ГОМОМОРФИЗМЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМГОМОМОРФИЗМЫ И ИХ ОБОБЩЕНИЯ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕМ

HOMOMORPHISMS AND THEIR EXTENSIONS IN DIFFERENT SYSTEMS SIMULATION

Oksana Melikhova

candidate of Science, assistant professor,

assistant professor of the Southern Federal University,

Russia, Taganrog

АННОТАЦИЯ

Понятия изоморфизма и гомоморфизма неразрывно связаны с операцией отождествления различных объектов. В этих терминах описывается образование отдельных абстрактных понятий и построение целостных концептуальных схем – моделей. В работе рассматриваются вопросы морфизмов на отображениях множеств, морфизмы бинарных отношений, гомоморфизмы отношений на основе теории множеств, матлогики, абстрактной алгебры.

ABSTRACT

The notions of isomorphism and homomorphism are nonseparably connected with the operation of identification of the different objects. In these terms are described the formation of the separate abstract notions and the construction of the integral conceptual schemes – models. The questions of the morphisms on the map of the sets, the morphisms of the binary relations, homomorphisms of the relations on the base of the set theory, mathematical logic, abstract algebra are considered in the paper.

Ключевые слова: моделирование; теория множеств; гомоморфное преобразование; морфизмы на отображениях.

Keywords: simulation; set theory; homomorphic mapping; morphisms on the maps.

Математизация знаний всегда была предметом пристального внимания ученых, инженеров, исследователей. Вопросы представления знаний в памяти компьютера, то есть вопросы создания моделей представления знаний в настоящее время приобретают особое значение. При решении этих проблем широко используются теория множеств (четких и нечетких), матлогика, абстрактная алгебра.

При исследовании абстрактных систем различных объектов предполагается, что свойства этих систем извлекаются из формального описания объектов. Термином изоморфизм обозначается взаимно-однозначное соответствие между элементами двух абстрактных множеств, описывающих системы и сохраняющее все свойства элементов этих систем и все отношения между ними. Изоморфизм означает тождество, подобие, одинаковость строения. Такое подобие предполагает равночисленность, так как если исследуемые совокупности имеют разные мощности, то они будут иметь и разное строение [1; 2].

Приблизительный изоморфизм ‒ это гомоморфизм. Гомоморфный образ содержит не большее число элементов, чем оригинал, но элементами его могут быть классы индивидов, являющихся элементами прообраза. Основная цель гомоморфного преобразования состоит в том, чтобы «свернуть» всю доступную информацию об исследуемых объектах (явлениях, процессах) в более компактную, удобообрабатываемую форму. Универсальных алгоритмов такого преобразования в настоящее время нет.

Гомоморфизмы можно интерпретировать как отношения порядка на классах однотипных алгебр, а изоморфизмы – как отношения эквивалентности на таких классах.

Множество операций и предикатов, определенных на некоторой алгебраической системе, называют ее сигнатурой. Алгебраическую систему с пустым множеством предикатов называют универсальной алгеброй, то есть алгеброй с произвольными операциями, а систему с пустым множеством операций называют реляционной системой [1; 3].

Рассмотрим особенности понятий изоморфизма и гомоморфизма для множеств A и B и множества определенных на них предикатов:  В случае изоморфизма рассматриваемых множеств имеет место взаимно-однозначное соответствие как между множествами A и B, так и между множествами их предикатов ‒  и ; гомоморфизм имеет место при однозначном соответствие между множествами A и B при сохранении взаимной однозначности соответствия между множествами их предикатов. При этом элементы множества  и множества  имеют один и тот же ранг (число аргументов). Отказ от взаимной однозначности изоморфного отображения приводит к понятию гомоморфизма; отказ от взаимной однозначности соответствия между сигнатурами, при совпадении рангов предикатов- прообразов и предикатов-образов, означает переход к более общему понятию отображения – к метаморфизму. Иногда одни и те же в содержательно-концептуальном смысле операции могут быть описаны с привлечением различных языковых средств: в терминах гомоморфизма или метаморфизма. Упомянутые понятия, рассматриваемые как гносеологические категории, появляются в ходе анализа методологических проблем совершенно независимо друг от друга [2; 3; 4].

Алгебраическая система считается определенной, если она определена с точностью до изоморфизма. Изоморфные системы, рассматриваемые как объекты абстрактной алгебры, неразличимы в том смысле, что их можно воспринимать как представления одной и той же абстрактной системы. Таким образом, в принципе всегда имеется возможность свести вопрос об изучении некоторого класса абстрактных алгебраических систем к изучению какого-либо более простого класса. Простота эта может состоять в наглядности представлений интуитивных образов, в разработанности и простоте используемого формального аппарата.

Частным видом соответствий на множествах X и Y являются функциональные и всюду определенные соответствия, называемые отображениями и обозначаемые

При использовании аппарата теории множеств для моделирования различных систем возникает необходимость отображения свойств одного множества в другое множество. Такое отображение свойств в общем случае называется морфизмом. Морфизмы рассматриваются на структурах различного вида.

Для отображений, обладающих различными свойствами, имеют место следующие виды морфизмов: гомоморфизмы, мономорфизмы, эпиморфизмы и изоморфизмы.

Если задано произвольное отображение  и на множестве X и на множестве Y задана некоторая операция , причем для любых двух подмножеств  выполняется равенство

                                         (1)

то отображение  называется гомоморфизмом X в Y.

Если отображение  инъективное и для него справедливо равенство (1), то оно называется мономорфизмом или инъективным гомоморфизмом. Если отображение  сюръективное и для него справедливо равенство (1), то оно называется эпиморфизмом или сюръективным гомоморфизмом. В этом случае множество Y является эпиморфным образом множества X.

Если отображение  одновременно инъективное и сюръективное, то есть взаимно-однозначное (иногда его называют биекцией), и выполняется (1), то такое отображение является изоморфизмом или биективным гомоморфизмом [1; 5; 6].

Учитывая свойства, характерные для образов множеств  и  при произвольном соответствии множеств X и Y, легко доказать, что отображение  по операции объединения множеств A и B является гомоморфизмом, кроме того, инъективное отображение  по операциям объединения, пересечения, разности, симметрической разности является мономорфизмом, а биекция представляет собой изоморфизм по тем же теоретико-множественным операциям.

При рассмотрении бинарных отношений на множествах имеют место два вида морфизмов – морфизмы на отношениях, аналогичные рассмотренным морфизмам на отображениях множеств, и морфизмы между отношениями, которые сохраняют свойство элементов находиться в некотором отношении. Если на множестве X задано некоторое функциональное и всюду определенное отношение  для любых двух подмножеств которого  справедливо

                                          (2)

где:  – некоторая операция на множестве X, то отношение  называется гомоморфизмом множества X в себя. В том случае, когда отношение  является одновременно инъективным и сюръективным, то есть оно биективно, то при выполнении условия (2) отношение  называется изоморфизмом или биективным гомоморфизмом. Таким образом, морфизмы на бинарных отношениях множеств являются частным случаем морфизмов на отображениях множеств, когда области отправления и прибытия отображения равны [1; 4].

Рассмотрим морфизмы между отношениями. Заданы отношения  и , существует отображение . Если для любых элементов , таких, что  находится в отношении  с , то есть , выполняется

                                                (3)

где: , то отображение  называется гомоморфизмом между отношениями  и .

Например, заданы отношения  и  в теоретико-множественном виде:

Между множествами  и  существует отображение , такое что . Это отображение  согласно приведенному определению является гомоморфизмом между отношениями  и . Для доказательства этого необходимо для любой пары  показать справедливость выражения (3). Например, покажем выполнение условия (3) для элементов . Поскольку  и , то истинны высказывания  и , то есть для элементов  условие (3) выполняется. Аналогично можно доказать выполнение условия (3) и для других пар  отображения  заданных отношений  и  [2; 5].

Отображение множества X в множество Y, обладающее свойством инъективности, для которого выполняется условие (3), называется инъективным гомоморфизмом или мономорфизмом между отношениями  и . Например, заданы некоторые отношения  и  в теоретико-множественном виде:

Между множествами  и  существует отображение , такое что . Отображение  согласно определению является мономорфизмом между отношениями  и . Отображение множества X в множество Y, обладающее свойством сюръективности, для которого выполняется условие (3), называется сюръективным гомоморфизмом или эпиморфизмом. Например, заданы отношения  и  в виде:

;

.

Между множествами  и  задано отображение , такое что . По определению отображение  является эпиморфизмом между отношениями  и .

Если отображение является биекцией и выполняется условие (3), то такое отображение называется биективным гомоморфизмом или изоморфизмом между отношениями  и .

Например, заданы отношения  и  в виде:

Между множествами и  существует отображение , такое что . Это отображение  является изоморфизмом отношений  и , так как  является биекцией и для него выполняется условие (3).

Понятие изоморфизма является наиболее простой и естественной экспликацией интуитивного представления о моделях в точных логико-алгебраических терминах [3; 6]. Распространенность такой экспликации достаточно велика, так как она часто выступает в роли условия адекватности моделирования, отражения или вообще познания. Изоморфизм это некий идеал, предельный случай более общего понятия гомоморфизма. Добиваясь “равноправия” между моделью и оригиналом естественно употреблять термин «модель» в смысле последнего упомянутого понятия – гомоморфизма. Рассмотрение каких-либо двух систем как изоморфных является их отождествлением. Отождествлением, вообще говоря, является и объявление каких-либо двух объектов моделями друг друга. Идея отождествления связана также (но совершенно иным образом) и с более общим, чем изоморфизм, понятием гомоморфизма. Когда мы выполняем гомоморфное преобразование какого-либо объекта, упрощаем его, это означает не что иное, как то, что некоторые его составляющие (элементы) мы перестаем различать – то есть отождествляем. В реализации этой эвристической идеи состоит кардинальный результат всей теории гомоморфизмов (и отождествлений).

Таким образом, понятия изоморфизма, гомоморфизма, модели и отождествления оказываются тесно связанными.

Список литературы:

1. Гастев Ю.А. Гомоморфизмы и модели. – М.: Наука, 1975. – 150 с.
2. Мелихова О.А. Приложение матлогики к проблемам моделирования // Известия ЮФУ. Технические науки. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2014. № 4 (165). – С. 204–214.
3. Мелихова О.А. Процесс познания в терминах математической логики // Информатика, вычислительная техника и инженерное образование – [Электронный ресурс]. – № 2 (18), 2014. – Режим доступа: http://digital-mag.tti.sfedu.ru (Дата обращения: 02.11.2016).
4. Мелихова О.А. Методы построения интеллектуальных систем на основе нечеткой логики: Научное издание. – Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2007. – 92 с.
5. Мелихова О.А., Руденко Э.Г., Логинов О.А. Обзор моделей систем принятия решений // Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук. – Москва, № 06 (77). Ч. 1. 2015. – С. 78–83.
6. Melikhova O.A., Rudenko E.G., Loginov O.A. Intelligent decision support systems: analysis, problems, prospects // Научная дискуссия: инновации в современном мире. – М., Изд. «Международный центр науки и образования», 2015. № 3-4 (35). – С. 166–170.