СТРУКТУРА  РЕШЕНИЙ  НЕЛИНЕЙНОЙ  СИСТЕМЫ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ  УРАВНЕНИЙ  С  ОТКЛОНЕНИЕМ  И  ПАРАМЕТРОМ

Свирилина  Татьяна  Викторовна

канд.  физ.-мат.  наук,  доцент  кафедры  «Высшая  математика  и  физика»  ФГБОУ  ВПО  «Московский  государственный  университет  пищевых  производств»,  РФ,  г.  Москва

E-mail: 

STRUCTURE  OF  DECISIONS  OF  NONLINEAR  SYSTEM  OF  THE  DIFFERENTIAL  EQUATIONS  WITH  THE  DEVIATION  AND  PARAMETER

Tatyana  Svirilina

candidate  of  Science,  associate  professor  "The  higher  mathematics  and  physics"  FGBOU  VPO  "Moscow  State  University  food  productions",  Russia  Moscow

АННОТАЦИЯ

Доказана  теорема  об  условии  представления  решения  системы  дифференциальных  уравнений  с  отклонением  и  параметром  в  виде  суммы  двух  слагаемых,  одно  из  которых  линейно  относительно  начального  значения  решения,  другое  —  бесконечно  малая  величина  более  высокого  порядка  относительно  начального  значения  и  параметра. 

ABSTRACT

The  theorem  of  a  condition  of  submission  of  the  decision  of  system  of  the  differential  equations  with  a  deviation  and  parameter  in  the  form  of  the  sum  of  two  composed,  one  of  which  linearly  rather  initial  value  of  the  decision,  another  —  the  infinitesimal  size  of  higher  order  of  rather  initial  value  and  parameter  is  proved.

Ключевые  слова:  система  дифференциальных  уравнений;  отклонение;  параметр;  двухточечная  краевая  задача.

Keywords:  system  of  the  differential  equations;  deviation;  parameter;  point-to-point  regional  task.

Рассмотрим  нелинейную  систему  дифференциальных  уравнений  с  отклонением    и  параметром  .

  .  (1)

Введем  следующие  обозначения:  ,  ,  ,  ,  где    —  -мерный  вектор,    —  вектор-функция,    —  матрица,  зависящая  от  .

Теорема.  Пусть  выполнены  следующие  условия:  1)    на  множестве  ,  2)  ,    равномерно  относительно  ,  где  ,  3)  функция    допускает  только  конечное  число  выходов  за  пределы  сегмента    (определение  в  статье  [1,  с.  71]).  Тогда  решение  ,  ,  системы  (1)  представимо  в  виде  ,  где    —  фундаментальная  матрица  решений  системы  ,  .

Доказательство.  Рассмотрим  линейную  неоднородную  систему  дифференциальных  уравнений

  .  (2)

Решение    системы  (1)  с  начальным  условием    является  решением  системы  (2).  А  решение    системы  (2)  с  начальным  условием    является  решением  системы  (1),  и  справедливо  равенство    для  любого  .  Тогда  решение  системы  (1)  можно  представить  в  виде 

    (3)

Так  как  матрица    непрерывная,  то  матрица    также  непрерывная,  следовательно,  матрицы  ,    ограничены  на  сегменте  ,  т.  е.  существуют    и  .  Пусть  .  Докажем,  что  второе  слагаемое  в  правой  части  равенства  (3)  есть  ,  где  .

Так  как  функция    является  решением  системы  (1),  то  справедливо  равенство 

.

Представим  вектор-функцию    в  следующем  виде:  ,  где  ,    —  непрерывная  на    –матрица.  Интегрируя  предыдущее  равенство,  получим 

откуда 

Обозначим 

Тогда  по  неравенству  Гронуолла-Беллмана  имеем  ,  откуда  .  Следовательно,  величина    ограничена,  то  есть  существует  число    такое,  что  .  Величина    тоже  ограничена.  Действительно,  поскольку  функция    непрерывна  на  сегменте  ,  следовательно,  она  ограничена  на  нем,  то  есть  существует  число    такое,  что  выполняется  неравенство  .  Тогда  получим

.

Поскольку  ,  то  для  любого    существует  число    ,  такое,  что  при  условии    выполняется  .  Тогда  .  Заметим,  что    при  любом  .  Тогда  величина    ограничена,  то  есть  существует  число    такое,  что  .  Возьмем  ,  где    –  произвольное  число.  Тогда  .  Следовательно,  для  любого  ,  ,  имеем

По  условию    и  матрица    непрерывна  на  ,  тогда  ,  то  есть  существует  число    такое,  что  при    выполняется  .

Тогда

.

Следовательно,  для  любого  ,  ,  для  любого  ,  ,  имеем 

Таким  образом, 

,  и  решение  системы  (1)  ,  удовлетворяющее  начальному  условию  ,  представимо  в  виде  .

Теорема  доказана.

Список  литературы:

1.Свирилина  Т.В.  Теорема  о  существовании,  единственности  и  непрерывной  зависимости  решения  от  начальных  данных  и  параметра  системы  дифференциальных  уравнений  с  отклонением  //  Известия  РАЕН.  Дифференциальные  уравнения.  —  2005.  —  №  9.  —  С.  70—75.