АФФИННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ИЛИ КАК РАБОТАЕТ ДОПОЛНЕННАЯ РЕАЛЬНОСТЬ

AFFINE COORDINATES TRANSFORMATION OR HOW AUGMENTED REALITY WORKS

Bajan Abilmazhinova

сandidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor at the department of Information systems Aktobe Regional State University named after K. Zhubanov,

Kazakhstan, Aktobe

Vladimir Andreyev

magistrant 1 course, Aktobe Regional State University named after K. Zhubanov,

Kazakhstan, Aktobe

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются особенности реализации технологии дополненной реальности. Одной из задач, которую приходится решать при реализации данной технологии, является преобразование как всего изображения, так и отдельных его фрагментов. К таким преобразованиям можно отнести вращение, перемещение, изменение масштаба и искажение. Такую задачу легко решить, используя аффинное преобразование, которое применяется так же для просмотра трехмерных объектов с различных углов и для проецирования этих объектов на плоскость. В ходе статьи были рассмотрены особенности и свойства виртуальных камер дополненной реальности, а также описан способ их локализации.

ABSTRACT

This article discusses the features of the implementation of augmented reality technology. One of the problems that must be solved with the implementation of this technology is to convert the image as a whole, and its individual fragments. These transformations include rotation, translation, zooming and distortion. This problem is easily solved by using an affine transformation that is used for viewing the same three-dimensional object from different angles and to project these objects on the plane. In the article were examined the features and properties of virtual cameras augmented reality, and describes a method for their location.

Ключевые слова: дополненная реальность; аффинное преобразование; виртуальное пространство.

Keywords: augmented reality; affine transformation; virtual space.

Как известно, виртуальное пространство моделируется с использованием аффинных преобразований. Координаты всех вершин, для их отображения на экране, переводятся из трехмерных в двумерные.

Аффинное преобразование – это отображение плоскости или пространства в себя. Аффинное преобразование является самым общим взаимно однозначным отображением плоскости на плоскость, при котором сохраняются прямые линии. Сохраняются и отношения длин отрезков, которые лежат на одной прямой и отношения площадей фигур. Кроме этого, параллельные прямые переходят в параллельные прямые, пересекающиеся в пересекающиеся, скрещивающиеся в скрещивающиеся. Самым простым примером аффинного преобразования является движение [1; 2; 3].

Рисунок 1. Частный случай аффинного преобразования (параллельный перенос)

При реализации дополненной реальности появляется вопросы. Как на входном изображении, полученном через камеру устройства, выделить особые точки маркера и определить их трехмерные координаты?

Первый вопрос решается использованием детекторов углов, которые выделяют на входном изображении особые точки, именуемые также угловыми точками. После этого они сверяются с набором точек заранее подготовленного маркера (маркерная технология дополненной реальности). Тем самым происходит идентификация самого маркера.

А вот для решения второго вопроса необходимо осуществить аффинное преобразование.

Любую виртуальную камеру можно описать с помощью двух матриц:

,

.

Коэффициенты a, b, c, d, e, f, g матрицы A образуют пирамидальную область видимости виртуальной камеры – фрустум, которая зависит от угла обзора, дальности прорисовки, глубины Z-буфера и отношения высоты виртуального окна к его ширине. Все трехмерные модели и объекты виртуального пространства, попавшие в пределы фрустума, являются видимыми для виртуальной камеры и проецируются на дисплей устройства [5; 6].

Рисунок 2. Фрустум камеры

Матрица B, описанная выше, содержит в себе две подматрицы, которые составляются по принципу разнородности их влияния на результат линейного преобразования [6].

Элементы подматрицы  отвечают за операции сдвига, масштабирования и вращения, а элементы подматрицы  отвечают за перемещение. Можно заметить, что первые три значения последней строки матрицы  равны 0. Это главное и необходимое условие того, что преобразование будет именно аффинным. В общем случае матрица размера 4x4 задает проективное преобразование. Такие преобразования используются для проецирования трехмерной сцены. Аффинное преобразование является частным случаем проективного преобразования [5; 8].

Для каждой отдельной операции матрица B будет меняться. Например, матрица вращения вокруг оси абсцисс на угол  будет выглядеть следующим образом:

B =

А матрица сдвига будет выглядеть так:

,

где: (i, j, k) – вектор сдвига [4; 7].

В трехмерном пространстве вращение не всегда происходит вокруг определенной точки, как на плоскости, а иногда и вокруг определенной оси, и эта ось может не совпадать с координатной. В таком случае поворот вокруг произвольной оси выполняют с помощью переноса и простых поворотов вокруг координатных осей. Так как метод поворота вокруг координатной оси известен, то основная идея заключается в том, чтобы совместить произвольную ось вращения с одной из координатных осей [5].

После того, как будет известно положение камеры и, зная координаты точки отсчета, можно с легкостью изобразить проекцию для 3D-модели, которая будет отображаться на месте изображения-маркера.

Последним этапом осталось лишь отобразить это на дисплее устройства. Для того, чтобы отобразить объекты трехмерного пространства на дисплее устройства необходимо трехмерные координаты перевести двумерные. Такой перевод осуществляется следующим образом:

 =  *  *

Эта формула преобразует трехмерный вектор виртуального пространства в двумерный вектор  экранного пространства [7].

В процессе реализации дополненной реальности известен как двумерный вектор, так и трехмерный. Кроме того, известны параметры матрицы A. Основная задача сводится к тому, чтобы получить матрицу B. Если будут известны все элементы матрицы B, то задачу локализации камеры можно будет считать решенной.

Список литературы:

1. Аффинное преобразование – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Аффинное_преобразование (Дата обращения 23.09.2016).
2. Аффинное преобразование и его матричное представление – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://compgraphics.info/2D/affine_transform.php (Дата обращения 24.09.2016).
3. Аффинные преобразования – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://sernam.ru/book_kir.php?id=43 (Дата обращения 24.09.2016).
4. Аффинные преобразования в пространстве 3D – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://algmet.narod.ru/theory_a4m/affin3d/index.htm (дата обращения 23.09.2016).
5. Аффинные преобразования пространства [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://compgraphics.info/3D/3d_affine_transformations.php (Дата обращения 25.09.2016).
6. Моделирование дополненной реальности – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://cyberleninka.ru/article/n/modelirovanie-dopolnennoy-realnosti (Дата обращения 26.09.2016).
7. Преобразования на плоскости и в пространстве – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://www.topomatic.ru/reviews/46-Preobrazovanija-na-ploskosti-i-v-prostranstve (Дата обращения 26.09.2016).
8. Совмещение изображений – [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://www.racurs.ru/wiki/index.php/Совмещение_изображений (Дата обращения 25.09.2016).