О СООТНОШЕНИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ ДЛЯ ЭНЕРГИИ И ВРЕМЕНИ ДЛЯ ОДНОФОТОННЫХ СОСТОЯНИЙ С ГАУССОВСКИМ ИМПУЛЬСНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ

ON THE ENERGY-TIME UNCERTAINTY RELATION FOR SINGLE-PHOTON STATES WITH THE GAUSSIAN MOMENTUM DISTRIBUTION

Alexandr Davydov

candidate of Physical and Mathematical Sciences, associate professor

of the Department of Applied and Theoretical Physics of Nosov Magnitogorsk State Technical University,

Russia, Magnitogorsk

АННОТАЦИЯ

Для волнового пакета фотона, представляющего собой волновую функцию в координатном представлении с гауссовским импульсным распределением, подтверждается выполнение соотношения неопределенностей для энергии и времени в дисперсионной трактовке, основанной на квантово-механической плотности потока вероятности в фиксированной точке пространства.

ABSTRACT

For the photon wave packet representing the wave function in the coordinate representation with Gaussian momentum distribution it is confirmed the fulfillment of the uncertainty relations for time and energy in the dispersive treatment, based on the quantum mechanical probability current density at a fixed point in space.

Ключевые слова: фотон; дисперсионная интерпретация; волновой пакет; координатное представление; плотность потока вероятности; волновая функция.

Keywords: photon; dispersion interpretation; wave packet; coordinate representation; flux density of probability; wave function.

В работах [2; 4; 8; 12; 15] в рамках квазиклассического подхода для электромагнитного излучения было строго доказано соотношение неопределенностей для энергии и времени

,                                                        (1)

где; согласно предложенной в [4] «дисперсионной» интерпретации, неопределенности энергии  и времени  имеют смысл среднеквадратичных отклонений, каждое из которых определяется как квадратный корень из дисперсии соответствующей величины.

В качестве иллюстрации в [2–4; 8; 15] рассматривался импульс лазерного излучения (в окрестности некоторой заданной точки  пространства), который моделировался путем выбора напряженности электрического поля в виде

,                          (2)

где:  – вещественный вектор;  – центральная циклическая частота излучения,  – параметр. Плотность потока энергии (в гауссовой системе) электромагнитного излучения вблизи некоторой заданной точки  пространства в момент времени  полагалась равной

                                        (3)

и затем в рассмотрение вводилась плотность вероятности момента времени прохождения фотона через эту точку:

(4)

По аналогии с (4), в [11] в рамках квантовой механики выбиралась функция:

(5)

где:  – проекция вектора плотности потока вероятности  для свободной частицы, описываемой трехмерным волновым пакетом, распространяющимся в направлении оси симметрии пакета .

В [11] расчеты для частицы, обладающей массой, показали, что соотношение (1) выполняется, если точка наблюдения  находится (на оси ) достаточно далеко от первоначальной области локализации волнового пакета. Это связано с тем, что если точка  находится внутри его первоначальной области, то существует вероятность того, что частица, «родившись» при  где-то за точкой  (например, правее ее, если пакет движется вправо), не попадет в эту точку, хотя знаменатель в (5) содержит вклады «обязательного» попадания в нее (в какой-либо момент времени).

Аналогичной ситуация является и для фотона, хотя в [11] это не подчеркивалось, и в силу ограниченности объема статьи не приводились пояснения вычислений. Здесь мы остановимся на этом вопросе подробнее.

В ряде работ [1; 6; 7; 9; 13; 18] построена квантовая механика фотона, результатом которой является волновая функция фотона в координатном представлении

,     (6)

где: верхний и нижний знаки относятся к фотону с положительной и отрицательной энергией,  – волновой вектор; безразмерные ортонормированные плоские монохроматические циркулярно поляризованные волны, отвечающие соответствующей спиральности , имеют вид

, . (7)

В [2; 5; 10; 16; 19] при моделировании волнового пакета (6) фотона, соответствующего короткоимпульсному лазерному излучению, комплексные векторы поляризации  были выбраны так, что

; , ; (8)

; , , (9)

где: углы  и  определяют ориентацию вектора  в сферической системе координат, а векторы ,  записаны в декартовой системе координат. При моделировании коэффициенты , определяющие импульсное распределение фотона в состоянии (1), задаются в гауссовой форме

.   (10)

В [2; 5; 10; 16; 19] устанавливается характер расплывания пакета (6) путем численного расчета наиболее значимой в данном случае проекции напряженности . Его начальная «шарообразная» форма с течением времени трансформируется в некую «конусообразную», напоминая картину излучения Вавилова-Черенкова, вследствие того, что движение центра пакета вдоль его оси симметрии z опережает движение его периферийных частей. Большинство аналитически полученных параметров были вычислены с помощью импульсного представления, в котором, волновая функция фотона, соответствующая функции (6), имеет вид

.          (11)

В частности, среднее значение энергии фотона определяется как

 , (12)

где: вместо плотности импульсного распределения , интегрируя по углам  и , можно перейти к плотности энергетического распределения

 ,                (13)

где: . Используя (12), (13), получаем [11] средние значения

 ,                               (14)

.                                                        (15)

Тогда, для проверки соотношения (1) находим неопределенность энергии фотона в состоянии (6) как квадратный корень из ее дисперсии:

.                        (16)

Функция (5) вычислялась численно с применением формулы для плотности потока вероятности [1; 5; 6; 19].

(17)

где:

, , (18)

 – оператор спина фотона в векторном представлении.

На рис. 1 представлены результаты численного расчета отношения  как функции параметра  (характеризующего среднюю энергию фотона и область его первоначальной локализации) в разных точках на оси , начиная с  – наиболее вероятной точки обнаружения фотона в момент  (кривая 1) и заканчивая точкой  (кривая 8), где  – неопределенность координаты  при . При значении , соответствующем длительности лазерного импульса 80 фс с центральной длиной волны 10 мкм, было получено .

Из рис. 1 видно, что соотношение (1) начинает выполняться для кривой 7 – то есть для точки с координатой , хотя при  оно также выполняется и для кривой 6 – для точки с координатой . Чем ближе точка наблюдения к центру волнового пакета в начальный момент его «зарождения», тем в большей степени соотношение (1) нарушается, в соответствии со сказанным выше относительно подобной ситуации с соотношением (1) для частиц, имеющих массу.

Рисунок 1. Зависимость отношения  от параметра  для разных координат z точки наблюдения: 1 –; 2 –; 3 –; 4 –;5 –; 6 – ; 7 –; 8 –

Таким образом, для исследуемого волнового пакета фотона и для описанной выше версии дисперсионной интерпретации соотношения (1), при корректной его проверке, можно сделать вывод, что это соотношение выполняется. Причем  стремится (сверху) к  («чисто квантовому пределу») уже при , то есть при достаточно высокой средней энергии фотона и/или его большой первоначальной области локализации.

В заключении отметим, что существуют и другие [14; 17] дисперсионные интерпретации соотношения (1), вызывающие интерес для анализа с помощью рассматриваемого волнового пакета фотона. Однако эта тема – для дальнейших исследований, результаты которых планируются к публикации в будущем.

Список литературы:

1. Давыдов А.П. Волновая функция фотона в координатном представлении // Вестник МаГУ: Периодический научный журнал. Вып. 5, Естественные науки. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. ун-та, 2004. – С. 235–243.

2. Давыдов А.П. Волновая функция фотона в координатном представлении: монография. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2015. – 180 с.

3. Давыдов А.П. Дисперсионная интерпретация соотношения неопределенностей для энергии и времени и короткоимпульсное лазерное излучение в квазиклассическом подходе. – Инновации в науке / Сб. ст. по материалам XXXII междунар. науч.-практ. конф. № 4 (29) Новосибирск: Изд. «СибАК», 2014. – С. 6–14.

4. Давыдов А.П. Доказательство соотношения неопределенностей для энергии и времени в рамках квазиклассического подхода описания электромагнитных сигналов и излучения // Современные проблемы науки и образования: материалы XLVII внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. – Магнитогорск: МаГУ, 2009. – С. 358–360.

5. Давыдов А.П., Злыднева Т.П. Однофотонный подход к моделированию короткоимпульсного лазерного излучения // Вестник науки и образования Северо-Запада России: электронный журнал. – 2015. – Т. 1. – № 4. – URL: http://vestnik-nauki.ru (Дата обращения: 03.04.2016).

6. Давыдов А.П. Квантовая механика фотона: волновая функция в координатном представлении // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2015. – Т. 20. – № 5. – С. 43–61.

7. Давыдов А.П. Квантовая механика фотона // НАУКА И ШКОЛА: тезисы докладов XXXIII научной конференции преподавателей МГПИ / под ред. доц. З.М. Уметбаева. Магнитогорск: Изд-во МГПИ, 1995. – С. 206–207.

8. Давыдов А.П. Курс лекций по квантовой механике. Математический аппарат квантовой механики: учеб. пособие / А.П. Давыдов. Магнитогорск: Изд-во Магнитогорск. гос. техн. ун-та им. Г.И. Носова, 2014. – 188 с.

9. Давыдов А.П. Линеаризация волновых уравнений для потенциалов свободного электромагнитного поля с целью его квантовомеханического описания // Проблемы физ.-мат. образования в педагогич. вузах России на соврем. этапе: Тез. докл. межвуз. науч.-практич. конф. – Магнитогорск: МГПИ, 1996. – С. 116–120.

10. Давыдов А.П. Моделирование распространения в трехмерном пространстве волнового пакета фотона // Актуальные проблемы современной науки, техники и образования: материалы 73-й межд. научно-техн. конф. – Магнитогорск: Изд-во МГТУ им. Г.И. Носова, 2015. – Т. 3. – С. 133–137.

11. Давыдов А.П. Об одной реализации дисперсионной интерпретации соотношения неопределенностей для энергии и времени // Физико-математические науки и образование: сборник трудов участников Всеросс. науч.-практич. конфер. / под общ. ред.: В.П. Семенова, В.А. Кузнецова, Т.П. Злыдневой. Магнитогорск: МаГУ, 2012. – С. 107–114.

12. Давыдов А.П. Общее доказательство соотношения неопределенностей для энергии и времени в дисперсионной трактовке в квазиклассическом и квантовом случаях / А.П. Давыдов // Современные проблемы науки и образования: материалы XLVIII внутривуз. науч. конф. преподавателей МаГУ. – Магнитогорск: МаГУ, 2010. – С. 323–325.

13. Давыдов А.П. О волновой функции фотона в координатном представлении в терминах электромагнитных потенциалов // Современные проблемы науки и образования: материалы L внутривузовcкой науч. конф. преподавателей МаГУ. Магнитогорск: МаГУ, 2012. – С. 228–229.

14. Давыдов А.П. Оператор энергии и соотношение неопределенностей для энергии и времени в квантовой механике // Инновации в науке / Cб. ст. по материалам XLIII междунар. науч.-практ. конф. № 3 (40). Новосибирск: Изд. «СибАК», 2015. – С. 7–19.

15. Давыдов А.П. О соотношении неопределенностей для энергии и времени при квазиклассическом описании электромагнитного излучения // Фундаментальные и прикладные проблемы науки. Том 1. – Материалы VII Международного симпозиума. – М.: РАН, 2012. – С. 80–88.

16. Давыдов А.П. Эволюция в пространстве и во времени волнового пакета фотона фемтосекундного излучения с точки зрения квантовой механики // Современные проблемы науки и образования: тез. докл. XLIII внутривуз. науч. конф. МаГУ. – Магнитогорск: Изд-во МаГУ, 2005. – С. 269–270.

17. Ольховский В.С. О времени как квантовой наблюдаемой, канонически сопряженной энергии // УФН. – 2011. – Т. 181. – № 8. – С. 859–866.

18. Bialynicki-Birula I. On the Wave Function of the Photon // Acta Phys. Pol. A. – 1994. – Vol. 86. – P. 97–116.

19. Davydov A., Zlydneva T. Modeling of short-pulse laser radiation in terms of photon wave function in coordinate representation // в печати.