МЕТОД  РЕШЕНИЯ  УРАВНЕНИЙ  ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Кошлак  Анна  Владимировна

канд.  техн.  наук,  кафедра  теплогазоснабжения,  вентиляции  и  теплоэнергетики,  доцент  Полтавского  национального  технического  университета  имени  Юрия  Кондратюка,  г.  Полтава

E-mail:  am.pavlenko@yandex.ua

Павленко  Анатолий  Михайлович

д-р  техн.  наук,  зав.  кафедрой  теплогазоснабжения,  вентиляции  и  теплоэнергетики,  профессор  Полтавского  национального  технического  университета  имени  Юрия  Кондратюка,  г.  Полтава

E-mail: 

Усенко  Богдан  Олегович

аспирант  кафедры  теплогазоснабжения,  вентиляции  и  теплоэнергетики,  ассистент  Полтавского  национального  технического  университета  имени  Юрия  Кондратюка,  г.  Полтава

E-mail: 

 

THE  METHOD  SOLVING  THE  THERMAL  CONDUCTIVITY  EQUATION

Koshlak  Anna

candidate  of  Science,  heat  and  gas  supply,  ventilation  and  heat  power  engineering  department,  associate  professor  of  Poltava  National  Technical  Yuri  Kondratyuk  University,  Poltava

Pavlenko  Anatoly

doctor  of  Science,  Head  of  heat  and  gas  supply,  ventilation  and  heat  power  engineering  department,  professor  of  Poltava  National  Technical  Yuri  Kondratyuk  University,  Poltava

Usenko  Bogdan

postgraduate  of  heat  and  gas  supply,  ventilation  and  heat  power  engineering  department,  assistant  of  Poltava  National  Technical  Yuri  Kondratyuk  University,  Poltava

 

АННОТАЦИЯ

В  статье  предложена  методика  решения  линейных  дифференциальных  уравнений  второго  порядка,  часто  встречающихся  в  задачах  математической  физики,  в  частности  в  задачах  теплопроводности.

ABSTRACT

In  the  article  proposed  a  method  for  solving  linear  differential  equations  of  second  order  commonly  encountered  in  problems  of  mathematical  physics,  in  particular  in  heat  transfer  problems.

 

Ключевые  слова:  теплопроводность,  методика  расчёта  теплопроводности,  тепломассообмен

Keywords:  thermal  conductivity,  thermal  conductivity  calculation  method,    heat  and  mass  transfer

 

В  работе  [1,  с.  48]  предложена  методика  решения  задач  теплопроводности  многослойной  частицы,  суть  которой  заключалась  в  сведении  параболических  уравнений  к  обыкновенному  дифференциальному  уравнению.

Настоящая  работа  является  развитием  данной  методики.

Постановка  задачи.  Рассмотрим  линейное  однородное  дифференциальное  уравнение  (ЛОДУ)  второго  порядка 

 

(1)

 

где:  р(х)  и  g(х)  —  непрерывные  функции  в  интервале  (а;  в); 

y(х)  —  искомая  функция.  Известно,  что 

 

,(2)

 

где:  y₁(х),  y₂(х)  —  фундаментальная  система  решений  уравнения  (1),  а  вронскиан  этой  системы  функций 

 

(3)

 

Если  ЛОДУ  имеет  постоянные  коэффициенты,  то  его  решение  сводится  к  квадратному  алгебраическому  уравнению.

В  задачах  теплопроводности  постоянные  коэффициенты  уравнений  встречаются  не  часто,  и,  скорее  всего  в  упрощенных  случаях  рассмотрения  физического  процесса.  Поэтому  в  данной  работе  поставлена  цель  усовершенствования  предложенной  ранее  методики  [1,  2].

В  настоящей  работе  предлагается  алгоритм,  позволяющий  уравнение  (1)  сводить  к  квадратному  алгебраическому  уравнению  с  переменными  коэффициентами.  Для  этого  введем  вспомогательную  функцию  ,  которая  связана  с  решением  y(х)  и  коэффициентами  р(х)  и  g(х)  и  может  принимать  различные  выражения.  Рассмотрим  несколько  вариантов  функции  .

І.  Пусть  ,  тога    или  ,   (4)

 

где 

.                 (5)

Уравнение  (4)  —  квадратное  алгебраическое  уравнение  относительно  t,  решая  которое,  имеем

 

 

и  учитывая  (5)

(6)

 

На  функцию  α(х)  необходимо  наложить  условие

,  или

 

,(7)

 

которое  можно  записать  в  виде

 

(8)

 

При  этом  α(х)  –  произвольная  функция,  и  ее  можно  выбрать  следующим  образом

 

.(9)

 

Подставляя  функцию  (9)  в  условия  (8)  придем  к  дифференциальному  уравнению  Бернулли

 

,  (10) 

 

решая  которое,  получим

 .  (11)

 

 

В  частности,  если  =1,  то

 

  .(11а)

 

Из  курса  дифференциальных  уравнений  известно,  что  ЛОДУ  (1)  можно  привести  к  уравнению  с  постоянными  коэффициентами  при  помощи  замены  независимой  переменной

 

,  (12)

 

а  учитывая  (11)

 

  (13)

 

ІІ.  Выберем  в  качестве

 

,    (14)

 

В  этом  случае

 

 

Или

 

  (15)

 

Корни  этого  квадратного  уравнения

 

  (16)

 

и  фундаментальная  система  решений  ЛОДУ  (1)

 

;  .

 

На  функцию  α(х)  необходимо  наложить  условие

 

;  (17)

 

или 

 

  (18)

 

В  качестве  α(х)  можно  выбрать

 

.  (19)

 

И  условие  (18)  запишем  в  виде  дифференциального  уравнения  Бернулли

 

,  (20)

 

решая  которое  относительно  g(х) 

 

.  (21)

 

ІІІ.  Представим  r(х)  в  виде

 

,  (22)

 

или  что  равносильно

 

.  (23)

 

Квадратное  алгебраическое  уравнение  в  этом  случае  имеет  вид

 

  (24)

 

Корни  уравнения  (24)

 

 

  (25) 

 

При  этом  уравнение,  связывающее  функции  α(х),  р(х)  и  g(х),  следующее

 

  (26)

 

В  этом  случае  мы  имеем  больше  вариантов  условий  на  функцию  α(х).

 

а)  ,  .                                                          (27)

Подставляя  (27)  в  уравнение  (26),  получим  ,  которое  является  линейным  относительно  g(х),  и  решая  которое  имеем 

 

  (28)

 

б)  ,  ,

 

;  (29)

 

Решая  линейное  уравнение  (29),  получим

 

.  (30)

с)                                                                                                     (31)

 

  ;

  (31)

  (32)

 

ІV.  Можно  представитьr(х)  в  виде

 

  (33)

 

Квадратное  уравнение  в  этом  случае

 

  (34)

 

и  его  решение

 

  (35)

 

Уравнение,  связывающее  функции  α(х),  р(х)  и  g(х)  в  этом  случае

 

 

Или

 

  (36)

 

Задавая  определенные  выражения  для  α(х),  мы  будем  получать  конкретные  дифференциальные  или  трансцендентные  уравнения.

Рассмотрим  сведение  ЛОДУ  (1)  к  интегро-дифференциальным  уравнениям.  Для  этого  уравнение  (1)  запишем  в  виде

 

  (37)

 

Дифференцируя  каждое  слагаемое  уравнения  (37),  и  учитывая  уравнение  (1)  и  его  производную,  а  затем,  интегрируя,  получим

 

  (38)

 

Если  ввести  обозначения

 

        ,  , 

 

то  получим  хорошо  известные  формулы

 

;  ; 

 

Результаты  расчета

Рассмотрим  решение  задачи  тепломассообмена  влажной  частицы  в  потоке  теплоносителя  со  следующими  условиями:

·концентрация  пара  базовой  жидкости  изменяется  от  максимального  значения  у  поверхности  частицы  до  постоянной  величины,  определяющей  влажность  окружающей  среды,  начиная  с  r_i;

·аналитическое  исследование  градиента  концентрации  пара  выполнено  в  области  LÎ[R...R₂],  причем  R₂  >>  r_i;

·распределение  температуры  внутри  частицы  определено  с  учетом  понижения  температуры  поверхности  за  счет  испарения  жидкости.

Процесс  ТМО  частицы  ЭТС  в  условиях  свободной  конвенции  имеет  некоторые  отличительные  особенности,  учет  которых  усложняет  решение  задачи,  но  максимально  приближает  его  к  физическому  процессу.  Глобулы  частицы  представляют  собой  источник  энергии,  поэтому  для  данной  зоны  уравнение  теплопроводности  запишем  в  виде

 

       r        (39)                   для  оболочки

    (40)  

 

За  счет  испарения  температура  поверхности  кластера  снижается

 

  (41)

 

В  точке  сопряжения  на  радиксе  R₁  контакт  не  идеальный,  т.  е.

 

(42)

 

Для  поверхности  R₂  условие  сопряжения  запишем  в  виде

 

(43)

 

Таким  образом,  система  уравнений,  описывающая  данный  процесс  выглядит  следующим  образом:

 

             

 

Вначале  рассмотрим  условие 

 

(44)

 

Решение  представим  в  виде

 

(45)

 

.

 

 

 

 

При  выборе    удовлетворяются  граничные  условия  (42),  (43).  Удовлетворим  условиям  (42),  (43)  для  этого  получим  систему  линейных  алгебраических  уравнений

   (46) 

 

 

 

 

Система  (46)  будет  иметь  ненулевое  решение,  если  главный  определитель  этой  системы  равен  нулю

  (47)

 

 

 

Из  уравнения  (47)  определяются  собственные  числа  .

Но  тогда

 

(48)

         (49)

 

Где

 

  (50)

 

На  рис.  1  показаны  зависимости,  отражающие  физический  процесс  теплопередачи,  полученные  эмпирическим,  полуэмпирическим  и  аналитическим  путем.  Из  рисунка  следует,  что  разработанные  аналитический  и  полуэмпирический  методы  расчета  с  достаточной  точностью  описывают  реальный  процесс.

 

Рисунок  1.  Понижение  температуры  поверхности  влажной  частицы  диаметром  2  мм.  за  время  τ.

 

Выводы:

1.  Вариантов  выбора  функции  r(х)  можно  предложить  более  десяти.

2.  Предложенную  методику  можно  успешно  использовать  при  решении  уравнения  Риккати  и  систем  двух  линейных  однородных  дифференциальных  уравнений  первого  порядка.

3.  Незначительно  видоизменив  предложенную  методику  можно  найти  решения  ЛОДУ  третьего  и  четвертого  порядков.

 

Список  литературы:

1.Павленко  А.М.,  Давыдов  И.А.,  Кошлак  А.В.  Нестационарная  теплопроводность  слоистых  тел//  Математичні  проблеми  технічної  механіки,  2003.  —  48—52  с.

2.Павленко  А.М./  Тепломассообмен  частицы  в  потоке  теплоносителя//  Павленко  А.М.,  Давыдов  И.А.,  Кошлак  А.В.  —  Дн-к:  ДГТУ,  2009.  —140  с.