядка

                              (2)

где                                      (3)

При этом        (4)

Тогда градиент температуры в пределах длины стержня имеет следующий вид

                                      (5)

Здесь следует отметить, что поле распределение температуры и его градиент температуры должны удовлетворять закону сохранения энергии. Функционал полной тепловой энергии для рассматриваемого стержня имеет следующий вид [2, с. 194]

                                      (6)

где - площадь поперечных сечений концов стержня.

Теперь каждый интеграл в выражении функционала рассмотрим отдельно

  ;                                                                                    (7)

;                                            (8)

;                                                             (9)

Далее подставляя (7—9) в (6) находим интегрированный вид функционала I.

;          (10)

Теперь минимизируя этот функционал получим основную разрешающую систему линейных алгебраических уравнений

                                  (11)

В этой системе сумма коэффициентов температур будет равна нулю

                                                                        (12)

Эти равенства являются признаками выполнения закона сохранения энергии.

Решая систему (11) определим значения температур в фиксированных сечениях

                                                                            (13)

Подставляя эти значения в (2) находим закон распределения температуры по длине исследуемого стержня

               (14)

где

Из (14) видно, что закон распределения в рассматриваемом стержне будет иметь линейный характер.

В целях исследования сходимости и точности полученного решения рассматриваемый стержень дискретизировали 2, 4, 6, … 100 квадратичными элементами. При этом число уравнений соответственно было 5,9,13, … 201, но во всех случаях дискретизации получили один и тот же закон распределения температуры по длине рассматриваемого стержня. Предположим, что левый конец рассматриваемого стержня жестко защемлен. Тогда этот стержень из-за теплового расширения будет удлиняться. Это удлинение можно определить по [1, с. 35—39]

                                                                                          (15)

Кроме того, проведеные серии экспериментов [3] показал, что коэффициент теплового расширения материала стержня зависит от температуры. С учетом закона распределения температуры зависимость представим в виде следующего полного полинома второго порядка

                                                          (16)

здесь  известные постоянные. Тогда подставляя (14) и (16) в (15) имеем, что

                                                                                                           (17)

Если принять, что , то в этом случае будет

                                                                                       (17^/)

Теперь предположим, что оба конца рассматриваемого стержня жестко защемлены. В этом случае этот стержень не может удлиняться. Но за счет процесса теплового расширения в стержне возникает сжимающее усилие, а также упругие, температурные и термоупругие составляющие деформаций и напряжений. Наряду с этим формируется поле перемещений. Для определения законов распределения этих параметров необходимо сформулировать потенциальную энергию упругих деформаций стержня с учетом поля температур [2, c. 124]

                                                                   (18)

где V - объем исследуемого стержня;  поле распределения перемещений; упругая составляющая деформаций;  упругая составляющая напряжения;

Здесь наподобие поля температур, поле перемещения также представим в виде

                                                     (19)

где                                                  (20)

Тогда градиент перемещение имеет следующий вид

            (21)

Кроме того, серии эксперимента показывают что модуль упругости материала стержня зависит от температуры [3, с.228]. В связи с этим, поле распределения значение модуля упругости по длине стержня аппроксимируем полным полиномом второго порядка

                                                            (22)

здесь  известные постоянные. Теперь пользуясь соотношениями (21-22) вычислим интеграл первого члена в выражении функционала потенциальной энергии

здесь необходимо учесть что, из-за защемления обеих концов стержня имеет место

тогда выражение имеет следующий вид

         (23)

аналогично, пользуясь (14), (16) и (22) вычислим интеграл второго члена функционала потенциальной энергии

*

где (25)

теперь подставляя (23-24) в (18) находим интегрированный вид функционала

                                                                                         (26)

где   

далее минимизируя  по  находим разрешающие уравнение

                                                                    (28)

отсюда определим

                                                                                         (29)

подставляя найденное значение в выражение (19), и учитывая, что в нашем случае , определим поле перемещения

                                           (30)

Тогда поле упругой составляющей деформации из (30) определяется следующим образом

                     (31)

Соответствующая составляющая напряжения определяется по закону Гука

           (32)

Температурные составляющие деформации определяются следующим образом

                                            (33)

                      (34)

Тогда термо-упругие составляющие деформации и напряжения определяется по формуле

                                                                    (35)

Величина возникающего сжимающего усилия R определяется на основе обобщенного закона Гука, т. е.

                                                                                          (36)

Таким образом выясним, что используя закон сохранения энергии в сочетании применения аппроксимационных сплайн функций, можно построить математическую модель установившегося термо-напряженно-деформированного состояния защемленного двумя концами стержня ограниченной длины находящегося под одновременным воздействием теплоизоляции, теплового потока и теплообмена. При этом построенная модель для рассмотренной задачи позволяет получить точное решение для рассмотренной задачи.

Список литературы:

1.            Ноздрев В. Ф. Курс термодинамики: учеб. пособие. М.: Мир, 1967. – 247 с.

2.            Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1:монография. М.: Москва, 1970. – 492 c.

3.            Химушин Ф. Ф. Жаропрочные стали и сплавы: учеб. пособие. М.: Металлургия, 1969. – 749 с.