МАТЕМАТИЧЕСКАЯ  МОДЕЛЬ  ЛОРЕНЦА  В  СТРОИТЕЛЬНОМ  ПРОИЗВОДСТВЕ

Гоголадзе  Владимир  Рамазиевич

аспирант,  ассистент  кафедры  «Менеджмент  и  инновации»,  Московский  Государственный  Строительный  Университет,  г.  Москва

E-mail: 

MATHEMATICAL  MODEL  OF  THE  LORENZ  SYSTEM  IN  THE  CONSTRUCTION  BUSINESS

Vladimir  Gogoladze

post-graduate  student,  assistant  professor  of  Management  and  Innovations  department,  Moscow  State  University  of  Civil  Engineering,  Moscow

АННОТАЦИЯ

В  работе  с  использованием  концепции  обыкновенных  математических  моделей  построена  модель  производственного  процесса  в  строительной  компании.  Построенная  математическая  модель  при  определённом  выборе  коэффициентов  приводится  к  модели  Лоренца.  Изучена  динамика  производственного  процесса  в  строительной  компании  и  приведена  экономическая  интерпретация  странного  аттрактора  Лоренца.

ABSTRACT

In  the  paper  the  model  of  the  production  process  in  the  construction  company  is  based  on  the  concept  of  ordinary  mathematical  models.  The  constructed  mathematical  model  for  a  specific  choice  of  coefficients  is  reduced  to  the  Lorenz  model.  The  dynamics  of  the  production  process  in  the  construction  company  is  studied  and  the  economic  interpretation  of  the  Lorenz  strange  attractor  is  given.

Ключевые  слова:  странный  аттрактор,  Лоренц,  строительная  компания

Keywords:  strange  attractor,  Lorenz,  construction  company

1.  Построение  математической  модели

Примем  гипотезу,  в  соответствии  с  которой  скорость  изменения  объёма  производства  в  строительной  компании  пропорциональна  разности  между  доходами  от  реализации  продукции  (оплата  по  договорам  подряда,  продажа  или  сдача  в  аренду  введенных  в  эксплуатацию  зданий,  сооружений)и  расходами  на  осуществление  производственной  (операционной)  деятельности  (затраты  на  приобретение  строительных  материалов,  содержание  и  аренду  строительных  машин  и  механизмов,  выплата  заработной  платы,  накладные  расходы,  налоги  и  т.  д.).

Обозначим:

—  объём  производства  в  денежном  выражении;

—  объём  реализованной  продукции;

—  рыночная  цена  единичного  объёма  реализованной  продукции;

—  приведённая  себестоимость  единичного  объёма  произведённой  продукции.

Тогда  в  соответствии  с  принятой  гипотезой  можем  записать  уравнение:

.                                   (1)

Скорость  изменения  объёма  реализованной  продукции  пропорциональна  разности  между  объёмом  рыночного  обеспечения  произведённой  продукции,  объёмом  насыщения  рынка  и  объёмом  обеспеченного  спроса  на  ресурсы.

Если  дополнительно  обозначить:

—  коэффициент  рыночного  спроса  на  заданный  объём  произведённой  продукции;

—  коэффициент  насыщения  рынка;

—  коэффициент  обеспеченности  производства  ресурсами;

z—  необходимый  объём  ресурсов  для  производственного  процесса  в  денежном  выражении, 

то  будет  справедлива  следующая  запись:

.                                     (2)

Скорость  изменения  объёма  ресурсов  строительного  производства  пропорциональна  разности  между  объёмом  притока  ресурсов  и  объёмом  ресурсов,  потребленных  в  производственном  процессе.

Далее,  обозначив:

—  коэффициент  скорости  расхода  ресурсов  строительной  компании  в  соответствии  с  ее  производственной  программой;

—  коэффициент  ресурсообеспеченности  строительного  производства,  получим  уравнение

.                                  (3)

Таким  образом,  математическая  модель  функционирования  строительного  производства  при  принятых  допущениях  может  быть  представлена  в  виде:

,                                             (4)

,                                     (5)

.                                            (6)

2.  Исследование  модели

Легко  заметить,  что  система  уравнений  (4),  (5),  (6)  совпадает  с  моделью  Лоренца  при  значениях  коэффициентов

           (7)

В  этом  случае  на  фазовой  плоскости  получаем  странный  аттрактор  Лоренца,  который,  как  известно,  представляет  фрактальное  множество.  Аттрактор  Лоренца  соответствует  возникновению  хаоса  в  детерминированной  системе,  когда  объёмы  производства  и  дохода  становятся  неуправляемыми  и  система  движется  к  разрушению.  Поэтому  очевидная  задача  состоит  в  том,  чтобы  предотвратить  хаотические  режимы  работы  строительного  предприятия  с  помощью  подбора  соответствующих  значений  определяющих  параметров  системы. 

Система  уравнений  Лоренца  имеет  вид

,                                        (8)

,                                      (9)

.                                   (10)

Если  принять  единичные  начальные  условия  для  определяющих  параметров  системы  Лоренца,  то  решение  легко  найти  с  использованием  программного  комплекса  MathCAD  компании  PTC. 

Системе  уравнений  Лоренца  в  MathCAD  соответствует  матричный  оператор

.                                  (11)

Для  решения  системы  уравнений  Лоренца  с  единичными  начальными  условиями  составляем  программу:

3.  Решения  системы  уравнений  Лоренца

Решения  даются  в  виде  графиков  на  рис.  1,  2  и  3.

Рисунок  1.  Зависимость  объёма  строительного  производства  от  времени

Рисунок  2.  Зависимость  объёма  реализованной  продукции  от  времени

Рисунок  3.  Зависимость  объёма  ресурсов  от  времени

Отрицательные  значения  объёма  производства  соответствуют  накоплению  нереализованной  продукции,  что  ведёт  к  дополнительным  затратам,  а  отрицательные  значения  объёма  реализованной  продукции  соответствуют  случаю,  когда  спрос  на  строительную  продукцию  падает  и  расходы  компании  превалируют  над  доходами.

Построим  картину  данной  динамической  системы  в  фазовом  пространстве:

Рисунок  4.  Странный  аттрактор  Лоренца  для  динамической  системы  производства  продукции  в  строительном  бизнесе

Полученная  картина  странного  аттрактора  Лоренца  соответствует  процессу  перехода  детерминированной  системы  в  хаотический  режим  работы.  В  зависимости  от  значенияпараметра,  система  меняет  форму  «крыльев  бабочки»,  что  соответствует  изменению  рыночного  спроса  на  продукцию  производства.

Список  литературы:

1.Ковалев  В.В.,  Волкова  О.Н.  Анализ  хозяйственной  деятельности  предприятия.  М.:  ПБОЮЛ  Гриженко  Е.М.,  2000.  —  424  с.

2.Колмогоров  А.Н.,  Новиков  С.П.  Математика.  Новое  в  зарубежной  науке.  Серия  22.  Странные  аттракторы  М.:Издательство  «МИР»,  1981.—  251  с.

3.Обгадзе  Т.А.  Высшая  математика  для  экономистов:  учеб.пособие.  М.:  ИГУМО,2002.—  51  с.

4.Обгадзе  Т.А.,Цвераидзе  З.Н.  Лабораторные  работы  по  математическим  моделям  в  экономике:  учеб.пособие.  Тбилиси:Технический  университет,  2006.—  76  с.

5.Петерс  Э.Хаос  и  порядок  на  рынках  капитала,  новый  аналитический  взгляд  на  циклы,  цены  и  изменчивость  рынка:  Пер.  с  англ.М.:  Издательство  «МИР»,  2002.  —  336  с.

6.Экономика  строительства:  Учебник  /  Под  общей  ред.  И.С.  Степанова.  —  3-е  изд.,  доп.  и  перераб.  М.:  Юрайт-Издат,  2004.  —  620  с.

7.Эрроусмит  Д.,Плейс  К.Обыкновенные  дифференциальные  уравнения.  Качественная  теория  с  приложениями:  Пер.  с  англ.М.:  Издательство  «МИР»,  1986.—  243  с.